Пенин П.И. Системы передачи цифровой информации (1976) (1151855), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Узиа ~ 2 / 126 Во многих случаях, когда требования к помехоустойчивости достаточно высоки, удобнее пользоваться выражением (3.103), чем (3.99). При заданной спектральной плотности шума Ув не-' обходимая величина а, при которой достигается нужная помехоустойчивость, для сигналов с пассивной паузой может быть получена только за счет энергии сигнала з, (поскольку эх=О). Для сигналов с активной паузой необходимая величина а зависит не только от энергии сигналов з~ и зм но и от величины коэффициента взаимной корреляции р, между этими сигналами, т.
е. от конкретного вида этих сигналов. В зависимости от вида сигналов величина р, (см. выражение (3.85) ) может принимать различные значения в интервале — ! =)з,(+1. Величина взаимной корреляции характеризует различие между сигналами, поэтому значение р, можно рассматривать как меру этого различия, а границы возможных значений р,— как пределы этой меры. Выделим три наиболее характерных случая. 1. р.=!. При этом а=О, р, =0,5.
Этот случай соответствует одинаковым сигналам з~(!) и зг(!). Естественно, что различить такие сигналы невозможно. В результате приема таких сигналов апостериорная вероятность не увеличивается по сравнению с априорной и, следовательно, никакой полезной информации на выходе оптимального приемника нет. 2. р,=О. При этом пи,=Е)й!ь — — Рю, рош=0,5 — Ф(йо) (3.104) Этот случай соответствует классу двух ортогональных сигналов.
Примерами таких сигналов являются частотноманипулираванные (ЧМн), фазоманипулированные (ФМн) сигналы с манипуляцией на я/2 и др. [!2). 3. р,= — 1. При этом а',=2Е(!Уо=2йть, р, =0,5 — Ф()/2Ь,). (3.105) Этот случай соответствует классу противоположных сигналов з~(!) = — з,(!), при которых достигается максимальное различие между з, и зм Примером таких сигналов являются фазоманипулированные сигналы с манипуляцией фазы на и. При прочих равных условиях противоположные сигналы обеспечивают минимальную вероятность ошибки !27 по сравнению с любыми другими двоичными сигналами и в этом смысле оии могут быть названы оптимальными двоичными сигналами.
Таким образом, рассмотрение вопросов оптимального приема двоичных сигналов позволило не только установить структуру оптимальных приемников, но и отыскать оптимальный класс двоичных сигналов. Следовательно, для двоичных сигналов полностью решена задача оптимизации системы типа «модулятор — демодулятор» (или, что эквивалентно, системы «сигнал— фильтр») . Вероятность ошибки при оптимальном приеме двоичных сигналов разных классов часто удобно выражать в некотором модифицированном универсальном виде.
Для этого аргумент а в формуле (3.99) представляют в виде и= усйе, (3.106) где у, — постоянный коэффициент, величина которого зависит от класса рассматриваемых двоичных сигналов. В частности, если пиковая мощность сигналов ограничена, то для сигналов с пассивной паузой у,=!/ 3/2; для ортогональных сигналов с активной паузой у,= 1;- для противоположных те=)/ 2 С учетом (3.106) формулы (3.99) и (3.103) принимают соответственно следующий вид: Р = 0,5 — Ф(Т„Л,), (3.10Т) )тем= 1 ехр( —" ~ ') для Той,' 3.
(3.108) ' Напомним, что Ее — энергии сигнала на входе приемника, соответствуиицаи одной двоичной единице информации, а Š— энергии одной носилки сигнала (см. $ Пв). 12о Удобство такого представления состоит в том, что появляется возможность наглядно сравнивать помехоустойчивость оптимального приема для разных классов двоичных сигналов. Зависимость ро =1(пе) для разных классов двоичных сигналов представлена на рис. 3.12. Величина йо для сигналов с активной паузой (как ортогональных, так и противоположных) характеризует энергетические затраты на передачу одной двоичной единицы информации с заданной вероятностью ошибки р,ш, так как для таких сигналов Е=Ее *. Сигналы с пассивной паузой можно рассматривать как частный случай ортогональных сигналов. В таких сигналах энергия затрачивается только при излучении посылки г~(1).
Поэтому с учетом априорной вероятности р(г1) =0,5 для обеспечения одинаковой вероятности ошибки энергия посылки з~(() должна быть вдвое больше, чем при ортогональных сигналах с активной паузой, т. е Еи=2Еа и Йиии=2йииа (при Роша=роша) . При таком ес гй гй гю га сагаалы а(р, -3О,с ааы с пассааасй ааагай гй' се сагаааы аав Рис. 3.12. условии энергетические затраты на передачу одной двоичной единицы информации для ортогональных сигналов с активной и пассивной паузой одинаковы.
