Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 33
Текст из файла (страница 33)
(4.1.57) (4.1.58) Представление белого шума. Белый шум является случайным процессом, который имеет постоянную спектральную плотность в неограниченном диапазоне частот, Этот вид шума не может быть выражен через узкополосные квадратурные компоненты вследствие широкополосности процесса. В вопросах, связанных с демодуляцией узкополосных сигналов на фоне шумов, математически удобно представить апдитивный шум как белый и выразить его через квадратурные компоненты.
Это можно выполнить, предполагая, что сигнал и шум на приемной стороне прошли через идеальный полосовой ' фильтр, имеющий полосу пропускания более широкую, чем полоса сигнала. Такой фильтр может внести пренебрежимо малые иска>кения в сигнал, но он исключает частотные компоненты шума вне полосы пропускания фильтра. Белый шум, прошедший через идеальный полосовой фильтр, называют полосовым белым шумом, и он имеет спектральную плотность вида, показанного на рис.4.1.3.
Полосовой белый шум можно представить в любой из форм, выражаемых формулами (4.1.37), (4.1.38) и (4.1.39). Спектральная плотность мощности и автокорреляционная функция эквивалентного белого низкочастотного шума равны соответственно Рнс. 4.1.3. Попосовой шум с равномерным спектром 4.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ В этом разделе мы продемонстрируем, что сигналы имеют характеристики, которые похожи на векторы, и приведем векторное представление сигналов. Начнем с некоторых базовых определений и концепций для векторов.
4.2.1. Концепция векторного пространства Вектор ч в и-мерном пространстве характеризуется своими л компонентами [ «, «, ... «„] . Его можно также представить как линейную комбинацию единичных векторов или базисных векторов е„1 < 1 < и, т.е. П ч=„у,«,е,, (4.2.1) г ! где, по определению, единичный вектор имеет единичную длину. а ч,.
является проекцией вектора ч на единичный вектор е, Скалярное ироизввдеиие двух л-мерных векторов ч, = [«и «„... «м] и ч, = [«„«„... «ь, ] определяется как У '=Хны (4.2.2) Два вектора ч, н ч, ортогональны, если ч, ч, =О. В более общем виде совокупность т векторов «.„, 1< Й < т, ортогональна, если ч, «,=О для всех 1 < 1, у' < т и 1 ~ ~', Норча вектора ч обозначается 11«11 и определяется И=( )"'= Х,' (4,2.4) 1м Это просто длина вектора.
Ансамбль т векторов называется ортонормированиым, если все векторы ортогональны и каждый вектор имеет единичную норму. Совокупность т векторов называется линейно независимой, если ни один вектор не может быть представлен как линейная комбинация оставшихся векторов. Два п-мерных вектора ч, и ч, удовлетворяют неравенству треугольника (4.2.3) 139 Спектральная плотность мощности белого и полосового белого шума симметрична относительно ~ = О, так что фх„(т) = О для всех т . Следовательно, ф.,(т) = ф (т) = ф (т) .
(4.1.59) Это означает, что квадратурные компоненты Х(Г) и У(1) не коррелированы при всех временных сдвигах т, а автокорреляционные функции 2(1), Х(1) и У(1) одинаковы. Аз' =) л, (4.2.10) где Х вЂ” некоторый (положительный или отрицательный) скаляр, вектор л называется сооствепным вектором преобразования, а Х является соответствующим собствеинь>л! значением. В конце рассмотрим процедуру Грама †Шмид для образования ;шсамбля о)т>о!юрлзировапи>э>х Вскто!зов из !)яда и >л!с!злых вск>о!зов, к 1 < ! < ш >л>!ы па>пписл! вь~юром произволыюго вектора ряда, скажем к>. Пугсы нормировки с>о длины получасы первый вектор ансамбля (4.2.11) лз> = ' ~1!Г Затем можем выбрать л з и получить проекцию лз на и,.
