Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 10
Текст из файла (страница 10)
39 где т,=Е(Х). С точки зрения приложений важное значение имеет совместный момент и совместный центральный момент, когда и =п=1. Эти совместные моменты называют корреляцией и ковариацией случайных величин Х! и Хз, При рассмотрении многомерных случайных величин мы можем определять совместные моменты произвольного порядка. Однако наиболее полезные для практических приложений моменты — это корреляция и ковариации между парами случайных величин.
Для детализации предположим, что Х, 1=1, 2, ..., и, являются случайными величинами с СФПВ р(хь хз, ..., х„). Пусть р(х„х)) — СФПВ случайных величин Х и Х. Тогда корреляция между Х и Х определяется совместным моментом Е(Х,.Х,) = ~ ~ х,.ху р(х,, х,.)Ж,~й,, (2.1.69) а ковариация между Х и Ху равна Е(Х)=м =-у' (2.1.73) й~ 1=0 Дифференцирование. можно продолжить, и и-я производная от ~р(у~) при ~0 определяет и-й момент: Е~Х) ( .). ~У(7) й'" =о (2.1.74) Таким образом, моменты случайных величин можно определять через характеристические функции. С другой стороны, предположим, что характеристическую функцию можно представить рядом Тейлора относительно точки ~0, т.е.
~р(!ч) = ~ »=О (2.1.75) .Ь)=ПЧ;б ) (2.1.79) 1=1 Бсли помимо статистической независимости все Х имеют одинаковое распределение, тогда все Ч'х,(р) идентичны. Соответственно ьЬ) =КО~)1 (2.1. 80) Окончательно ФПВ !' определяется обратным преобразованием Фурье, как дано в (2. 1.72). Поскольку характеристическая функция суммы и статистически независимых случайных величин равна произведению характеристических функций индивидуальных 40 Используя соотношение (2.1.74) в (2.1.75), мы получаем выражение для- характеристической функции через моменты в виде у(уз ) = ,')„Е(Х" ~).
(2.1.76) ~0 и! Характеристическая функция дает простой метод для определения ФПВ суммы независимых случайных величин. Чтобы это проиллюстрировать, предположим, что Х, н»1, 2, ... и, — ряд статистически независимых случайных величин, и пусть » К=~.Х,.
(2.! . 77) ~=1 Задача сводится к нахождению ФПВ от К Мы определим ФПВ от !', найдя сначала ее характеристическую функцию, а затем вычислив обратное преобразование Фурье. Итак, ~с (р~)=Е(е"")= =Е[»р[~»~Х]]=Я[11((' ')]= (2.1.78) =Г-Г П" ]»!*„„-*.!»»»", -". !=! Так как случайные величины статистически независимы, р(х„х„... х„) = = р(х,)р(х,)...р(х„) и и-мерный интеграл в (2.1.78) сводится к произведению и простых интегралов, каждый из которых определяет характеристическую функцию одного Х. Следовательно, случайных переменных Х; 1=1, 2, ...
п, отсюда следует, что в области преобразования ФПВ г' является п-кратной сверткой ФПВ от Х. Обычно и-кратную свертку выполнить непосредственно более сложно, чем воспользоваться методом характеристической функции для нахождения распределения ФПВ для У, как описано выше. Если мь1 имеем дело с и-мерными случайными величинами, необходимо определить и- мерные преобразования Фурье от СФПВ.
В частности, если Хь 1=1, 2... н, — случайные величины с ФПВ р(х,,х„...х„), и мерная характернстическпя функция определяется как » Ч»г~1з»1» /з»„... /ц„)=Е ехр у~к,Х, (2.1.З1) =1 .../ р»~,х)р(»,,»„...».»»»»»,... В, ы1 Специальный интерес представляет двухмерная характеристическая функция уо „р,) = ~ ) елчч"""'р(х,, хз) с~х,сухэ. (2.1.82) Заметим, что частные производные от уОз»„у»,) по и1 и з»э можно использовать для получения совместных моментов. Например, легко видеть, что Е»ХХ ) д Иу'1 .уьг) 1 дг, доз Моменты более высоких порядков можно получить аналогичным образом. С2.1,зз) 2.1.4. Некоторые часто используемые распределении В последующих главах мы встретим несколько различных типов случайных величин.
В этом разделе ыы перечислим эти новые часто встречающиеся случайные величины, их ФПВ, ПФР и моменты. Мы начнем с биноиняльного распределения, которое является распределением дискретной случайной величины, а затем представим распределение некоторых непрерывных случайных величин. Бююынвльное распределение. Пусть Х вЂ” дискретная случайная величина. которая принимает двв возможных значения, например Х = 1 или Х =О, с вероятностью р и 1 — р соответственно. Соответствуюцц1я ФПВ для х показана на рис. 2.1.6. 1-р Рис.
2.1.6. Функция распределения вероятностей Х Теперь предположим, что 41 » У= УХ;, »=1 где Х„!=1;2...п, — статистически независимые и идентично распределенные спу ийные величины с ФПВ, показанной на рис. 2,1.6. Какова функция распределения У? Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что изначально У вЂ” это ряд целых чисел от О до и. Вероятность того, что У'=О, просто равна вероятности того, что все Х,=О. Так квк У, статистически независимы, то Р<У =О) =П-р>".
