Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Характеристическая функция, однако, может быть выражена в замкнутой форме: 1 ЧУОи) = (1 — !2ио~)' (2.1.107) и Теперь предположим, что случайная величина У определяется как У=2,Х~, (2.1.108) ~=! К где Хь !=1,2, ...,и, — статистически независимые и одинаково распределенные гауссовские случайныс, величины с нулевыми средними и дисперсией сг . Вследствие статистической независимости Х, характеристическая функция У 1 уг(7и) = (1- у2ио~) Обратное преобразование этой характеристической функции дает ФПВ ьы-! -где' о" 2"' Г(-'и) (2.1.109) (2.1.110) где Г(р) — гамма-функция, определонная как Г(р) =)с сл !е ~сгс,р>0, Г(р) = (р — 1)1, р — целое число, р > О, с (2.
1. 111) и а обычные моменты можно выразить через центральные моменты (2.1.101) с=о с Сумма п статистически независимйх гауссовских случайных величин также является гауссовской случайной величиной. Чтобы это продемонстрировать, предположим ь У = ~~!" Х,, !=! где Хь!=1,2...и — независимые случайные величины со средними т; и дисперсиями о,'. Используя результат (2.1.79), мы находим, что характеристическая функция 1'равна ь ь (() Д (.,) Д з ч-'4~/ ~-~-' )д (2.1.103) Г(-„') = /я, Г(-'„)=-„' l . Эта ФПВ является обобщением (2.1.105) и названа»и-квадрат- (о»в гамма-) ФПВ с а свиснваягои свободы.
Она иллюстрируется рнс, 2.1.9. Случай, когда а=2, определяет зкспоненциальное распределение. Первые лва момента У равны Е(У) =лаз, Е(У~) = 2ло~+а'о, (2.1. 112) о = 2по~, ИФР )' равна (2.1.! 13) р(у) 0.5 0.4 0.3 0.1 У О 2 4 6 а 1О 12 14 Рис. 2.1.9 Графики ФПВ для случайной величины с хи-квадрат-распределением для нескольких значений степеней свободы Этот интеграл преобразуется к неполной гамма-функции, которая была табулирована Пирсоном (1965), Если а чегно, интеграл (2.11. 113) можно выразить в замкнутом виде. В частности, пусть т= —,'и, где т — целое. Тогда, используя повторно интегрирование по частям, получаем Рг(у)=1-е 2,— ~ —,у),У=О, -упо' "' 1 У в=о А ! 'к 2 ал (2. 1.
114) Теперь рассмотрим нецентральное хи-квадрат-распределение, которое является результатом возведения в квадрат гауссовской случайной величины с ненулевым средним. Если Х вЂ” гауссовская случайная величина со , средним аь» и дисперсией а~, случайная величина У=Х имеет ФПВ 1 чу+т'))за' ъ(ут рг(у)= е' ' сй —,", у>О (2.1.115) о2яуо ~ от Этот результат получается при использовании (2.1.47) для гауссовской ФПВ с распределением (2.1.92) ~ Характеристическая функция для ФПВ (2,1. 116) (1- у'2оо") Для обобщения результатов предположим, что У является суммой квадратов гауссовских случайных ' величин, определенных (2.1.108).
Все Х„! = 1,2,...,а, предполагаются статистически независимыми со , средними е„! = 1, 2,..., а, и одинаковыми дисперсиями а . Тогда характеристическая функция, полудшемая ~ ю (2. 1. 116), при использовании соотношения (2. 1. 79) равна р~2„т, 1 Ч,(у )= „„ехр 11 — /2го ) гы (2.1. 117) 1- /2ио Обратное преобразование Фурье от этой характеристической функции дает ФПВ ( г»-а)! 4 р (у)= — ~ — ~ е ' « ~Ч7у — '~ у~о 1 (у~ о1„ут»* ( г- в') .Ф 2 (2.1.
118) где введено обозначение (х/2)~' 1„(х) = 2. , х ~ О. «=о ИГ(а+1«-ь1) (2.1. 120) ФПВ, определяемая (2.1.118), называется ивцвптральиыл» хи-квадрат-распределением с и ствпеплла:, свободы. Параметр л назван парамвтрол) ивцвнтральиости растрвделвипт ИФР для нецентрального хя. квадрат-распределения с и степенями свободы )г»-2)/4 (2.1.121) от ) Этот интеграл не выражается в замкнутой форме. Однако, если гп = — 'и — целое число, ИФР можа« выразить через обобщенную Д-функцию Маркума, которая определяется как , и-1 ~а «=) ~,а~ (2.1.
122) гдс Ща,Б)=е ( ) Х ~ — / 1«(аБ),Б>а>0 «=о Ь (2.1.123) х =и/а, н пОлОжить, чт« Если заменить переменную интегрирования и в (1.2.121) на х, причем а =в«'ол, тогда можно легко найти ЕЫ=1-0 -'— (я з(у ) (о о! (2.
