Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 34
Текст из файла (страница 34)
я, (Е) (4.2.32) Д Таким образом, сигнал /;(Е) имеет форму х1(Е), но нормирован к единичной энергии. Второй сигнал конструируется из х,(Е), причем сначала вычисляется проекция х,(Е) на Х(Е): с„= ~ з,(Е)/;(Е)й. (4.2.33) ,Затем с„ /,(Е) вычитается из х,(Е) для получения К(Е) = ь;(Е) -со Х(Е) . (4.2.34) Этот сигнал ортогонален Де), но не имеет единичной энергии. Если ~; означает / энергию для /, (Е), то нормированный сигнал, который ортогонален к Е,(Е), равен Уг(Е) = '/,,— Е~ (Е) В общем, ортогонализация ее-й функции ведет к Л(Е)= ~,,—.—, Л (Е) (4.2.36) (4.2.35) где /с-1 /„(Е) =х„(Е) —,у,с, /,(Е) (4.2.37) с,„= ~ я(Е)/,(Е)й, е =1,2,...,Ее-1. (4.2.38) Таким образом, процесс ортогонализации продолжается, пока все М сигналов не исчерпаны и не образованы У 5 М ортонормированных сигналов.
Размерность У-сигнального пространства равна ЛХ если исходные сигналы ансамбля линейно независимы, т.е. ни один из сигналов не является линейной комбинацией других сигналов. 143 1 ег 2кЕеЕ а„= ~ ~ з(Е)соя — й, (4.2.31) Ь1 = 5(Е) $1п й, Ансамбль ортонормированных тригонометрических функций Ц2)Т соз2пЕее/Т,,/2/Т з1п2~Й е/Т~ является полным, и, следовательно, ряд (4.2.30) обеспечивает нулевой средний квадрат ошибки. Эти свойства легко устанавливаются из проведенного выше рассмотрения. Прнмевз 4.2.2. Применим процедуру Грама — Шмидта к ансамблю четырех сигналов, показанных на рис. 4.2.1(а). Сигнал з,(Г) имеет энергию Ж, =2, так что Л(1) = Яь,(1). Далее мы видим, что с„= О; следовательно, в,(г) и Л(г) ортогональны.
Как следствие, ЯГ) =4,(Г)/ Й„=Яз,(Г). Чтобы получить фГ), вычислим со и с„, которые равны со = Г2 и с„=О. Таким образом, (-1 (2 < г < 3), 1, (г) — ~а(г) — ./2 Дг)— ( О 1для других г). У Поскольку /; (1) имеет единичную энергию, то следует, что )',(Г)=/, (Г). Для определения фг) находим, что см — — — /2, с,„= О и с„=1. Поэтому 14 (г)= 4(г)+ )2Я)-Я) =О. Как следствие, з„(г) является линейной комбинацией ~(г) и Я1) и поэтому ~„(г) = О.
Три ортонормированные функции показаны на рис. 4.2.1(Ь). Поскольку мы сконструировали ансамбль ортонормированных сигналов ()'„(1) ~, можем выразить М сигналов (з„(г)) каклинейнуюкомбинациюот ~Дг)). Таким образом, можно написать е ~'~О) 4' ~з(1) 1' -11 А е,р) 1н) 1, АА,О) /Н2 2 3 — — --- - — ------> с 1 1 ДО<о /1!2 Рис. 4.2.1. Ортогонализация Грама-Шмидта для сигналов 1в,й). 1=1, 2, 3 1а) и соответствующие ортогональные сигналы 1Ы 144 (4.2.39) Г„= ~ [л,(1)~' Г =,'„ь„'-„=~)а,~~', (4.2.40) Основываясь на выражении (4.2,39), каждый сигнал можно представить вектором (4.2.41) или, что эквивалентно, точкой в У -мерном пространстве сигналов с координатами (зь, 1 = 1,2„,.У[. Энергия й-го сигнала равна квадрату длины вектора или, что эквивалентно, квадрату евклидова расстояния от начала координат к точке У-мерного пространства. Таким образом.
