Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Рассмотрите кодирование случайных величин Х, и Х,, которые характеризуются СФПВ Р(хс,хз), заданной как (15/ 7 Р(хихз) = 1 10 $» са 'а 'ь как показано на рис. Р.3.39. Вычислите битовую скорость, требуемусо ири равномерном раздельном квантовании хс н хз (скалярное квантование) и комбинированном (векторном) квантовании (лс, х). Определите разницу в битовой скорости при а=4Ь сь ,ь с , мк! За за 'с са )а Рис. Р.3.39 3.33. Рассл!отрите двоичный блоковый код с 2" кодовыми словами одсиаловой длины и.
Г!окажсстс. что неравенство Крафта выполняется для такого кода. 3.34. Покажите, что энтропия п-мерного гауссовского вектора Х=(х, хз .,л„] с нулевым средшиа 'и матрицей ковариаций М равна 2 3.40, Рассмотрите кодирование двух случайных величин Х и У, которые имеют равномерное распределение в области между двумя квадратами, как показано на рнс.
Р3.40. а) Найдите(;(х) и /~(у). 1>) Предположите, что каждая из случайных величин Х и У квантуется с, использованием четырехуровневого равномерного квантователя. Каково результирующее искажение? Каково результирующее число бит на пару (Х, У)? ' с) Предположите, что вместо скалярного квантования Х и У мы используем векторный квантователь для дости>кения того же уровня искажений, как в (Ь).
Каково результирующее число битов на выходную пару источника (Х, У)? '-2 Рис. Р3.40 3.41. Две случайные вели шпы Х и У распределены равномерно в квадрате, показанном иа рпс. Р3.41. а) Найдите 6(х) нЯ). (>) Предположите, что каждая из случайных величин Х и У квантуется посредством четырехуровневого равномерного квантователя. Каково результирующее искажение? Каково результирующее число бит на пару источника (Х, У)? с) Предположите, что вместо скалярного квантования Хп 1'мы используем векторньп1 квантователь с тем же числом бит на пару источника (Х, У), что в ((>). Каково результирующее искажение лля этогО векторного квантователя? 2 х Рис. Р3.41 130 ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ И СИСТЕМ СВЯЗИ Сигналы можно характеризовать различными способами, как случайные или детерминированные.
с дискретными либо непрерывными амплитудами низкочастотные или полосовые, с ограниченной или неограниченной энергией, с ограниченной или неограниченной мощностью и т.д. В этой главе мы рассмотрим характеристики сигналов и систем, которые обычно встречаются при передаче цифровой информации по каналам связи. В частности, мы введем представление различных форм сигналов при цифровой модуляции и опишем их спектральные характеристики.
Начнем с характеристики полосовых сигналов и систем, включая математические представления полосовых стационарных случайных процессов. Затем мы ознакомимся с векторным представлением сигналов. Завершим главу представлением сигналов цифровой модуляции и их спектральными характеристиками. 4.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛОСОВЫХ СИГНАЛОВ И СИСТЕМ Многие сигналы, порожденные цифровыми сообщениями, передаются посредством какого-либо вида модуляции несущей. Канал, через который передается сигнал, ограничен по полосе интервалом частот, концентрируемых около частоты несущей, как при двухполосной модуляции, или в смежной от несущей полосе, как при однополосной модуляции. Сигналы и каналы, которые удовлетворяют условиям, что их полоса частот значительно меньше, чем их несущая, называют узкополосными сигнтат~ и капалкин.
Модуляция, осуществляемая на передающей стороне системы связи для создания полосового сигнала, и демодуляция, осуществляемая на приемной стороне, чтобы выделить цифровую информацию, предполагают преобразование частоты. Без потери общности и для математического удобства желательно представить все полосовые сигналы и каналы эквивалентными низкочастотными сигналами и каналами.
Как следствие, качественные результаты различной техники модуляции и демодуляции, представленные в последующих главах, не зависят от частоты несущей и полосы частот канала. Представление полосовых сигналов и систем через эквивалентные низкочастотные формы и описания полосовых стационарных случайных процессов являются основными предметами этого раздела. 4.1.1. Представление полосовых сигналов Предположим, что вещественный сигнал 4~) имеет частоты, концентрированные в узкой полосе частот вблизи частоты ~;, как показано на рис. 4.1.1.
Наша цель — дать математическое представление таких сигналов. Сначала мы сконстззуируем сигнал, который содержит только положительные частоты из Я(~), Такой сигнал можно выразить как Ялх) =2 (у)Ф)* (4.1.1) где 5.(~) — преобразование Фурье Г~з(г)1 от г(г), а и(~) — единичная .ступенчатая функция. Эквивалентное представление (4,1.1) во временной области 131 -у о /: Рис.
