Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Поэтому Фф называют спектральной плотностью мощности случайного процесса, Если случайный процесс вещественный, ф(т) — вещественная и четная функция и, следовательно, Ф(г) — также вещественная и четная функция, С другой стороны, если процесс комплексный, ф(т) = ф ( — т) и, следовательно, Ф (7') = ) ф*(т) е" ~ат = (2.2.19) ф (- т) е " ат = ) ф(т) е ' '~ат = Ф(7). Значит, Ф(77 — вещественная функция. Спектральную плотность мощности можно определить и для совместно стационарных процессов Х(г) и У(~), которые имеют взаимную функцию корреляции ф„(т) Преобразование Фурье от ф„,(т), т.е.
Ф (~)=~ ф (т)е" е'сй, называют взаимной спектральной плотностью мощности, Если мы возьмем сопряженные значения двух частей (2.2.20), получим Ф„~(~)=) ф (т)ел'лЖ=~ ф ( — т)е ""~от=~ ф (т)е ""л~й=Ф (7"). (2.2.21) Это соотношение справедливо в любом случае. Однако если Х(г) и 1'(!) — вещественные случайные процессы, то (2.2.20) Ф (~)=) ф (т)е'"~'сй=Ф ( — ~). Объединяя результаты (2.2.21) и (2.2.22), находим, что взаимная лотность мощности двух вещественных процессов удовлетворяет условию .(М) = Ф,(-Х) (2.2.22) спектральная (2.2.23) 2.2.3. Отклик линейной стационарной системы на случайный входной сигнал Рассмотрим линейную стационарную систему (фильтр), которая характеризуется своей мпульсной характеристикой Ь(~) или, что эквивалентно, своей частотной характеристикой ф, где о(г) и Нф связаны парой преобразования Фурье. Пусть х(~) означает входной, а пз существует.
Для спектрального анализа периодический сигнал представляют рядом Фурье Посредством такого представления коэффициенты Фурье определяют распределение мощности на различных дискретных частотных компонентах, Стационарный случайный процесс имеет неограниченную энергию и, следовательно, его преобразование Фурье не существует. Спектральные характеристики случайного сигнала можно получить пугем вычисления преобразования Фурье автокорреляционной функции, т.е, распределение мощности по частотам определяется формулой Ф(1') = ) ф(т) е"'~а'с.
(2.2. 1'6) Обратное преобразование Фурье дает (2.2.25) (2.2.29) у(л) — вМходной сигналы системы. Выход системы можно выразить интегралом свертки у(л) = ) Ь(т) х(л — т) лй . (2.2.24) 1-: Теперь предположим, что х(л) является реализацией стационарного случайногс пролесса Х(л). Тогда выходу(л) является реализацией случайного процесса УЯ, Мы хотив определить математическое ожидание и функцию корреляции выхода. Поскольку свертка — это линейная операция над входным сигналом, математическолплотл ожидание интеграла равно интегралу от математического ожидания подынтегральнол функции.
Таким образом, математическое ожидание 1'(л) С т = Е(Г(л)1 = ) 7л (т) Е(Х(л — т)1Ж = проц = т„) 7л(т) М = т, Н(0), где Н(0) — коэффициент передачи (передаточная функция) линейной системы при у=О Следовательно, среднее значение выходного процесса постоянно. :н сле > Функция корреляции выхода ф (л„л,) =+Е(1; 1;") = — ) ) 7л(р)7л'(и)Е[Х(л, — $3)Х'(л, — а))сКалл13 = Ь(ф)7л (и)ф (л, -л, +и — 13)лйхлл13. Последнее выражение показывает, что двойной интеграл является функцией разноси отсчетов времени лл — л2. Другими словами, если входной процесс стационарный, выходнол процесс также стационарен.
Следовательно, ф, (т) = ~ ) 7л (и)~ф3)ф., (тта — (3)йха~3. (2.2.26) Взяв преобразование Фурье от обеих частей (2.2.26), получим спектральную плотностл мощности выходного процесса в виде Ф (у)=) ф (т)е "'"лй= (2,2,27) = ) ) ) Ь (а)Л(~3)ф„.. (т+а — $3)е ' ллллтс/исф = Ф„ДНЯ . Э Таким образом, мы имеем важный результат, заключающийся в том, что спектральна 0~ плотность мощности выходного сигнала равна произведению спектральной плотносп мощности входного сигнала и квадрата модуля частотной характеристики системы.
При расчете автокорреляционной функции ф (т) обычно легче определил' спектральную плотность мощности Ф (~) и затем вычислить обратное преобразованил Фурье. Таким образом, имеем Ыемел ф, (т) =) Ф (~)е' ~ллу =) Ф,(~)~НЯ е"~ф'. (2.2.28) Видим, что средняя мощность выходного сигнала си стел ф (О)=) Ф (У)(НЯ'ЫУ т ф ~о)=л()т(*), Ф .(~)~НЯ гу >О. Сл 'л — л2=1 Допустим, что НЯ =1 для некоторого малого интервала~~< ф/~ и Н(~)=0 ви этого интервала.
Тогда 5-5б ) Ф„(~)ф ~ О. Но зто возможно тогда и только тогда, когда Ф ..(~") > О для всех у; Ф„(~) = т Ф, для всех~ Случайный процесс с одинаковой спектральной плотностью на всех частотах называется белым шумом. Определим спектральную плотность мощности выходного вроцесса.