Образуем вектор и, = л з -(л, и!)и, . Далее нормируем вектор в, к единичной длине. Это дает (4.2.12) н, (4.2.1 3) и> = (и')! Процедура продолжается выбором вектора те н образованием проекции л з на ц„. Таким образом получаем ил = тз -1з ! п>)п. — (тз пз !нз. (4.2.14) Затем образуется ортогональный вектор и.,: (4.2,15) и! = ' !4 Продолжая эту процедуру, можем образовать ансамбль из и! ортонормированных векторов, где в общем и> < п.Если т < и, то л! < т, а если т > >з, то л, < и. Можно показать.
нто неравенство (4л.6) перехолпт в равенство не только прп положптелы>ых, по и прп отрпцательнык а (прп) !40 !л, - ~„(<!!л,/+ з!., (4.2.б) а равенство имеет место, если к! и л з имеют одшшковос >ширивлашс. г.с. м! = лз. г:!с и яв:и>аггея поло>кительпыл! вещественным скаляроы. Из иеравс!>ствп трсуголышка следует ! !сране>иство Коши-Шварца ° '1-'~' ~ ~'~ (4.2.б) ! с равенством. если л > = аз „, Квадрат нормы сум>мы двух векторов можно выразить так: '„+, (! (!л( +! ( +2 (42.» ! аш к> и к, орто! оца>>ы>ы, тогда т! к, = О и.
слсдова>сп по. (з>+л,)! =,'~л >(( -!- (л'„,'! . (4,2.8) Это соотношение Пифагора для двух ортогопальпых и-мерных векторов. Напомшзы из ал>ебры матриц, что линейное преобразование в и-мерном векторном прострапсгвс является матричным преобразованием вида лл = Ал:, (4.2.9) глс матрица А преобразует вектор т в пекоторьш вскгор к'. В специальном сну гас.
ког;!л! т ' = l.ъ, >, с. 4.2.2. 1воицсиция ирос граиства сигналов К!!к В с:!уч!Вс Вскгорон, и!>! ь!О:ксь! Вровсс)'и иар!с!.!с:!ыи>с !х!ссь!От!генис ря.'!а! си!'Ви:юи. «ирс;!с ьс!и!ых иа иско!Ором питер!ив!с [~!,6~ . Ска)!яриос произведение;и)ух, В Ооир)м случае комплексных сигналов х!(!) и х)(!) обозначается (х!(!),ха(!)) и определяется как (4.2. ! б) Си!!и!;и ! О!т!О!О)ис!ы!ы, если их с!Сал)!риос !й)оизвсдсиис раьчю иу!ВО. !!Оран! сиг)кк!я! Оирс„'!с!!яс'!ся так: !!1!!1=(Х ! ь!!'-«) (4.2.17) Ансамбль гл сигналов называется ортонормированиым, если все сигналы попарно Ортогоиальиы, а нх нормы равны 1.
Сигналы линейно независимы, если ии один сигнал ис В!>!ра)кается как ли!Вейиая комби!ищия Осталы!ых снг!галов. Неранеис!ВО треу! Олы!Вка ДЗВ! ,.и!т х сигналов выражается подобно (4.2.5): !!'-,().х (4-1~ -й !1--)(4 а неравенство Коши-Шварца выражается подобно (4.2.6): ! .,а!,о!й <$(!.,(!)$ Рк !! !.,ь!$ (4.2.18) (4.2.19) причем равенство имеет место, если «)(!) =ах!(!), где и — произвольное комплексное число. !', = ~ (ь(г))-а7гс,о, 14.2.20) Далее, предположим, что существует ансамбль функций ( 1;,((), п = 1,2,, У!! .
который ортонормирован в том смысле, что 1 ~.а!Г.Ув=1! (4.2.21) ь(!) при помощи взвешенной линейной Мы можем аппроксимировать сигнал комбинации этих функций, т.е. ь)(!) = Хь) Л(!), 14.2.22) я=! где (ь„, 1< к < К!1 — коэффициенты в аппроксимации ь(г) . Ошибка аппроксимации е(т) = ь(г) -ь(!). 1'4.2.23) Выберем коэффициенты (ь!.~ так, чтобы минимизировать энергию !С, ошибки ьншроксимацин.
