Прокис Дж. Цифровая связь (2000) (1151856), страница 32
Текст из файла (страница 32)
4.1.2. Представление линейных полосовых систем е быть описан или своей импульсной Линейный фильтр (линейная система) может кото ая является характеристикой й1Е), или сво " х й( ) оей частотной характеристикой Н(Е), р преобразованием Фурье от Л(Е) . Поскольку Ее(Е) вещественно, то н*(-у) = н(у). Определим 1Н® (~ >О), ) 1 0 ( г 0 ) (4,1.26) Тогда (4.1.27) Используя (4,1.25), получаем соотношение Н()-Н,( О+Н,*( 1 и), (4.1.28) 134 Если равенство (4.1.20) использовать в (4.1.22), то следует результат с = — !5~(е) ЕЕе+ — ) !х,(е)~ сон(4пЕ;е+20(е))сее. (4.1.23) (4.1.23).
Поскольку сигнал з(Е) узкополосный, то Рассмотрим второй интеграл в г .. л . 2 2 ( ) = ~я (Е)1 или, что эквивалентно, а (Е) = ~ю,(Е)~ меняется вещественная огибающая а(Е) = ~~я,(Е или, чт ия подынтегрального выражения во втором интеграле, да иллюстрация подынтегр и под косинусной функцией, промодулированной Величина этого интеграла равна площади под косин с о 1 сигналом с! (Е) . которое покоже на (4.1.21), за исключением множителя —,' .
Обратное преобразование Фурье Нф из (4.1.28) позволяет представить Ь(г) в виде Ь(г) Ь,(г)ел™м +Ь (1)с- -" =2Ке(Ь(г) е"""], (4.1.29) где Ь,(г) — обратное преобразование Фурье Н,(~). В общем случае импульсная характеристика Ь,(г) эквивалентной низкочастотной системы принимает комплексные значения. (4.1,34) где йО)= (Х)Н,(Х) (4.1.35) — спектр выхода эквивалентной низкочастотной системы, возбуждаемой эквивалентным низкочастотным сигналом. Ясно, что во временной области выход «(г) определяется сверткой ю,(С) и Ь,(Ю), т.е.
«,(г) = ) к,(т) Ь,(г — т)от. (4.1.36) 135 4.1.3. Отклик полосовой системы на полосовой сигнал В разд. 4.1.1 и 4.1.2 мы показали, что узкополосные полосовые сигналы и системы могут быть представлены эквивалентными низкочастотными сигналами и системами. В этом разделе покажем, что выход полосовой системы на полосовой входной сигнал можно часто получить из эквивалентного низкочастотного входа сигнала и эквивалентной низкочастотной импульсной характеристики системы. Предположим, что к(Г) — узкополосный полосовой сигнал, а ь;(г) — эквивалентный низкочастотный сигнал.
Этот сигнал поступает на узкополосную полосовую систему, определяемую своей полосовой импульсной характеристикой Ь(г) или эквивалентной низкочастотной импульсной характеристикой (ИХ) Ь,(г) . Выход полосовой системы также является полосовым сигналом, и, следовательно, его можно выразить в виде «(Г) = Ке(«(1)е' '~*'), (4.1.30) где «(г) связан со входным сигналом з(г) И ИХ системы Ь(г) интегралом свертки «(г) = ~ г(т)Ь(г — т)сй. (4.1.3 1) Эквивалентно выход системы, представленной в частотной области, равен кЯ='.Я и. (4.1.32) С учетом (4.1.21) для Я(~ ) и (4.1.28) для Н(~) получаем результат Ф) ~~~К(Х-Х)+~~ "( — Х-.~;)~х~Хф-~)+Н,*( — 1"-~)~.
