Пенин П.И. Системы передачи цифровой информации (1976) (1151855), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Ои очень удобен для решения задач различения дискретных сигналов. Рассмотрим суть метода проверки гипотез применительно к различению сигналов. При решении задачи различения сигналов ответдолжен быть получен на основе априорных сведений о статистике сигналов и анализа входного колебания у(() на интервале 0(((тг. Для сигналов, известных точно, априорные сведения о статистике сигналов задаются вероятностями появления того или иного сигнала на входе приемника, или что то же самое, вероятностями передачи того или иного символа.
Это может быть записано в виде статистической схемы ( , )=~ , ) х1 хг '1 ('г1 (0 гг (Г) ) (з.з) р(х,) р(хг) / ~р(г,) р(гг)/ где х, и хг — символы алфавита, с,помощью которого формируются двоичные цифровые последовательности; з1(г) и зг(г) — сигналы, с помощью которых по каналу связи передаются символы х1 и хг, р(х1) и р(хг) — вероятности передачи символов хг и хг, .р(з1) и р(зг) — вероятности появления сигналов з1(() и зг(() на входе приемника.
7~ 99 Естественно, что р(хг) =р(зд, р(хз) р(зз), р(з~) +р(зз) =1. (3.4) Для канала с постоянными параметрами и аддитивной помехой п(1) колебание на входе приемника имеет вид р(1) =зг(1) +п(Г), 0(1~(то, (35) где з;(1) может принять либо значение з~(1) с вероятностью р(з~), либо значение зз(1) с вероятностью р(зз). Задача заключается в том, чтобы, анализируя келебание у(1), получить как можно ббльшую информацию о том, какой входной сигнал з;(1) присутствует в этом колебания: зг(Г) нли зз(1).
Очень важно уяснить, что информация о сигнале з;(1), которая содержится в колебании у(1), не может быть увеличена никакими операциями над у(1). Чтобы мы ни делали с колебанием у(1), количество информации о сигнале з;(1) от этого увеличпться не может, оно может только уменьшиться. Следовательно, нужно так анализировать колебание у(1), чтобы наилучшим образом сохранить имеющуюся полезную информацию о сигнале г;(1), исключая из колебания у(1) возможно ббльшую часть ненужной (ложной) информации, обусловленной помехой п(1). Выполнив подобный анализ, приемное устройство должно решить, какой сигнал был принят (з, или зз), а следовательно, какой элемент цифровой последовательности был передан (х~ или хг). Это статистическая задача — истинной может быть только одна из двух возможных гипотез: 1) гипотеза Н, — принят сигнал зц 2) гипотеза Нз — принят сигнал зь Выбор той нли иной гипотезы может быть правильным, а может быть ошибочным.
Очевидно, что при передаче сигналов г~ и зз возможны четыре варианта выбора гипотез Н~ и Нь Эти варианты представлены в табл. 3.1. Выбор гипотезы должен быть основан на некотором заранее установленном правиле. Это правило не может быть получено из каких-либо предпосылок, оно принимается как постулат, основанный иа соображениях здравого смысла. Как же сформулировать это, правило? Колебание у(1) на входе приемника, кроме шума л(1), содержит либо сигнал зь либо сигнал зь Обозначим вероятность того, что в поступившем на вход приемника колебании 100 Выбрана гинагеаа о сигнале Передан сигнал 5 гг) и со Гипотеза Н, верна Гипотеза На ошибочна зг(!) Гипотеза Н, ошибочна Гипотеза Н, верна за(!) тельные сведения о сигналах.на входе приемника. Эти новые, появившиеся в результате анализа сведения, называются апостериорными*.
Итак, допустим, что нам известны апостериорные вероятности р(зг)у) и р(зз)у). Тогда разумным правилом выбора гипотез является следующее: после того, как проведен анализ поступившего на вход колебания у(!), следует выбрать гипотезу Н» если вероятность р(зг)у) превышает вероятность р(зт)у), и наоборот, принять гипотезу Нь если р(зг)у) меньше р(зз)у). Следовательно, правило таково: р(з,)у) ) р(зе)у) принимается гипотеза Н» (3.6) р(з,)у) ( р(з,)у) принимается гипотеза Н,. Если р(зг)у) =р(зз)у), может быть принята любая из гипотез. В таком случае заранее оговаривают, какую из них принимать.
Правило можно записать в иной, более удобной форме. Введем величину Лез= р (8 г ) у) (р (зз) у) ° (3.7) * От латинского терянна «а роыепогм — из последующего, нз опыта, на основании опыта. 10! у(!) содержится сигнал зт через р(зг)у), а сигнал зз— через р(зз)у). Это условные вероятности. Пока колебание у(!) не проанализировано приемником, эти вероятности неизвестны. Предположим, что анализ колебания у(!) проведен и эти вероятности стали известны, т. е.
