Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 17
Текст из файла (страница 17)
х +а' а) Определите среднее н дисперсию Х. Ь) Определите характеристическую функцию Х. 2.10. Случайная величина У определена как » У = — ~Х,, где Х,, г=1, 2,, л — статистически независимые и одинаково распределенные случайные л у=! зеяячнны, каждая из которых имеет распределение Коши нз задачи 2.
9 а) Определите характеристическую функцию У. Ь) Определите ФПВ для У. с) Рассмотрите ФПВ У в пределе при и-мю. Работает ли центральная предельная теорема'? Обоснуйте ваш 2.11. Предположим, что случайные процессы Х(!) и У(!) являются совместно н по отдельности стационарными а) Определите функцию автокорреляции 2(!)=Х(г)+У(!). Ь) Определите автокорреляционную функцию 4?) для случая, когда Х(г) н у(!) не коррелированы.
с) Определите автокорреляционную функцию дзя случая, когдаХ(!) н У(г) являются некоррелироваинымн , я ямеют нулевые средние. 2 12. Функции автокорреляции случайного процесса Х(!) определяется так: ф,, (т) = —,'?!?аб(т) . такой процесс называется белым шумом. Пусть Л(!) является входом для идеального полосового фильтра с истотной характеристикой, показанной на рнс. 2.12.
Определите суммарную мощность шума на выходе фильтра. 71 Рис. Р2.12 Нзз " Н~з Н22 Нзз О Нзз 2.13. Дана ковариационная матрица случайных величии Хз, Хз и Хз. Осуществлено линейное преобразование т'=АХ, где А=О 2 0 ~!ерз( автокорреляционную функцию Х(г). Подсказка: используйте результат для гауссовских случайных величин н являютс задачи 2.7.
2.15. Для ФПВ Накатами (формула 2.1.147) определите нормированную случайную величину Х = 77/)Лй" Найлнте ФПВ для Х. Сги ;ограннч .,(/'(г)) у(О 22 .;П = шаз )фильтра Рис. Р2.16 2.17. Докажите справедливость (2.2.38). 2.18. Докажите, используя границу Чернова, что Д(х) я е ' где 0(х) определяется (2.1.97). 2.19. Определите среднее, автокорреляционную последовательность и спектральную плотность мощиоа» для сигнала на выходе системам (цифрового фильтра) с импульсной характеристикой 1 (л =О) -г (л=1) М) 1 ( =2) 0 (для других л), сели вхолной случайный процесс Х(л) является белым шумом с дисперсией о.'.. 2.20. Автокорреляционная последовательность дискретного во времени случайного процесса рава ф(й) =(-,')" Определите его спектральную плотность мощности.
2,21. Случайный процесс с дискретным временем Х(л) ж Х(пТ) получен периодически ' стробнрованием стационарного процесса Х(з) с непрерывным временем и нулевым средним, где Т вЂ” пери( стробнровання, т.е. /'„, = 1/Т является скоростью выборки отсчетов. а) Определите соотношения между функцией автокорреляции сигнала Х(г) и автокорреллцаонкя последовательностью его отсчетов Х(л). Ь) Выразите спектральную плотность мощности процесса Л(л) через спектральную плотность мощносЛ 72 Определите ковариационную матрицу для У. 2П4. Пусп Х(г) является вещественным стационарным гауссовским процессом с нулевым средним новый процесс определен как у(г) = Х'(з), Определите автокорреляциониую функцию у(г) 2.16.
Входным воздействием цепи, показанной на рис. 2.16, является случайный процесс Л(г) с Е(Х(з)) = О. н ф,, П) = а 5(т), т.е. Х(!) является белым шумом. а) Определите спектральную плотность мощносзи выхода Ф„(7) Ь) Определите ф (т) и Е[У~(г)]. процес< с) 1 плотнзх 2,2 спектра д. ( /;=1/7 а)( Ь) '1(спектр с)1 2.2 Пусз( процесса Х(1). с) Определите условии, при которых спектральная плотность мощности Х(л) равна спектральной плотности мощности Х(г).
