Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 16
Текст из файла (страница 16)
~»~,3»(А) = т„,Н(0) где Н(0) — передаточная функция системы на нулевой частоте. Автокорреляционная последовательность для выходного процесса для Зс= перноди Такс Рта»3иол Подобным образом определяется и автоковариационная последовательность 1»(п, сс) = ф(п, 3с) — Е(Х„)Е(Х» ) . (2.2.41) Для стационарного процесса имеем ф(и,3с) св ф(и — 3с), р(и,3с) = ц(п — 3с) и , выражс 1»(п-Зс) = ф(п-3с)-~т,.~, (2.
2 42) хар акт» где и,. = Е(Х„) — среднее значение. Как и в случае случайного процесса с непрерывным временем стационарный процесс с' дискретным временем имеет неограниченную энергию, но ограниченную среднюк» которо мощность, которая определяется как ~мощно »(/х. /') = »~о). (2.2 43) фУ"кц" Спектральная плотность мощности для случайного стационарного процесса дискретным временем получается преобразованием Фурье от ф(п). Поскольку ф(п) — Прс последовательность дискретного времени, преобразование Фурье определено в виде ! с~уч~~' О Для ко» Ф(3)=,~ ф(п)е" "~", (2.2.44) а обратное преобразование — в виде ф(и) = ) Ф(3') е'-"~" с33' (2.2.45) -л» т„= Е(~ Обратим внимание на то, что спектральная плотность мощности Ф(3) являетсс периодической с периодом 3,' = 1.
Другими словами, Ф(3'.»3с)= Ф(3) для Ф = 1,:2,...3»секото1 Это характерно для преобразования Фурье дискретной во времени последовательноствГ1ослед~ такой как ф(п). которая В заключение рассмотрим отклик линейной стационарной системы с дискретныас временем на стационарные случайные входные воздействия. Система характеризуется вс ОпГ временной области своей импульсной характеристикой 3»(п) (откликом на единичны1значени отсчет времени), а в частотной области — частотной характеристикой Н(3), где Н(~) =,1 3»(п) е "'~" .
(2.2.46) Вид Отклик системы на стационарный случайный входной сигнал Х(п) определяетс1Автоко1 дискретной сверткой ф.( ) =-,ф"(.м ° )3= = гг. ~, ~,7г'(Г)7г(7)Е[Х" (п — г) Х(п+ 7à — 7)]= о>'о о = Я'КЬ'(г)7ИфЯИ-7+ ) >= о>= о (2.2.49) 3то общая форма для автокорреляционной последовательности выхода системы, выраженная через автокорреляционную функцию входа системы и импульсную 'характеристику системы. Производя преобразования Фурье над Г7>уу(7Г) и учитывая (2.2.49), олучаем соответствующее соотношение в частотной области Ф.(~) = Ф л(Т)~~(Ф, (2.2.50) которое идентично (2.2.27), за исключением того, что в (2.2.50) спектральные плотности щности Фу(7) и Ф,о(7) и частотнаЯ хаРактеРистика Нф ЯвлЯютсЯ пеРиодическими уякциями частоты с периодом 7; = 1. 2.2.б.
Процессы с циклической стациоиарностью При обработке сигналов, которые несут цифровую информацию, мы встречаемся со лучайными процессами, которые имеют периодически повторяющиеся средние значения. я конкретности рассмотрим случайный процесс вида Х(г) =~>~ ад(г-пТ), (2.2.51) ло о где (а„) — последовательность (с дискретным временем) случайных величин со средним его = Е(а„) дЛя ВСЕХ П И аВтОКОррЕЛяцИОННОй ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬЮ фо„(7Г) = —,' Е(а„ал, „.) . Сигнал фв) детерминирован. Случайный процесс Х(Г) представляет сигнал для екоторых различных видов линейной модуляции, которые рассматриваются в гл.4. оследовательность (ал) представляет цифровую информацию источника (символы), которая передается по каналу связи, а 1/Т определяет скорость передачи информационных символов.
Определим среднее и автокорреляционную функцию Х(Г). Сначала находим среднее значение о Е[Х(г)1 = 'Я Е(а„)Я- гг7') = т. ~~г ф — пТ). (2.2.52) ло о л=- о Видим, что среднее меняется во времени, но меняется периодически с периодом Т. втокорреляционная функция фЯ+ тг) = Ях(7+ т)Х'(г)1 =-,' ~ ~ Е(а„*а„,~И"(à — пТ)д(г+т-пг7')= (2.2.53) л=- о ио- о о о = ',В ~~" ф )рг-п)ц (à — пТ~д(г+т-тТ). Снова видим, что ф (г+т+7ГТ,Г+7ГТ)=ф„о(Г+т,Г), (2.2.54) лая 7Г= ~1, ~2> .... Следовательно, автокорреляционная функция Х(г) также является вриодической с периодом Т.
Такой случайный процесс назван циклостацгганарным или перггодггческн «гациаггарным. Поскольку автокорреляционная функция процесса зависит от обеих Г>9 переменйых 1 и т, его частотное представление требует двухмерного преобразован Фурье. Поскольку крайне желательно характеризовать такие сигналы их спектрально плотностью мощности, альтернативный подход заключается в вычислении средней арелзепи за один период автокорреляционной функции, определяемой как ф (т)= — [„ф„,(а+, )а, (2.2.55) Используя усредненную функцию автокорреляции, мы исключаем зависимость средин времени.