(4,133) Когда к(1) является узкополосным сигналом, а Ь(г) — импульсной характеристикой узкополосной системы, то о',(~ — ~ ) = 0 и Н,(~ — ~ ) = 0 для ~ < О. Отсюда следует З,(У-У)Н, (-У-~,.)=О, К,*(-У-~„)Н(Х-Х)=О. Следовательно, (4.1.33) упрощается: КомЯ~нация (4.1.3б) и (4.1.30) дает отношение между выходом полосовой системы г(>) и эквивалентными низкочастотными функциями х,(>) и Ь,(>). Это простое отношение позволяет нам не учитывать произвольные линейные преобразования частот, которью встречаются при модуляции сигнала с целью смещения его спектра в частотной области конкретного канала. Следовательно, для математического удобства будем иметь дело только с передачей эквивалентных низкочастотных сигналов через эквивалентные низкочастотные каналы.
4.1.4. Представление полосовых случайных процессов Представление полосовых сигналов в разд. 4.1.1 касастся детерминированных сне~алов. В этом разделе рассмотрим представление полосовых стационарных случайных процессов. В частности, получим важные отношения между корреляционной функцией и спектральной плотностью мощности полосового сигнала и корреляционной функцией и спектральной плотностью мощности эквивалентного низкочастотного сигнала.
Предполо>ким, что л(~) является реализацией стационарного в широком смысле случайного процесса М(>) с нулевым средним и спектральной плотностью мощности Фвви. Примем, что спектральная плотность мощности равна нулю вне интервала частот. группирующихся около частот + >'„где у, — чпслплпп несущей.
Случайный процесс М(г) называется узкополосльан >голосовылп случсшпыз> пронессцн, если ширина его полосы частот Ь/ намного меньше у, С учетом этого условия реализация процесса >т(1) может 1 быть представлена в одной из трех форм, данных в разд. 4.1.1, а именно л(1) = а(1) соз~2л ~у+ 0(/)~, (4.1.37) >>(Г) = х(1) соз2>т,у,! — у(!) зт2л ~ С, (4.1.3 8) л(с) = йе(г(1) е '-"" ], (4.1.39) где а(г) — огибающая, а 0(г) — фаза вещественного сигнала, х(~) и у(~) — квадратурные компоненты п(>), а г(1) — колтлакслея огибаюийяя для л(~) .
Рассмотрим более подробно форму, определяемую (4.1.38). Сначала заметим. что если й(г) имеет нулевое среднее, то случайные квадратурные компоненты Х(~) и Ц~) должны также иметь нулевые средние. Далее„стационарность А>(~) подразумевает. ч ~ о автокорреляционные и взаимокорреляционные функции Х(() и 1'(~) обладают следующими свойствами: ф,, (т) = ф,, (т), (4. 1.40) фо,(т) =-ф„( ).
(4,1.41) Покажем, что эти два свойства следуют из стационарности Ф(т) . Автокорреляционная функция флв(т) для У(Г) равна ф„„(т) = Е[У(~)Ж(с+т)] = ЕЯХ(() соз2л 1,! — Г(~) з(п2л~;Е~ х х (Х(~ + т) соя 2л Д1+ т) — У(Г + т) з(п 2л Д ~ + т))) = (4.1.42) =ф„(т) соз2лту соз2лув(г+т)+ф,в(т).з1п2л~;.г з1п2л~;(г+т)— — ф„.(т).зш2л г';» .соз2л гв(> + т) — ф,„(т) соз2л т';г-зш2л г';(1+ т). Используя соотношения В более общем случае достаточно потребовать, чтобы Д~/2 < >,, 1прп1 136 (4.1.44) определяется как ф..(т) =4Е[~*(г)4г ')1 (4.1.47) Подставив (4.1.46) в (4.1.47) и выполнив соответствующие операции, получаем ф..(т)- 2[ф,,(т)+Ф (т)-1фс (т)+~ф,:,(т)~ (4.1.48) Теперь, если выполняются свойства (4.1.40) и (4.1.41), находим соотношение ф,,(т) = ф„(.)+~ф„(.), (4.1.49) которое выражает автокорреляционную функцию комплексной огибающей через автокорреляционную и взаимокорреляционную функцию квадратурных компонент.