2.22. Рассмотрим частотно-ограниченный стационарный случайный процесс х(г) с нулевым средним и епелтрапьной плотностью мощности (квазибелый случайный процесс) и)=~' ~~-' 10, ~Я > И'. Дпя образования процесса с дискретным временем Х(л)=Х(в2) беругся отсчеты Х(г) со скоростью /;. =1/Т. а) Определите выражение для автокорреляцноииой последовательности Х(л), Ь) Определите минимальное значение Т, необходимое для получения «белойа последовательности (спектрально ровной). ~ с) Повторите Ь) для случая, когда спектральная плотность для Х(г) определена как 0-И/И', Ы О, 1П>И. 2.23. Покажите, что функции п(п~хИф- .
)~ Л()= 2, А.=о, Н, 2,„, 2кИ' г-— 2И' ппппвтся ортогональными иа интервале 1-«о, о), т. е. ~1/2И' (У вЂ” 1), Следовательно, формулу из теоремы отсчбгов можно рассматривать как представление частотно- огроянчеиного сигнала з(г) обобщенным рядом Фурье, где веса разложения — это отсчбты сигнала з(г), а (Я~)) — ансамбль ортогональных функций, используемых в ортогональном разложении. 2.24. Эквивалентная щумовая полоса частот системы определена как В,„, =Тр)")Н(Г)~ф, где 1 6 = шаичН (Я . Используя зто определение, найдите эквивалентную шумовую полосу идеального полосового фппьтра, показанною на рисунке Р2.12, и низкочастотного фильтра, показанного на рисунке Р2.16. 72 ' где иезаи КОДИРОВАНИЕ ИСТОЧНИ и пс иезав лаия, Системы связи предназначены для передачи информации, создаваемой источником, некоторого места назначения.
Источники информации могут принимать множес изина различных форм. Например, в радиовещании источник выдает звуковой сигнал (речь матер мУзыкУ). В телевизионном вещании выходом источника ЯвлЯетсЯ, кРоме звУка, подвижн диск1 изображение. Выходы этих источников являются аналоговыми сигналами, и поэтому о посл< называются аналоговыми источниками. В противоположность этому компьютеры . всех устройства хранения информации, такие как магнитные нли оптические диски, име посщ дискретный выход (обычно двоичные или АНСИ' символы), и поэтому нх называ прои дискретными источниками. В то время как источники являются аналоговыми дискретными, цифровая система связи предназначается для передачи информации проц, цифровой форме.
Следовательно, выход источника должен быть преобразован в формй' который может быть передан как цифровой. Это преобразование выхода источника~ цифровой формат обычно осуществляется кодером источника, выход которого может бьа Х(Г) ' представлен последовательностью двоичных цифр, : испо~ В этой главе мы рассмотрим кодирование источника, основанное на математическк моделях источников информации и количественном измерении информации, выдаваема источником.
Сначала мы рассмотрим кодирование дискретных источников и затя обсудим кодирования аналоговых источников. Мы начнем с рассмотрения математически г моделей для источников информации. 3.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ИСТОЧНИКОВ ИНФОРМАЦИИ Произвольный источник информации создает выход, который является случайным, т1 З, выход источника характеризуется статистически.
Действительно, если выход источники р~ известен точно, то нет нужды его передавать. В этом разделе мы рассмотрим дискретньи~ аналоговые источники информации и сформулируем математические модели для каждо1 типа источника. 1следс Простейший тип дискретного ' источника — это такой, который выл последовательность букв (символов), выбираемых из определенного алфавита. Наприм~ двоичный источник выдает двоичную последовательность вида 100101110..., прич~ алфавит состоит из двух символов (О, 1). В более общем случае источник днскретн~ информации с алфавитом из Х символов, скажем (хь хз, ..., хг), выдает последовательна~ букв, выбираемых из этого алфавита.