Передаточная функция ФНЧ Я 1 н(у) Я+ 525Я. 1+ ~2 41.~Я ' ,следовательно, 1+(гтсЕ/Я) 5"' (г.г.зо) Рис. 2,2.1. Пример внзкочастотиого фильтра Спектральная плотность мощности процесса на выходе Эту спектральную плотность иллюстрирует рис. 2.2.2. Обратное преобразование Фурье определяет функцию автокорреляции ф (т) =) — ' ., е' "~'ф = — 'е ( ~ . (2.2.32) . г, (,,Я)- '' 41. Автокорреляционная функция ф (т) показана на рис. 2.2.3. Заметим, что второй омент процесса 1'12) равен ф (О) = ЯФ,/41.. В качестве заключительного упражнения определим взаимную корреляционную ункцию между У(~) и Х(т), где Х(г) — сигнал на входе, а у(г) — сигнал на выходе линейной истемы.
Имеем ф,„(1„15) = — „' Е(У, Х,*) = т) Ь(а)Е(Х(~, — а)Х (Гт)1сбх= Ь(а)ф,,(г, -тт -и)да= ф,„(т, -г,). Следовательно, случайные процессы Х(~) и К(г) совместно стационарны, Обозначив ,-Ь=т. имеем ф (т)~ Ь(а)ф,.(т-а)йх. (2.2.33) 5-56 65 Пример.2.2.1. Предположим, что фильтр нижних частот (ФНЧ), показанный на рвс. 2.2.1, находится под воздействием случайного процесса Х(г) со спектральной ллотностью мощности Рис. 2,2.2. Спектральная плотность мош;ности на выходе ФНЧ, юнади на вход поступает белый шум Сз спект1 'ачреоб~ ф(т): Рис. 2.2.3.
Функция автокорреляции сигнала на выходе ФНЧ, югла на вход поступает белый шум где (ф~ Те можнс Заметим, что интеграл (2.2.33) — это интеграл свертки. Следовательно, в частота области из (2.2.33) следует соотношение Ф (~)=Ф .(у)гт'(~"). Видно, что если на входе системы действует белый шум, то функция взаим~„ корреляции входа и выхода системы с точностью до масштабирующего коэффициент' равна импульсному отклику Ь(~) От (2.2. 34) воотве 2.2.4.
Теорема отсчетов для частотно-ограниченных случайных процессов гого (з Напомним, что детерминированный сигнал х(~) с преобразованием Фурье 1 называется частотно-ограниченным, если Яф=0 для ф>И', где И' — наивысшая часто содержащаяся в х(~). Такой сигнал однозначно определяется отсчетами .Ф), взятыми скоростью ~ > 2И' отсч./с. Минимальная скорость ~х =2И' отсчус называется скорости Найквпста. ПРедставление сигнала чеРез отсчеты, взЯтые со скоРостью ниже скоРо4 Сл, Найквиста, ведет к ошибкам. Частотно-ограниченный сигнал, представленный отсчетами, взятыми со скорость л, Найквиста, может бьггь восстановлен по своим отсчетам интерполяционной формулой 2.2 (2 2 35) Оп распро где (х(п/2Иг)) — отсчеты х(!), взятые в моменты времени 1=пlРМ, п=-О, +1, +2, ' олуча Эквивалентным образом х(~) можно реконструировать путем пропускания отсче~ епрер дискретизированного сигнала через идеальный ФНЧ с импульсной характерист~» Сл1 А(~)=ып(2лИг)(2пИг'.
Рисунок 2 2.4 иллюстрирует процесс восстановления сигив аослед основанный на идеальной интерполяции. ~преде. |ремя). аТ (и-21т 1ац 1Т Рнс. 2,2.4. Восетаноаленне сигнала, осиоаанное иа идеальной интерполяции ~ „) ап[2~~~-ф~ 2Иг (2.2.37) ле (Х(п/2Щ) — отсчеты Х(/), взятые при г=п/2Иг, п=О, +1, +2, .... Это — представление стационарного случайного процесса через его отсчеты. Отсчеты являются случайными величинами, которые описываются статистически соответствующей СФПВ.
Представление (2.2.37) легко устанавливается доказательством того (задача 2.17), что 2ттИ'~/ —— 2И' (2.2. 38) Следовательно, равенство между представлением случайного процесса Х(/) через его ттсчеты и самого процесса понимается в том смысле, что средний квадрат ошибки равен акулю. 22.5.
Случайные сигналы н системы с дискретным временем Описание случайных сигналов с непрерывным временем, данное выше, можно легко аспространить на случайные сигналы с дискретным временем, Такие сигналы обычно юлучаются путем равномерной дискретизации во времени случайного процесса с ~епрерывным временем. Случайный процесс с дискретным временем Х(п) состоит из множества реализаций оследовательностей (х(п)). Статистические .свойства Х(п)=Х. сходны с теми, которые лределены для Х(г), с тем ограничением, что и теперь целая переменная (дискретное рема). Следовательно, т-й момент для Х(п) определяется как ьт Стационарный случайный процесс Х(/) называется частотно-ограниченным, если его саектральная плотность мощности Ф(/) =О для ф > И'. Поскольку Ф(/) является реобразованием Фурье автокорреляционной функции ф(т), то следует представление для Ф(т): - /.
-~ "~- —,".)1 ф(т)= Хф' — „' -: / (2.2.36) И1 2И 1 гле (ф(п/2И7) — отсчеты ф(т), взятые при т=п/2И', п=О, ж1, т2,.... Теперь, если Х(/) — частотно-ограниченный стационарный случайный процесс, то Х(/) можно представить в виде (2.2.39) Е(Х„'1=1 х,",'Рс(х„) 3 и автокорреляционная последовательность ф(п,3с)=фЕ(Х„Х») =) ) хпх»Р(хп~х»)с3хлс3х» ' (2240) у(п) = ,'> 3»(х)х(и — Зс). л= Среднее значение выхода системы (2 2.47) т, = Е(у(п)~ = ~3с(3с) Е(х(п — 3с)~; »"= о (2.2.48) Сно т» = и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