любой сигнал можно представить геометрически как точку в пространстве сигналов, заданном ортонормированными функциями. Пример 4.2.3. Получим векторное представление четырех сигналов, показанных на рнс. 4.2.1(а), используя ортонормальный ансамбль функций из рис. 4.2. ЦЬ). Поскольку размерность пространства сигналов У=З, каждый сигнал описывается тремя компонентами. Сигнал л,(т) характеризуется вектором и, =(Л,О,О).
Аналогично сигналы ю,(г), з,(г), л4(г) характеризуются соответственно векторами а, = (О, ~Г2, 0), з., =(Л,0,1), з, =( — ~Г2,0,1). Эти векторы показаны на рис.4.2.2. Их длины равны ,з,1=ч2, ~з,~=ч-, 1и.,~=чЗ, 1з4 = l3, а соответствующие энергии сигналов 11,=~~~а,, ! р А =1,2,3,4. Рис. 4.2.2. Четыре сигнальных вектора, представленных в виде точек в трехмерном функциональном пространстве Мы показали, что ансамбль М сигналов с ограниченной энергией можно представить взвешенной линейной комбинацией ортонормированных функций [Дг)) размерностью У < М. Функции [Дг)) получены применением процедуры ортонормализации ГрамаШмидта из [х„(г)) .
Следует подчеркнуть, что функции [ г„(г)), полученные преобразованием Грама-Шмидта, не являются уникальными (единственными). Если мы изменим порядок формирования ортонормированных сигналов из 1з„(г)), получим другой ортонормированный ансамбль и соответствующее векторное представление сигналов (ь;,(г)1 будет зависеть от выбора ортонормальных функций [~,(г)1. Все же, вектора [а„[ 10-56 145 будут сохранять геометрическую конфигурацию и их длины будут инвариантны по отношению к выбору ортонормированных функций 1) „(1)], Пример 4.2.4. Альтернативный ансамбль ортонормнрованных функций для четырех сигналов из рис. 4.2.1 показан парис. 4.23(а).
используя этн функции для представления )ь;,(1)), получаем соответствующие векторы з, =11,1,0), аа =(1,— 1,0), а, =(1,1,— 1), я, =~ — 1,— 1,— 1), которые показаны на рис.42.3(Ь). Заметим, что длины векторов идентичны тем, которые получены из прежних ортонормированных функций [7'„(1)) . Ортогональные представления, описанные выше, были разработаны для вещественных сигналов. Рассмотрение комплексных сигналов оставлено как упражнение для читателей (см. задачи 4.6 и 4.7).
В заключение рассмотрим случай, когда сигнал является полосовым и представлен в виде ~„,(!) = Це[~„„(!)ет""], тл =1,2,..., М, (4.2.42) где к„„(!) — эквивалентные низкочастотные сигналы. Напомним. что энергии сигналов моакно выразить через я„,(1) или я„„(1) так: я!О 'ь О 1 2 а -,= 11,1, — 1) - ° ° ь,= 0,1Л! — — >М~ (Ь) а =1-1,-1,-1) ° ч Ыр Рис. 4.2.3.
Альтернативный ансамбль ортонормированных функций лля четырех сигналов рис. 4.2.1 (а) и соответствуюшие сигнальные точки (Ь) р = ~",иЯ,1! = ~ 1,, (!)~ай, (4.2.43) Похожесть между сигналами любой пары, например 1;„(!) н я, (1), измеряется коэффициентом взаимной корреляции (4.2.44) Определим комплексный коэффициент взаимной корреляции ры, так: 146 (4.2.45) Тогда Ке(рь„) = — ) з»,йз„(г) аг, 1 , (4.2.46) или, что эквивалентно, (4.2.47) ,»(г) =,(г)Х(г)+у,(г)ар)» где «,(г) и у,(г) представляют модулирующие сигналы (4.2.51) 4.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ ЦИФРОВОЙ МОДУЛЯЦИИ При передаче цифровой информации по каналам связи модулятор является устройством отображения цифровой информации в форму аналоговых сигналов, которые согласованы с характеристиками каналов.
