Пенин П.И. Системы передачи цифровой информации (1976) (1151855), страница 23
Текст из файла (страница 23)
3.5 и 3.6. При втором варианте алгоритма работы (3.46) оптимальный приемник должен вычислять один корреляционный интеграл н сравнивать его значение в конце 112 принят сигнал з,. С учетом (3.3!) это выражение можно записать в двух вариантах м «о принят сигнал з„ 1) ~ у (т) з (~) от — ~ у Я з, (г) Й ~,0 о (3.45) каждого интервала анализа тс С нулевым значением порога.
Так же, как и в предыдущих случаях, подобная процедура может быть выполнена либо приемником с коррелятором, либо приемником с согласованным фильтром. Схемы оптимальных приемников различения Решение Рис. 3.5. г нг Решение и <П,ег= е Рис. З.б. двух сигналов с активной паузой, соответствующие алгоритму (3.46), приведены на рис. 3.7 и 3.8. Их структура получается проще, чем структура оптимальных приемников, соответствующих алгоритму (3.45). Проведенное рассмотрение показывает, что оптимальные приемники различения двух известных точно сигналов могут иметь различную структуру, которая 3 — 376 113 обеспечивает выполнение операций по анализу принятого колебания у(1) и принятию решения о том, какой сигнал был передан. Однако в основе всех приемников лежит либо корреляционный способ обработки принятого колебания у(1), либо оптимальная фильтрация с помощью линейных фильтров, согласованных с сигналами.
Решение ои, зт, Реи ение Рис, 3.8, Итак, решение задачи различения на фоне белого шума двух известных точно сигналов позволило с помощью байесовского правила установить структуру оптимальных приемников, т. е. решить задачу синтеза оптимальной структуры приемной части цифровой системы связи *. Но это только часть задачи оптимизации цифровой системы связи, е Здесь полезно вспомнить материал $1.6. 114 Следующим важным вопросом является определение качества работы оптимальных приемников. Как уже указывалось выше, будем определять его величиной вероятности ошибки при передаче одного информационного символа. 8.4.
ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ОПТИМАЛЬНЫХ ПРИЕМНИКОВ РАЗЛИЧЕНИЯ ДВУХ СИГНАЛОВ При различении двух сигналов на фоне белого гауссовского шума оптимальный приемник кроме правильных решений иногда может принимать н ошибочные решения, обусловленные мешающим действием шума. Варианты возможных решений показаны в табл. 3.2. Таблица 3.2 Переданный сигнал Принятое решение н(г) = н,(г) (х = х,) а(т) = аг(т) (х = х,) Правильно н(Г) = ае(Г) (х = хе) Ошибочно н(т) = м(Г) (х = хе) Правильно я(Г) =- ае(т) (х = х,) нП) = н В) (х =х,) Ошибочно Задача состоит в том, чтобы найти вероятности правильных и ошибочных решений.
Введем следующие обо- значениЯ: Р(зт(зт) — веРоЯтность пРинЯтиЯ РешениЯ, что входное колебание у(1) содержит сигнал гт(г) при условии, что был передан сигнал зт((), т. е. вероятность пРавильного пРиема сигнала зт(Р); Р(за)зт) — веРоЯтность принятия решения, что входное колебание у(~) содержит сигнал зн((), при условии, что был передан сигнал зт(т), т. е. вероятность ошибочного приема сигнала зт((). Аналогично определяются и вероятности приема сигнала за(г); р(за)за) — вероятность правильного приеВе Иб ма сигнала за(1); Р(а~[за) — вероятность ошибочного приема сигнала зз(1). Нетрудно видеть, что рассмотренные вероятности удовлетворяют условиям Р(з1[з!) +Р(за~з1) = 1, (3.48) Р(за~за) +Р(а~~ за) = 1.
Чтобы определить качество работы оптимального приемника, достаточно знать вероятности ошибочного пРиема сигналов з~(1) и за(1), т. е. веРоЯтности Р(за[а~) и Р(з~]за). Если априорные вероятности р(з~) и р(за) появления сигналов з~(1) и гз(1) на интервале анализа (Π— т~) известны, то вероятность ошибки при анализе колебания у(1) на интервале (Π— та) равна Рош=Р(з1)Р(за[81)+Р(за)Р(з1[зз). (349) Поскольку между сигналами з~(1) и за(1) и информационными символами х~ и хз имеется однозначное соответствие, то выражение (3.49) можно записать и в другом виде: Р =Р(хд)Р(ха[хам +р(хз)Р(хам[ха), (350) где р(х~) и Р(ха) — априорные вероятности передачи символов х~ и ха, Р(ха1х~) — веРоЯтность пРиема символа ха при условии, что был передан символ хп р(х~[ха) — вероятность приема символа х~ при условии, что был передан символ хь Величина Р,м характеризует вероятность ошибки при передаче одного информационного символа по каналу связи с помехами.