и! С„= (2.1.84) различных комбинаций, которые приводят к результату (У=й), получаем Р(У = й) = С„'р'(1- р)"-", где С» — биномнальный коэффициент. Следовательно, ФПВ У можно выразить как (2.1.35) р(у) — ~Р(У вЂ” Ь)8(у 7) — 2, р (1 р) 8(у о=о о=о~ Уг( (2,1.86) ИФР для У Р(у)=Р(У~у)= Х Ир" (1-р)" ', о=охк/ (2.1.87) где (у] означает наибольшее целое число т, такое, что т ~ у. ИФР (2.1.37) характеризует биномиальное распределение случайной величины.
Первые два момента У равны Е(У) = лр, Е(У') = лр(1-р)+л~р~, гг = лр(1- р), (2.1.83) а характеристическая функция ц (И=(1 — р+ре")'. (2.1.39) Равномерное распределенце. ФПВ и ИФР равномерно распределенной случайной величины Х показан на рнс. 2.1.7. р(х) Т а 0 а 0 (Ь) (а) Рис. 2.1.7. Графики ФПВ и ИФР для равномерно распределенной случайной величины Первые два момента Х равны Е(Х) = З (а -ьЬ), Е(Х ) =ф(а +Ь +аЬ), о~ =,~ (а-Ь), а характеристическая функция равна (2.1.90) ело -ева ч 0)= (о(Ь - а) (2.1.91) э Вероятность того, что У=1, равна вероятности того, что одно слагаемое Х;=1, а остальные равны нущ Так как это событие может возникнуть и различными путями, о Р ( У 1 ) ар ( 1 р ) Далее, вероятность того, что К=К равна вероятности того, что )о значений Х,=1, а п — й равна нулю.
То как теперь имеется г, Гауссовское распределение. ФПВ гауссовской или нормально распределенной случайной величины определжтся формулой р(х) = — е >' "'>0 '"- з>2яо где ьзх — математическое ожидание, а о' — дисперсия случайной величины. ИФР равна х->л Г>(х)=)*„р(и)>Го = — )"„е 1' "') 'й' >л> = — ) „е' >Н=ф+зз-егГ~— где егГ(х) — функция ошибок, которая определяется выражениел~ ~гГ(~)= — ('"е ' >й. .Я ' ФПВ и ПФР иллюстрируются на рис. 2.1.8.
(2.1.92) (2.1.93) (2.1.94) Рис. 2.1.8. Графики ФПВ (а) н ИФР (Ь) гауссовской случайной величины ИФР Г(х) можно также выразить через доподнптельную функцию ошибок, т.е. > х->а,! Р(х) =1-3 егГс — *), где Д(х)= — )„"е ~ ~~й, х>0. (2.1.97) »'2пп Сравнивая (2.1.95) и (2.1.97), находим Д( ) =~ь~гГс— Характеристическая функция гауссовской случайной величины со средним тх и дисперсией о' равна „>,„> (....( >;('-.)ъ ]„,,-- (2.1.99) ~>12япо Центральные моменты гауссовской случайной величины равны ь1 (1 3".(й-1)оь (четные й) 4'--.) 1м., =' (2. 1. 100) " 10 (нечетные й), (2.1.98) егГс(х) = — ), е > >Гг = 1-егГ(х), (2.1.95) Заметим, что егГ(-х) = -егГ(х), егГс(-х) - "2 - егГс(х), егГ(0) = егГс( о) = 0 и егГ(о) = егГс(0) = 1 .
Для х > , яо дополнительная функция ошибок пропорциональна площади под частью гауссовской ФПВ. Для больших шяченийЛ'дополнительная функция ошибок егГ(х) может быть аппроксимнрована рядом е' Г 1 13 135 -()= — ~ ~—,- —,,-,, -1, (2.1.9Г>) х»п 2х" 2 х 2х причем ошибка аппроксимации меньше, чем последнее удерживаемое слагаемое. Функция, которая обычно используется для площади под частью гауссовской ФПВ, обозначается через 0(х) и определяется как (2.1.
102) где ог=~ о,, тг=~) пс,; (2,1.104) г=! 1=! Следовательно, У является гауссовской случайной величиной со средним т„и дисперсией о,Р. Хи-квадрат-распределение. Случайная величина с хи-квадрат-раслределением порождается гауссовской случайной величиной, в том смысле, что ее формирование можно рассматривать как преобразование последней. Для конкретности, пусть У = Л', где Х вЂ” гауссовская случайная величина. Тогда У имеет хи-квадрат-распределение. Мы различаем два вида хи — квадрат распределения. Первое называется центральным хи-квадрат-распределением, и полу жется, когда Х имеет нулевое среднее значение. Второе называется нененн!ральным ли-квадрат-распределением, н получается, когда Х имеет ненулевое среднее значение.
Сна ьзла рассмотрим центральное хи-квадрат-распределение. Пусть Х- гауссовская случайная величина с нулевым средним и дисперсией о'. Поскольку У=Х', результат дается функцией (2.1.47) с параметрами а=1 а Ь=О. Таким образом, получаем ФПВ У в виде рг (у) = е -"з', у ~ О. (2.1.105) з~2 луп ИФР для У Р,(у)='1;"рг(и)ди= И вЂ” е "'"- ди, (2.1.106) ь!'2 я по ьl и которое не может быть выражено в замкнутом виде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