кроме имегощихся априорных сведений появились дополни- Таблица 3.1 Тогда правило принимает вид принимается гипотеза Н„ (3.8) 1й принимается гипотеза Н,. Величина Лм характеризует правдоподобность той или иной гипотезы. Например, при Ла)1 полагается, что гипотеза Н, правдоподобнее гипотезы Нь Поэтому величину Лм называют отношением правдоподобия. Правило выбора гипотез, основанное на том, что выбирается та гипотеза, которой соответствует большая апостериорная вероятность, называется байесовским правилом, нлн байесовским решением [6).
В литературе такой подход к выбору гипотез часто называют принципом (или критерием) максимума апостериорной вероятности !4, 5, 7~1, поскольку предпочтение отдается гипотезе, которой соответствует максимальное значение апостериорной вероятности. Байесовское правило решения автоматически обеспечивает минимизацию вероятности ошибки при выборе гипотез и, следовательно, является наиболее разумным правилом при оценке качества передачи информации в системах связи. Действительно, пусть имеем условие Р (э1 ) У) ) Р (з2 ~ У), (3.9) в соответствии с которым принято.
решение, что был передан сигнал эь Так как Р( !У) +Р(зэ!У) = 1, (3.10) величина Р (э21У) = 1 — Р (з1) У) (3.11) характеризует вероятность ошибки такого решения. Если при условии (3.9) принять решение о том, что был передан сигнал зм вероятность ошибки такого решения равна Р (э~ ) у) =1 — Р (зэ(у) . (3.12) С учетом неравенства (3.9) эта вероятность ошибки будет больше, чем в первом случае, и, следовательно, надо выбрать первую гипотезу. Таким образом, байесовское правило решения обеспечивает минимальную вероятность ошибки при выборе гипотез и с этой точки зрения является оптимальным правилом. 102 р (зд(й = р(зг) УР(у Ы7РРЬ) (3.13) где з; соответствует сигналу з, или зм 1Р(у)з;) можно трактовать как многомерную функцию плотности распределения случайного колебания у(г) при данном фиксированном значении сигнала з; на входе приемника (условная плотность распределения колебания д(1)); ЯУ(у) — многомерная безусловная функция распределения колебания у(().
Заметим, что здесь и ниже колебание у необходимо рассматривать как вектор, определяемый своими координатами в лг-мерном пространстве: у= (рь ум ..., у,„), что эквивалентно представлению у(1) в виде совокупности мгновенных значений, взятых в моменты времени (» Ц, ..., г . Такой подход харакгерен для задач статистического приема сигналов. Подробно эти вопросы изложены в работах [3 — 7), и мы на них ие останавливаемся. Формулу Байеса часто называют формулой обратной вероятности, а вероятности р(зг1у) и р(га1у) — обратными вероятностями. Этот термин объясняется тем, что формула Байеса дает возможность по законам распределения следствия (колебание у(г)) найти вероятность причины (сигнал з;), которая вызвала данное следствие.
Образуем отношения в соответствии с определением (3.7) и формулой (3.13): ,О (зфз) д (з~) чг (91зи) р(~Ы д( ) ~(И ) ' (3.14) Л., = л("1") р(з Ы л(з) М'(и!зд (3.15) Нетрудно видеть, что всегда должно условие ЛгзЛзг=! . выполняться (3.16) !03 Для того чтобы применить изложенное правило ретгения к задаче различения двух сигналов, необходимо знать условные вероятности р(з~)р) и р(зз(у). Поэтому г гедующим этапом решения задачи является определение этих вероятностей.
Для этого можно воспользоваться одной из модификаций формулы Байеса (см., например, 171), которая в нашем случае может бытьпредставлена в виде Чтобы конкретизировать эти выражения, необходимо знать фУнкции ЯГ(У)з~) и Я7(У1зз). РассмотРим сначала функцию Ф'(у)з~). Так как сигнал з, является детерминированным, т.
е. все его параметры известны точно, то очевидно, что в данном случае закон распределения колебания у(1) =з,(1) +л(г) полностью определяет".я многомерным законом распределения помехи в(т), которая присутствует в колебании у(1). Следовательно, Фг(у)з~) =йу (л) =Ф„,(у — з~). (3.17) Аналогично можно записать и для сигнала зз в~' (9182) = Ют(п) = Ут(Д 82) ° В этих выражениях Ф' (л) — многомерное распределение нормального белого шума, рассматриваемого в некоторой полосе частот Л1. Как известно, такое распределение может быть записано в виде 13, 41 О3 / ~э~э Ф' (п)=ПЮ,(п)= ~, ехр ~ за ' (3.19) э=! где гп — размерность многомерного пространства шума; Ф~(а) — одномерная плотность распределения шума; ов — средний квадрат шума (мощность шума в полосе Л)).
Выражение (3.19) представляет собой определенную идеализацию, так как оно предполагает замену непрерывных реализаций белого шума набором случайных независимых значений этого шума, взятых в т точках интервала анализа 0(1(то. Этн значения берутся в соответствии с теоремой Котельникова, и их число равно т=2Л)то (3.20) Чем больше величина т, тем точнее выражение (3.19) определяет многомерное распределение белого шума. С физической точки зрения требуемое условие (т))1) означает, что искажения сигнала до начала анализа колебания у(1) на интервале времени 0 =1(тэ должны полностью отсутствовать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