4.1.1. Спектр полосового сигнала ю,(1) = ) ЯА/')е'™ф'= Е '[2и(/)1*Е '[5(/)). (4,1.2) Сигнал л,(1) называется аналитическим сигналом для л(1) . Заметим, что Р' '[Я(,/')~ = л(1) и Р '[2и(/)] = о(1)+ —. (4,1.3) Следовательно, л,(1) = Б(1) + — у а(1) = л(1) + — л(1) . Определим л(1) = — ~а(1) = — ) с/т. (т) (4.1.5) л1 л "1 — т Сигнал л(1) можно рассматривать как выход фильтра с импульсной характеристикой 1 й(1)= —, — о<1< о, (4.1.6) лЕ при подаче на вход сигнала л(1).
Такой фильтр называют преобразователем Гильберта. Частотная характеристика такого фильтра очень проста: — (/ >0), Рф) = [ Ь(1)е"-"й = — ~ — е'"-""с/1 = О ~/' = 0), (/ <О). (4.1.7) Заметим, что ~//(/')/ = 1 при /' ~ 0 и что фазовая характеристика (-л/2 для / >О, (4.1,8) Эквивалентное соотношение во временной области л,(1) =л,(1)е '-"' = [~(1)+/'я(1))е ' "'", или, что эквивалентно, л(1)+ /'л(1) = л,(1)е' "'. (4.1.9) (4.1.10) 132 Следовательно, этот фильтр по существу — фазовращатель на 90' для всех частот входного сигнала. Аналитический сигнал л,(1) является полосовым сигналом.
Мы можем получить эквивалентное низкочастотное представление, выполнив частотное преобразование Я,(/ ). Определим 5,1/) так: где аЫ= ~РИ+у Я, 0(г) = агсгд —. у(е) х(г) (4.1.16) (4.1.17) Тогда з,(г) = Ке[я,(г) е' "'1 = Ке(а(г) е'~ 'ь"~о~~ ~ = (4.1.18) = а(г) со~2л~,,г+0(г) ') Сигнал п(г) называют (вещественной) огибающей з(г), а 6(г) называют фазой з(г) . Таким образом, (4.1.12), (4.1.14) и (4.1.18) являются эквивалентными представлениями полосовых сигналов.
Преобразование Фурье з(г) ф") ) (г) -1~яФщ ) (К [ (г) 12кь~~~ -азия (4.1.19) Если использовать равенство Ке(с) =3;(~+~*) (4.1.20) в (4.1.19), то следует яф= 2 [ [х,(г)е"""+з ~(г)е " ь 1)е '""й = (4.1.21) =Ь,(х-д '~-х-Й где Я,(г) — преобразование Фурье от г,(г). Это базовое соотношение между спектром действительного полосового сигнала Я(Г) и спектром эквивалентного низкочастотного сигнала Яф. Энергия вещественного сигнала з(г) определяется так: ~" зг(г),й )" (Ке[г (г) с~2,р,.'~~',уг (4.1.22) !33 В общем случае сигнал Я,И комплексный (см.
задачу 4.5), и его можно выразить так: г,(г) = х(г)+ у'у(г) . (4.1.1 1) Если мы подставим г,(г) в (4.1.10) и приравняем вещественные и мнимые части с каждой, стороны, получим соотношения г(г) = к(г) соз2~т1;у — у(г) з1п2л~;г, (4.1.12) Яг) = к(г) з1п2лг,г+у(г) соз2лг';г. (4.1.1Э) Выражение (4.1.12) — желательная форма представления полосового сигнала. Низкочастотные сигнальные компоненты х(г)и у(г) можно рассматривать как сигналы, модулирующие по амплитуде соответственно несущие соз2л1',т и з1п2лг,г.
Поскольку эти несущие находятся в квадратуре (сдвинуты по фазе на 90'), х(г)и у(г) называют кеадратурными компонентами полосового сигнала з(г) . Другое представление для сигнала (4.1.12) такое: з(г) =-Ке([х(г)+ /у(г)1е'"л'~ = Ке[г,(г) е'"ь'1, (4.1,14) где Ке означает вещественную часть комплексной величины. Низкочастотный сигнал ь;(г) обычно называют комплексной огибающей вещественного сигнала з(г) . Она является по существу эквивалентным низкочастотным сигналом. Наконец, третья возможная форма представления полосового сигнала получается, если представить з,(г) = а (г) е'~~' , (4.1 15) изр) сок[4л)р-200)1 Рис.
4.1.2. Сигнал а2(е) соа(4лЕ;е+20(е)1 сигнал а (Е) меняется медленно по сравнению с Поскольку модулирующий сигнал а,, м косинусно" фу н й нкциеи, площ н " ", адь определяемая вторым интегралом, очень мала по ала в 4.1.23, и, следовательно, вторым интегралом сравнени нию с величиной первого интеграла в , и, сл я всех п актических приложений энергия полосового можно пренебречь. Таким образом, для всех практических п и квивалентный низкочастотный сигнал х,~Е, равна сигнала з(е), выраженная через эквив В=-,' ~'~з,(Е)~" ЕЕ, (4.1.24) где ~з(Е)/ является огибающей а(Е) для сигнала я(Е) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
