Пенин П.И. Системы передачи цифровой информации (1976) (1151855), страница 24
Текст из файла (страница 24)
3.9. Условные вероятности ошибочного приема сигналов зс(1) и за(с) в соответствии с (3.57) и (3.61) определя- ' Под фильтрующимн свойствами дельта-функции понимается свойство, которое может быть иллюстрировано выражением с, Ф)й(с — )бс = П ), 1 показывающим, что значение интеграла равно значению функ- ции /(с), взятому в момент времени с=,т.
подробнее со свойствами дельта-функции можно ознакомиться в работах (2, 7], см. так- же $2.2. «' Законы распределения величин ьс и Ьс являются одномерны- мп, так пал значения этих величин берутся в момент времени, соот- непствуюпьий окончанию а~налива входного колебания в оптималь- ном приемнике. Пв йтсй выражейийми р(зф,) =р(1,(д) = ) йу(ь,)Ао ~0 (Яика) = Р((а ) ч) = $ (Г(Сз) ИСа. (3.69) (3.7О) сЮзж саиною д Го ~ 0~5попъ т.',"нам;~Ю р-~Уг Рис. Зд. Несложно показать, что с учетом (3.67), (3.68) и после замены переменных эти выражения можно привести к виду — т'зрм, р(зйз,) = = ( ехр 1 — — "1 пу, (6.71) где новая переменная у =(ь — Е)~11И.Е(2 ° ~о р(афти) = — ~ ехр ~ — — ~ду, (3.72) М е/2Р~ю где новая переменная у=ГЯИ Е(2. 120 Из рассмотрения этих выражений следует, что ,0 (за(зз) = р(яз~яа) У фЕ~2Ив), (3 73) где У(а)='— ) ехр ~ — ) Ну (3.74) — интеграл ошибок.
Равенство условных вероятностей ошибок в рассматриваемом случае объясняется тем, что функций распределения %'(й) и яг(5) симметричны относительно порогового значения д (см. рис. 3.9). Учитывая выражения (3.53) и (3.73), получаем формулу для определения вероятности ошибки при оптимальном приеме сигналов с пассивной паузой р~= р(зв~з~) = р(зфа) =УФЕ~2Ио). (3.75) Для записи вероятностей ошибок в литературе широко используется большое число разновидностей функций, связанных с интегралом ошибок.
Все они различаются между собой коэффициентами и пределами интегрирования. Наиболее часто применяются функции в Р(а)=1 — У(а)= — (ехр Г: — «-1Ыу, (3.76) называемая нормальной функцией распределения, и Ф(а) =0,5 — У(а) = — ( ехр ( — «) Ыу, (3.77) о называемая интегралом вероятностей или функцией Лапласса. В математической литературе широкое применение находят функции ег( (а) = = ~ ехр ( — у') Ыу и ег1с (а) = 1 — ег1 (а).
г Нетрудно видеть, что ег1(а) =-2Р(р'2 а) — 1 или ег)(а) =2сэ(1/2а). Выбор той или иной функции часто зависит только от вкуса н привычек автора. Поэтому при чтении специальной литературы во избежание ошибок н недоразумений 121 необходимо тщательно уяснить, какими функциями пользуется данный автор. Все указанные выше функции табулированы в ряде книг и справочников. В частности, таблицы для Р(а) имеются в [3, 9), а для Ф(а) — в (10, !1). Краткая таблица для Ь'(а) дана в приложении 1. В дальнейшем, как правило, мы будем пользоваться функцией Лапласса (3.77). В этом случае выражение (3.75) для вероятности ошибки принимает вид р =0,5 — ФЯЕ~2И,). (3.78) Обсудим полученный результат. Формула (3.78) соответствует условию равных априорных вероятностей передачи сигналов з~(т) и зз(1), а следовательно, и информационных символов х, и хз. С точки зрения теории информации это означает, что каждый переданный символ содержит в среднем одну двоичную единицу информации (один бит).
Значит, формулу (3.78) можно рассматривать как вероятность ошибки при передаче одной двоичной единицы информации по гауссовскому каналу связи сигналами с пассивной паузой и оптимальном приеме. Эта вероятность полностью определяется величиной энергетического отношения сигнала к шуму. Введем обозначение йто=Е1Мо. (3.79) Тогда (3.80) Дальнейшее обсуждение проведем после рассмотрения следующего случая. 3.4.2. Вероятность ошибки при оптимальном приеме сигналов с активной паузой Ограничим рассмотрение наиболее важным и часто встречающимся условием равенства энергий сигналов з1(г) и зз(1) н равенством априорных вероятностей передачи этих сигналов, т. е.