Имеем Автор в дальнейшем отождествляет интервал и отрезок (прп) 141 4.2.3. Ортогональное разложение сигналов В этом разделе мы ознакомимся с векторным предс!авве!!иел! сигналов и таким образом продемонстрируем эквивалентность между сигналами и их Векторными представлениями. Предположим, что ы~) является детерминированным вещественным сигналом с Ограниченной энергией Я = ( ~~Ь1-ЛЧ1ЕВ= 1 [е Е1-~ЬЯП]'а. (4.2.24) (4.2.26) и оно не отрицательно по определению. Когда средний квадрат ошибки Ф ы = О, то к Ф = ~я, = ) (з(Е)] пеЕ. (4.2.28) Аы При условии, что 6„,„= О, сигнал з(Е) можно выразить так: к Я(Е) = ~ Хь /~(Е) .
к-1 Равенство я(Е) правой части (4.2.20) понимается в том смысле, что ошибка представления имеет нулевую энергию. Если каждый сигнал с ограниченной энергией. можно представить рядом (4.2.29) при 6„„, = О, совокупность ортонормированных функций (~,(Е)~ называют полной .
(4.2.29) Пример 4.2.1. Тригонометрический ряд Фурье. Сигнал х(Е) с ограниченной энергией, который равен нулю везде, кроме области 0 < Е < Т, и имеет ограниченное число разрывов на этом интервале, может быть представлен рядом Фурье: 2зйЕ, 2л)ЕЕ') з(е) =,'), а„сов +Ь„з1п (4.2.30) где коэффициенты (а„Ь„~, которые минимизируют средний квадрат ошибки, определяются выражениями ' Для непрерывных сигналов (как в примере 4,3.!) зто возможно, только если К не ограничено.
Только тогда ортонормированный ансамбль является полным, а представление (4.2.29) называется обобшвнным рядом Фурье (прп). При конечном числе членов ряда (прп). 142 Оптимальные коэффициенты ~х„~ в представлении я(Е) рядом можно найти путем дифференцирования (4.2.24) по каждому из коэффициентов и приравнять первые производные нулю. В качестве альтернатины можем использовать хорошо известный результат из теории оценок, основанцый на критерии минимума среднего квадрата ошибки оценивания, который гласит, что минимум с~„; по з„достигается тогда, когда ошибка ортогональна к каждой из функций ряда, т.е. яч — ~ь,Г,Ь1~~Х14в=о, =1З,...,к. (4.2,25) яы Поскольку функции )7"„(Е)) ортонормированы, из 4.2.25 следует з„= ~ и(Е)~„(Е)ЕЕЕ, и=1,2,...,К.
Таким образом, коэффициенты получаются как проекции сигнала з(Е) на каждую из функций )Де)) . Как следствие, я(Е) является проекцией з(е) в К-мерном пространстве сигналов, заданном функцнямн (Е„(Е)). Иногда говорят, что пространство натянуто на функции ) Е„(Е)~ . Минимальное значение среднего квадрата, ошибки аппрокснмации равно К к 6„я, = ~ е(Е) з(Е)ЕЕЕ = ~ ~з(Е)1 еЕŠ— ~,~я„~'„(Е) к(Е) сЕЕ =6 —,) ю„', (4.2,27) ьы йы Процедура Грама-Шмидта. Теперь предположим, что мы имеем ансамбль сигналов с ограниченной энергией 14;(Е), 1 = 1,2,... М~, и хотим сконструировать ансамбль ортонормироваиных сигналов. Процедура ортоиормирования Грама-Шмидта позволяет нам сконструировать такой ансамбль. Начнем с первого сигнала з1 (е), причем предполагается, что он имеет энергию К,. Первый сигнал ортонормированного ансамбля конструируется легко Л(Е) = — ' —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