Теперь преобразование Фурье от ф (т) дает усредненную спекгральну~( .Ф У,. +71 плотность мощности для циклически стационарного случайного процесса. Такой подхо позволяет нам упростить характеристику циклически стационарного процесса в частотно области. Таким образом, спектральная плотность мощности определяется как Ф„.(У) =) Ф,„(т)е"" с[т. (2.2.56) ~1 гауссоз 2.3. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИК ЗАМЕЧАНИЯ И ССЫЛКИ В этой главе мы дали обзор базовых понятий и определений из теории вероятности1 теории случайных процессов.
Как отмечено в начале главы, эта теория является важныт математическим инструментом при статистическом моделировании источнико1 информации, каналов связи и при расчете цифровых систем связи, В частности, важно[ при оценке характеристик систем связи является граница Чернова.
Эта граница часП а) используется для оценки вероятности ошибки цифровых систем связи при использованиз кодирования при передаче информации. Наш обзор также осветил ряд распределени[ 2. коварн вероятностей и их свойств, которые часто используются при расчете систем цифрово[ связи. Е(Х12 Давенпорт и Рут (1958), Давенпорт (1970), Папулис (1984), Пеблес (1987), Хелстроа (1991) и Леон-Гарсия (1994) дали в своих книгах инженерно-ориентирование~ Р .опреде рассмотрение теории вероятности и теории случайных процессов.
Более глубоко[' математическое рассмотрение теории вероятности можно найти в книгах Лоэва (1955) Наконец, упомянем книгу Миллера (19б2), который рассмотрел многомерные гауссовски[ распределения. 1 а1 Ь) 2, ЗАДАЧИ 2.1. Один зксперимент имеет четыре взаимосвязанных результата А„>=1, 2, 3, 4, а второй зксперимев имеет три взаимосвязанных результата Вл~'=1, 2, 3. Совместные вероятности Р(А„В,) Р(А,,В)=010 Р(АьВ,)=ООа Р(АьВ,)=013 Р(Аз, В,) = 0,05 Р(Аз, Вз) = 0,03 Р(Аз, Вз) = 0,09 Р(Аз.В1) = 005 Р(Аз*вз) =012 Р(Аз Вз) = 014 Р(А4,В1) = 0,11 Р(А4,В ) = 004 Р(Аз,Вз) = 006.
Определите вероятность Р(А,), 1 = 1, 2, 3, 4, и Р(в,), У = 1, 2, 3. 2.2. Случайные величины Х„з = 1,2,...,п, имеют СФПВ Р(хьхз,.,,х„) . Докажите, что вели и а) Ь) с) ответ. 2. стацио а) Ь) с) и имев 2. ' Первые монозрафии по теории вероятностей и теории случайных процессов, ориентированные в решение задач радиотехники, связи и управления, появились в России в 1957 г. и принадлежат Б.Р. Левин [40), В,С. Пугачаву [411.
В 1966 г. появилась очередная книга Б.Р. Левина по этой тематике [271, а таюв с 'а~ пользуюшаяся большой популярностью книга В.И. Тихонова [42, см. также 43[ 70 Р(хГ хг, х») — )г(х»/х ! ~х г .. х! )Р(х» ! !Х»» х» з». х! ),.Р(хз/х»,х! )?з(х»/х!)Р(х! ) . 2.3. Дана р(х) — ФПВ случайной величины Х, Случайная величина У определяется как У = аХ+Ь, где ас!!. Определите ФПВ У через ФПВ Х.
2.4. Прел))сложим, что Х является гауссовской случайной величиной с нулевым средним и единичной дисперсией. Пусть У = аХз +Ь, а > 0. Определите и постройте график ФПВ для У. 2.5. а) Пусть Х„и Х; — статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевыми срелннмн н одинаковыми дисперсиями. По!о!жите, что преобразование (поворот) вила У, +)У, = (Л'„+?Х, )е'~ порождает другую пару,(У,,У, ) гауссовских случайных величин, которые имеют ту неСФПВ, что и пара (Х„„1,).
Ь) Заметим, что в п. а) ! "~ = А~ ' П где А — матрица размерности 2х2, В порядке обобщенна двухмерного преобразовании шуссовских случайных величин нз а) определите, какие свойства долгины быть у матрицы (преобразования) А златого, чтобы ФПВ Х и х', где х'= АХ, Х =(Х,Хг...Х„) и т' =(); Уг...у„), были бы одинаковыми. 2.6. Случайная величина У определяется как У = 2. Х,, где Х,, з=1, 2, ... л — статистически независимые случайные величины, причем г=! 1 с вероятностью р, Х,= 0 с вероятностью 1- р. а) Определите характеристическую функцию У. Ь) При помощи характеристической функции определите момент ЕЩ н Е(У'), 2.7. Четыре слу ьзйные величины Х!, Х, Хз, Х» являются совместно гауссовскими с нулевыми средними, с коваРнацней Нч -- Е(Х,Хг) и хаРактеРистической фУнкцией лз(?о,,?о„,йоз,Уо») .
Покажите, что Е(Л ! Хг Л з Х» ) =Нп Нз» 'Нзз Нг»+Н!4 Нгз . 2.8. При помощи характеристической функции для центрального и нецентрального хн-квалрат- раслределения случайных величин, определяемых соответственно по формулам (2.1.109) и (2.1.117), определите соответствующие первые и вторые моменты (формулы (2.1.1!2) н (2 1.125)). 2.9. Случайная величина Х распределена по Коши с ФПВ а?и р(х)= г,-»зсхс»з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