1. 124) В заключение заметим, что первые два момента для центрального хи-квадрат-распределення случайны) ' величин равны Е(У) =по~ +в Е(У~) = 2по~+4о~в~ +(по~ +в~), о~, = 2по" ч-4о~«~ . (2.1.125) Релеевское распределение. Релеевское распределение часто используется как модель для статистки сигналов, переданных через радиоканалы, таких как, например, в сотовой радиосвязи. Это распределенп тесно связано с центральным хи-квадрат-распределением. Чтобы это проиллюстрировать, положим. чтм у-Л',-'«1;-, где Л) н Хз — статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними ) одинаковой дисперсией о~.
Из изложенного выше следует, что У имеет хн-квадрат-распределение с двум степенями свободы. Следовательно, ФПВ для У рг (у) = — е ~ ~, у ~ О. г (2.1.126) с Теперь предположим, что мы определяем новую случайную величину т » Я2+ 1-2 (У (2.1.127) в =ут, (2.1. 119) юы а 7„(х) -модифицированная фующия Бесселя первого рода порядка а, которую можно представить;.~ бесконечным рядом Выполнив прсютые преобразования в (2.1.126), получим для ФПВ А Сгвс -гоСгв Ог Это ФПВ для релеевской случайной величины. Соответствующая ИФР равна Ея(с)=(о — е " ' с/в=1-е "/, г>0.
о (2. 1. 128) (2.1.129) Моменты от А равны Е(А ) =(2ог) Г(1+ —,'/с), (2.1.130) а дисперсия (2.1.132) (2.1.134) (2.1.136) (2.1.139) ~справедливую для любого л. Распределение Райсж В то время как распределение Релея связано с центральным хи-квадрат- распределением, распределение Райса связано с не центральным хи-квадрат-распределением. Чтобы проиллюстрировать зту связь, положим умХ, +Х,, где Х, и Хг — статистически независимые гауссовские 2 2 случайные величины со средним яго /=1, 2 и одинаковой дисперсией а-.
Из предыдущего 1пассмотреиия мы , гваем, что У имеет иецентРальиое хи-квадРат-РаспРеделение с паРаметРом отклонениЯ Я'» вгс +всгг. ФПВ длл У получаем из (2.1.118), а при л=2 находим ' =(2-Ф" х ' (2.1.13 1) Характеристическая функция для распределенной по Релею случайной величины ч'„(/~) =~ — ", е "/го ~'""с/г. Этот интеграл можно выразить так: Г 222 г ." Г,й/газ . ~ря(/о) = ( — е ' соатгс/г+/1 — е / я(по с/г = оо г (2.1.133) ( 1 1 2 2 1 2 -~~а~/2 =,Е; 1,—,— — о сг ~+/~ — пит е ' ' '~'2' 2 гле, Е~ (1,1/2 па) — это вырожденная гипергеометрическая функция, определяемая как ,А;(а,~);х)= 2, ' ' ' ' ', ~)в0,-1,-2, ... »=о Г(о)Г(р+/с)/с! Воули (1990) показал, что ~Е~(1,1/2,-а) можно выразить как 1 1 а» ,Р;~1,—;-а) =-е ' ~ (2.1.
135) 2»=о (2й -1)И Как обобщение полученных выше выражений рассмотрим случайную величину .-ДР. глеХ„с=1, 2, ..., л, статистически независимые одинаково распределенные гауссовские случайные величины с нулевым средним. Ясно, что умА имеет хи-квадрат-распределение с л степенями свободы. Его ФПВ задается 2 формулой (2.1. 100). Простые преобразования переменной в (2.1. 110) приводят к ФПВ для А в виде и-1 ! (2.1.137) Как следствие фундаментальной зависимости мело»у центральным хи-квадрат-распределением и ! релеевским распределением, соответствующая ИФР достаточно простая. Так, для любого и ИФР для А можно представить в форме неполной гамма-функции.
В специальном случае, когда л чбтно, т.е. когда я=.2т, ИФР дп А может быть представлено в замкнутой форме ~я(г)=1-е 2„— — г, г>0. -г~/го~ (2.1.138) ,, /с! '1 2стг,/ В заключение приведем формулу для /с-го момента А Е(о») (2 2)"/~ (г((' )) / >0 Г(-,'и) (г.1. 140) Гв Теперь введвм новую переменную Я= У'~. с /я «1 Ел(,) = 1-О,(-,-7,, >0, о оу (2.1.142) г где й(а,Ы определяется (2.1.123). Для обобщения приведенного выше результата пусть Я определяется (2.1.136), где Хь /=1, 2, „.
лстатистически независимые случайные величины со средними «ль /=1, 2, ... в и одинаковыми дисперсиями о', г ь» " '«. Случайная величина Я лй имеет нецентральное хи-квадрат-распределение с и-степенями свободы « нецентральным параметром в, определяемое (2.1.119). Ее ФПВ определятся (2.1.118), следовательно, ФПя для Я равна Л/2 -(Л ЛЛ ) Г а я" ~о (2.1. 143) с а соответствующая ИФР Е„(.) =Р(Я ~«) =Р(/у <г) л Я(у~«') = Е,(г'), (2.1.144) где Р«(г') определяется (2.1.121), В частном случае, когда «в=п/2 — целое число, имеем г (я г1 Ел(г) =1-Д„,~ —,— ~, « <О, о а которое следует из (2.1.124).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