Отображение обычно осуществляется посредством выбора блоков из х = 1оя, М двоичных символов из символов информационной последовательности (а,,) и выбора одного из И = 2' детерминированных сигналов с ограниченной энергией (з»,(1), т = 1,2,...,.И), для передачи его по каналу за время передачи х информационных символов. Когда отображение цифровой последовательности (а„) в сигнал осуществляется так, что сигнал, передаваемый на данном временном интервале, зависит от одного или более сигналов, переданных раньше, то говорят, что модулятор имеет память. С другой стороны, если отображение информационной последовательности (а„) в сигналы («»(г)) осуществляется так, что передаваемые сигналы не зависят от ранее переданных, модулятор называют без памяти.
147 Коэффициенты взаимной корреляции между парами сигналов или сигнальных векторов определяют совокупность параметров, характеризующих похожесть ансамбля сигналов. Другой родственный параметр — расстояние Евклида ~1~,";,1 между парой сигналов— определяется так: =~~» '!= АХ„Г~ Ы-~ И!»~~ =1» +"" »»»»7»»1Р Я . (»»»8) Когда 6» = Ж, = 6 для всех т и к, это выражение упрощается: а',~,";,1 = ~2с(1- Ке(р4 . (4,2,49) Итак, расстояние Евклида является альтернативной мерой похожести (или несходства) совокупности сигналов или соответствующих сигнальных векторов.
В следующем разделе мы опишем сигналы цифровой модуляции и используем пространство сигналов для их представления. Можно заметить, что сигналы цифровой модуляции удобно представить через две ортонормированные базисные функции вида ~(г) = ~ф соз2п~;,г, (4.2.50) У",(~) = — /-'г з1п 2711„Г. Если ю,,»(г) выразить как з„„(~) =«»(г)+~у,(г), то следует, что ь»(г) в (4.2.42) можно выразить так: 4.3.1. Методы модуляции без памяти Как сказано выше, модулятор в цифровой системе связи отображает последовательность информационных символов в соответствующую последовательность сигналов. Эти сигналы могут отличаться по амплитуде.
по фазе или по частоте или могут зависеть от двух или более сигнальных параметров. Мы рассмотрим каждый из этих видов сигналов отдельно, а начнем с линейной цифровой амплитудно-импульсной модуляции (АИМ), которую проще называют амплитудной модуляцией (АМ).
Во всех случаях предполагаем, что информационная последовательность символов на входе модулятора является двоичной и появляется со скоростью А бит/с. Амплитудно-импульсная модуляция. Цифровой АМ сигнал можно представить так: х„,(г) = йе[А„,11(Г)е"""~ = (4.3.1) = А,яд(1)сов2ку'Е, т=1,2,...,М, 0< 1 < Т, где (Аи, 1< т < М~ означает ряд из М возможных амплитуд, соответствующих М = 2' возможным 1с -битовым блокам или символам.
Амплитуда сигнала Аи принимает дискретные значения (уровни) А„,= (2т — 1 — М)а', т = 1,2,..., М, (4.3.2) где 2!!' — расстояние между соседними амплитудами сигналов. Сигнал я(1) является вещественным сигнальным импульсом, форма которого определяет спектр передаваемого сигнала, как мы увидим позже. Скорость передачи канальных символов при АМ равна Я/1с. Это скорость, с которой происходят изменения амплитуды гармонической несущей для того, чтобы отразить передачу новой информации. Временной интервал Т, =1/Я называется информационным (битовым) интервалом, а временной интервал Т = 1с/Я = ИТа называется символьным интервалом или интервалом канального сил1вола. Сигналы АМ имеют энергию гг т гг а =,~ вв(~)аг=2 А.,) Я (1)а1=2А,„огя (4.3.3) где Жя означает энергию импульса д(1) . О (о) ......
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