Ч Чтобы конструировать математическую модель для дискретного источила едуча предположим, что каждый символ алфавита (хь хъ ..., хь) имеет заданную вероятно~соотв выбора р„, т.е. , коли рг=Р(Х=хг), 1 < 7г < Л, ',)'=у> ~ ~завис ~еторо з 'Х=х~ ' АЗСП вЂ” американский стандартный код для информационного обмена (прп) 74 ( и ')з1п12лИ'(à — —," )) „„~2И ) 2пИ (г- —;,) (3.1.1) где Х((п/2И')) — отсчеты процесса Х(г), взятые со скоростью Найквиста /„=2И' 1/с. Используя теорему отсчетов, мы можем преобразовать аналоговый источник в эквивалентный источник с дискретным временем. После этого выход источника характеризуется совместной ФПВ р(хь хз, ..., к„) для всех иг>1, где Х„= Х(п/20'), 1< п < ж, — случайные величины, соответствующие отсчетам Х(г).
Заметим, что выходные отсчеты Х ((и/2И')) стационарного источника обычно непрерывны, и, следовательно, их нельзя представить в цифровой форме без потери точности представления. Например, мы можем кванто вать каждый отсчет рядом дискретных значений, но процесс квантования вносит потери в точность представления, и, следовательно, исходный сигнал не может быть восстановлен точно по квантованным атсчетам. Позже мы рассмотрим искажения, возникающие при квантовании уровней зтсчетов аналогового источника. 3.2.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ МЕРА ИНФОРМАЦИИ Чтобы разработать подходящую меру для информации, рассмотрим две дискретные :лучайные величины Х и У с возможными значениями хь 1=1, 2, ..., и, и у, у'=1, 2, ..., и, :оответственно. Допустим, мы наблюдаем некоторый выход У=у и мы желаем количественно определить величину информации, которую обеспечивает выборка события 1'=у, относительно события Х=хь 1=1, 2,, л. Заметим, что если Х и У статистически не ависят друг от друга, выбор 1'=у не дат информации о выборе события Х=хь С другой :тороны, если Х и У полностью зависимы, так что выбор У=у~ однозначно определяет выбор 1'=хь информационное содержание этого выбора точно такое же, как при выборе события 75 где ,'1'„р, =1. й 1 Мы рассмотрим две математические модели для дискретных источников. В первой мы яредположим, что символы выходной последовательности источника статистически независимы,'т.е.
выбираемый текущий символ статистически независим от всех предьщущих я последующих. Источник, выход которого удовлетворяет условиям статистической яезависнмостн символов в выбранной последовательности, называется источником без ~ пачями. Такой источник называется дислретньлч источником без памяти (ДИБП).
Если отдельные выходные символы дискретного источника статистически взаимозависимы, как, например, в английском тексте, мы можем сконструировать ~математическую модель, основанную на статической стационарности. По определению ! дискретный источник называется стационарным, если совместные вероятности двух последовательностей длины и, допустим аь аз, ..., а„и а1 .„„аз „, ..., а„,„одинаковые для :всех п>1 и при всех сдвигах пл Другими словами, совместные вероятности для аоследовательностей источника произвольной длины инвариантны по отношению к лроизвольному сдвигу во времени. Аналоговый источник выдает сигнал х(Г), который является реализацией случайного '. процесса Х(г).
Предположим, что Х(г) — стационарный случайный процесс с ,автокорреляционной функцией ф„,(т) и спектральной плотностью мощности Ф И. Если Х(с) — частотно-ограниченный случайный процесс, т,е. Ф„~/) = О для Ц > И', можно использовать теорему отсчйтов для представления Х(г) в виде указанным условиям,— она к вероятности Р(Х = х, ) и Р(х, ) . Х=х,. Педходящая мера информации, которая удовлетворяет логарифм отношения условной вероятности Р(Х = х,. ( У = у,) = Р(х, ) у,.) олич~ 1опред( Те Это значит, что количество информации, полученное при появлении события У относительно события Х=х, определяется как 1(х,.;у ) = 1оя Р(х, ) у,) (3.2.1) Р(х,) о 1(х,;у,) названа взаимной информацией между х; иу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