'Как уже неоднократно указывалось, для двоичных цифровых последовательностей можно считать справедливым условие р(з~) -р(за) =0,5, прн котором выражения (3.49) и (3.50) принимают вид р, =0,5[р(з~~з~)+р(а~[за)),' (3.5!) р, =0,5[р(хз~х~)+р(ха~ха)) (3.52) Если Р(за[Я~) =Р(за [зг), то Рош=Р(а~[за) =Р(зз!з1). (3.53) Канал, в котором условные вероятности ошибок равны между собой, называется симметричным. ыб 3.4.1. Вероятность ошибки при оптимальном приеме сигналов с пассивной паузой Предположим, что передан сигнал з~(1).
Тогда колебание у(1), поступившее иа вход оптимального приемника, имеет вид у(1) =в~(1)+п(1). В этом случае приемник должен вычислить значение корреляционного интеграла С, =С(з,) = ) (з, (1)+ п(1)] е,(1) й(, (3.54) о сравнить его с величиной порога д=Е/2 и принять решение в соответствии с правилом (3.35), которое в рассматриваемом случае приобретает вид принят сигнал е„ 1~ (~д принят сигнал е,. Величина ~, является случайной, так как зависит иа только от сигнала, но и от шума.
Поэтому условие ~~)д (или ~~(д) является статистическим и выполняется с некоторой вероятностью. Вероятность выполнения условия ~~)д есть вероятность правильного приема сигнала а(1), а вероятность невыполнвния этого условия — вероятность ошибочного приема сигнала в~(1). Итак если передан сигнал е~(1), то вероятность его правильного приема р( !з ) =р(ь ~ч) а вероятность ошибочного приема р(з2(зд =р(~~(д) =1 — р(~~~)д). (357) (3.56) 1а=~(зз)=~ а(1)в (1)й1 о а правило решения принимает вид принят сигнал з., принят сигнал в,. (3.58) (3.59) 117 Если передан сигнал е2(1), колебание у(1) на входе приемника определяется только шумом, т.
е. у(1) =п(1). Значение корреляционного интервала при этом определяется величиной В соответствии с этим правилом условная вероятность правильного приема сигнала зг(1) определяется веРоЯтностью выполнениЯ УсловиЯ ~г<йч1 Р(зг! зг) =Р(вг(ч), (3.60) а вероятность ошибочного приема — вероятностью невыполнения этого условия: р(э~~за) =р(Гг= о) =1 — Р(~(д). (3.61) Чтобы конкретизировать все эти вероятности, необходимо знать законы распределения случайных величин ьз и ьг и параметры этих распределений. Из выражений (3.54) и (3.58) следует, что случайные величины Ьг и сг являются результатом линейного преобразования нормального белого шума и, следовательно, имеют нормальный закон распределения*.
Найдем параметры этого распределения для й и ьг. Нетрудно видеть, что среднее значение (математическое ожидание) величины " равно нулю. Действительно, имеем м 1,= ~ пЯз,(1)г(1=~ пЯв,Яг(1=0. (3.62) В этом выражении и далее черта означает среднее значение (математическое ожидание). Здесь учтено, что среднее значение произведения двух независимых величин равно произведению их средних, а среднее значение белого шума равно нулю (л(г) =О). Дисперсия случайной величины Ь определяется выражением (3.63) Учитывая выражение (3.58) и (3.62), для дисперсии ьг имеем /зч Хз г) (ь,) = ~ ~ и (1) з, (1) Ж) = о т и = '1 ~ и (1) и (и) з, (1) з, (и) с(гс(и.
б о * Подобные линейные преобразования в литературе часто нияз . вают линейными функционалами нормального белого нгума 13, 81. 118 Так как сигнал и шум независимы, то «««а 0(ь«)=~ ']К (г', и)г,(г)з,(и)с7)с(и, (3.64) о б где Км(1, и) = л(1) л(и) =0,5])у,о(1 — и) — корреляционная функция белого шума с односторонней спектральной плотностью зта 12, 31.
Принимая во внимание фильтруюшие свойства дельта-функции, окончательно имеем" 0 (С,) = 0,5с]7, ~ з«, (и) с(и = ]т,Е/2. (3.6о) Нетрудно 'показать, проведя аналогичные вычисления для величины ьг, определяемой выражением (3.54), что 1, = Е; 0(~,) =йу,Е/2. (3.66) Теперь, когда параметры законов распределения случайных величин ьс и Ьз известны, можно записать одномерные, нормальные распределения этих величин в виде** ]й (ьа) = ехр ] — — '1. (3.68) Уйи«7«Е72 [ 7У«Е~ Эти распределения показаны на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