В заключение, используя результаты (4.1.49) и (4.1.45), имеем ф„„(т) = йе[ф, (т)е''-""]. (4.1.50) Таким образом, автокорреляционная функция ф„„(т) полосового случайного процесса Ф(~) однозначно определяется автокорреляционной функцией ф (т) эквивалентного низкочастотного случайного процесса У(Г) и частоты несущей у„.. Спектральная плотность мощности Фь„(Д случайного процесса У(г) определяется преобразованием Фурье ф,(т). Имеем Ф„„(/)= [ (Ке[ф..(т)е"'~'Яе "'~+с1т=ф~Ф.(~-~;.)+Ф.( — у" — ~',,)~, (4.1.51) где Ф, И вЂ” спектральная плотность мощности эквивалентного низкочастотного процесса У(~) .
Поскольку автокорреляционная функция У(!) удовлетворяет условию ф.,(т) = ф. (- т), то следует, что Ф..и является вещественной функцией частоты. сов АсозВ = —, сов(А- В)+соз(А+ В)1, з1п А а1п В =-,' соз(А — В) -соз(А+ В)), (4.1.43) з1п А созВ = -'[зш(А — В)+з1п(А+ В)] в (4.1.42), получаем результат е~ь7(г)м(г+ т)1= ф(ф,.„(т)+ф,, (т))соз2л 1;т+ + ф(ф „„(т) — ф,, (т)) соз2л Д2г+ т)— - ф ~ф,„(т) - ф, (т)) з1п 2л ~;.т— з(ф,„(т)+ф, (т)~з1п2лД2г+т). Поскольку М(г) — стационарный процесс, то правая часть (4.1.44) не должна зависеть от и Но это условие может быть выполнено только при условии выполнения (4.1.40) и (4.1.41). Как следствие, (4.1.44) сводится к ф„„(с) = ф„,(т)соз2к~„.т — ф,,,(т)з1п2л 1л. (4.1.45) Заметим, что соотношение между автокорреляционной функцией ф„„(т) полосового процесса и корреляционной и взаимокорреляционной функциями ф „.„(т) и ф „(т) квадратурных компонент имеет форму (4.1.38), которая выражает полосовой процесс через квадратурные компоненты.
Автокорреляционная функция эквивалентного случайного низкочастотного процесса У(г) = х(г) + 1'У(г) (4.1.46) 137 Свойства квадратурных компонент. Выше было показано, что взаимокорреляционная функция квадратурных компонент Х(ч) и 1'(г) полосового стационарного случайного процесса М(г) удовлетворяет условию симметрии (4.1.41). Далее, любая взаимокорреляционная функция удовлетворяет условию ф„()=ф„(- ) (4.1.52) Из этих двух условий заключаем, что ф„()=-ф„(- ) (4.1.53) Это означает, что ф,,(т) является нечетной функцией т.
Следовательно, ф,.„(0) = 0 и, значит, Х(г) и 1(г) не коррелированы при т =О. Конечно, это не означает, что процессы Х(г) и У(1+ т) не коррелированы для всех т, поскольку это бы означало, что ф„,(т) = 0 для всех т. Если в самом деле ф, (т)=0 для всех т, то ф (т) является вещественной, и спектральная плотность мощности Ф,.и удовлетворяет условию Ф.,И=Ф„( — >), (4.1.54) и наоборот. Это означает, что Ф..и симметрична относительно ~ = 0 (четная функция частоты).
В частном случае, когда стационарный случайный процесс М(г) гауссовский, квадратурные компоненты Х(г) и т'(>+т) совместно гауссовские. Более того, при т =0 они статистически независимы, и, следовательно, их совместная плотность вероятности р(х,у)= —,е ( (4.1.55) 2>го' где дисперсия п~ определяется как а~ = ф,.„(0) = ф„(0) = ф„„(0) . (м, (у<-,'в), '(о (~>,в), (4.1. 56) э1п кВт лт Предельная форма ф.,(т), когда полоса частот В -> о, выра>кается так: ф. (т) = 1~>,б(т) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