Выполнить указанное условие можно, увеличивая либо среднюю (а следовательно, и пиковую) мощность посылки сигнала г1(г), либо длительность посылки тш Ни то, ни другое во многих случаях нежелательно. Увеличение пиковой мощности связано с необходимостью повышения питающих напряжений в передатчике и усложнением его схемы, а увеличение длительности посылки ти— с уменьшением скорости передачи информации. Поэтой и ряду других причин сигналы с пассивной паузой и современных системах цифровой передачи информации находят ограниченное применение. Проведенное рассмотрение показывает, что помехоустойчивость приема при выбранном классе двоичных сигналов зависит только от величины энергетического отношения сигнала к шуму лиш 9 — 376 129 Учтем, что энергия посылки Е=~з'(1) Ж=ч,— ) г'(г) с!г=Р,т„ ! г, где Р,— средняя мощность сигнала на интервале времени '(Π— т~) . Обозначим полосу частот, занимаемую спектром сигнала, через Л/, (ширнна спектра сигнала).
Тогда йгч можно представить в виде Е Рсм Рс /Ра~ и =и ь~ пМ'=~в — ) Б" (3109) где Бс Матю (3.! 10) — база сигнала, а (Р„/Р ), — отношение средней мощности сигнала к средней мощности шума на входе приемника, взятое в полосе частот 4',. Из выражения (3.109) следует, что необходимая величина Юо может быть получена увеличением либо отношения снгнал/шум на входе оптимального приемника, либо базы сигнала.
Для сигналов с большой базой (Б,))1) (Р,/Р )„= Ь',/Б, ~ Ь',. (3.111) Для простых сигналов (Б,=1) (Р,/Р )„=й;. (3.! 12) Графики зависимости р,~=/(йо), представленные на рис. 3.12, справедливы для любых двоичных сигналов, в том числе и простых и сложных. Эти графики характеризуют помехоустойчивость оптимального приема различных классов двоичных сигналов.
Зная вероятность ошибки при передаче одного символа дискретного сообщения, можно найти вероятность искажения кодовой комбинации первичного кода. Так как ошибки при передаче отдельных символов независимы, то при т-значком коде эта вероятность равна (при Рою(( 1) р =1 — (1 — Р )" = Р„,=ш(03 — е(Т,й,)). (3.Н3) На рис, 3.12 показана граница, определяющая предел Шеннона при передаче одной двончдор единицы инфор- 1И мации по гауссовскому запалу 1см. $1.7).
Из рассмотрения графиков рис. 3.12 следует, что оптимальная система типа «модулятор — демодулятор» весьма существенно уступает полностью оптимальной системе в смысле Шеннона по величине энергетических затрат л«« на передачу одной двоичной единицы информации. Так, например, для передачи с ошибкой от 10-' до 1О-« необходимо иметь Й'в=7 †, в то время как в полностью оптимальной системе при р, =0 достаточно иметь й»6=. =1п2=0,7, т. е.
в 10 — !5 раз меньше. Однако полная реализация подобного выигрыша принципиально невозможна, поскольку для этого необходимо применять кодирование, требующее бесконечного времени задержки. Вместе с тем, в настоящее время известны пути и способы, позволяющие достаточно близко подойти к предельным возможностям передачи информации. С некоторыми из них мы познакомимся в гл. 6. 3.6. КРАТКИЕ ИТОГИ ГЛ. 3. 1. В этой главе было подробно рассмотрено одно нз наиболее простых приложений теории оптимального различения сигналов, а именно, оптимальное различение двух известных точно сигналов, передаваемых по каналу с постоянными параметрами, в котором единственной помехой является нормальный белый шум.
2. Проведенное рассмотрение позволило полностью решить (в рамках установленных допущений) задачу оптимизации цифровой системы связи без кодирования, т. е. определить структуру оптимальных приемников двоичных сигналов и найти соотношения, характеризующие качество работы таких приемников. 3. Рассмотрение качества работы оптимальных приемников, характеризуемого вероятностью ошибки при передаче одной двоичной единицы информации, дало возможность найти оптимальный класс двоичных сигналов.
Такими сигналами являются противоположные сигналы. Эти сигналы обеспечивают при прочих равных условиях минимальную вероятность ошибки. Следовательно, установление оптимального класса двоичных сигналов, принимаемых на оптимальный приемник, равнозначно решению задачи оптимизации системы «модулятор †демодулят» (или, что эквивалентно, системы «сигнал †филь») в классе двоичных сигналов.
9« ~З1 4. Для любых классов двоичных сигналов оптималь. ный приемник может быть реализован на основе либо коррелятора, либо согласованного линейного фильтра. В первом случае вся фильтрация сигнала на фоне шума выполняется йа видеочастоте, а во втором — на несущей частоте посылок. 5. Теория оптимального различения двух сигналов верна при существенных допущениях н ограничениях, которые практически никогда не могут быть выполнены точно. Несмотря на это, результаты теории имеют большую принципиальную важность по следующим причинам: а) Проведенное рассмотрение позволяет в наиболее ясной форме продемонстрировать подход к решению задач оптимального приема дискретной информации. Идеи, изложенные в этой главе, лежат в основе исследования многих более сложных вопросов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