Е1=Ез=Е и р(з~) =р(зг). (3.8!) Предположим, что был послан сигнал з1(1). Следовательно, иа вход приемника поступит колебание и(1) 122 у,=~ з,(1)з,(г) о'т' о и введем коэффициент взаимной корреляции между сиг- налами (3.84) и ч р.='(ь~Е= [ з, (1) з, (1) Ж [ з', (1) ой (3.85) о о Тогда получим и 1, = Е (1 — р,)+ ~ и Я [и, (~) — з, (г)! й.
о (3.86) Из этого выражения следует, что случайная величина ~~ (так же, как и в предыдущем случае) подчиняется нормальному закону распределения. Опираясь на результаты рассмотрения предыдущего случая, нетрудно показать, что среднее значение величины ц (3.87) а дисперсия 1) й) = КоЕ (1 — р,) . (3.88) 123 =а~(1)+а(г). Тогда в соответствии с правилом (3.46) оптимальный приемник должен определить величину м 1, = ~ [з, (1)+ п(1)] [з, (~) — з, (1)[ й (3.82) о и сравнить ее с нулевым значением порога.
Если ~~)О, то сигнал з~(1) будет принят правильно, если же ~~(0, то произойдет ошибка и вместо сигнала з~(1) будет принят сигнал за(1). Исследуем случайную величину ~ь чтобы найти ее закон распределения и параметры этого распределения. Развернем выражение (3.82): и ч ч ч, = ~ з', (1) й — ~ з, (1) з, (1) й + ~ и ф [з, (1) — г, (г)) й. о й о (3.83) В этом выражении первое слагаемое представляет собой энергию сигнала з~(1), а второе — функцию взаимной корреляции между сигналами з~(1) и з,(1). Обозначим ее Аналогичное рассмотрение можно провести и для величины Со Пусть посылался сигнал зо(1) Тогда на вход приемника поступит колебание у(1) =за(1)+л(1). В соответствии с правилом (34б) должна быть определена величина Ъ Сь = ~ [зь (1)+л(1)! [зю (1) — зь (1)] г(1 (3.89) о и проведено ее сравнение с нулевым значением порога Если Со)0, произойдет ошибка и вместо сигнала зо(1) будет принят сигнал зь(1), если же Со(0, то сигнал зо(1) будет принят правильно ООлаггль нагнала ьг® ' ООлаглгь нагнала ьгИ) сг- -ег'/-,1) Рис 310 Проанализировав выражение для Со, нетрудно убедиться, что величина Со так же, как и Сь распределена по нормальному закону, а ее среднее значение и дисперсия определяются выражениями С, = — Е(1 — р,), (3.90) 0 (С ) = )н',Е (1 — р,).
(3.91) С учетом полученных параметров законы распределения случайных величин С, и Со можно записать ввиде )г2агрье (1 — рь) 1 2гьое (1 — рь) Эти распределения показаны на рис. 3 1О. 124 Условные вероятности ошибочного приема сигналов гз и зо определяются выражениями о Р(з4з,)=р(С,~О)= ~Ф'(С,)А„ ОЭ р(з,~з,) = р (С, ) О) = ЯР (С ) Щ,. (3 95) Найдем вероятность р(зз)г~).
Подставив в (394) значение %'(С~) в соответствии с (392) и заменив переменную интегрирования [Са — Е (1 — рзе )IИоЕ (1 ро) = у получим -Ц1ЪЪ нн 1 Р / рот Р(зз1з,)= = ~ ехр ( — ) Иу= 2 ) (3.96) Р„,=0,5 — Ф~~/„Е-(1 р,)~ (3.97) или с учетом (3.79) р =0,5 — э(й,~ 1 —,). (3.98) 125 где Ф(а) определяется выражением (3.77). Приняв во внимание выражения (3 р7) и (3.88) для С~ и Р(С~) и учтя, что Ф(оо) =0,5, имеем Р (з,~г,) = 0,5 — Ф ~фг — (1 — р,) ~. / Е Выполнив аналогичные преобразования, нетрудно убедиться в том, что вероятность Р(а~~го) определяется точно таким же выражением Равенство вероятностей Р(йзо) и Р(зо)зд объясняется тем, что распределения (3.92) и (3.93) имеют одинаковую дисперсию и симметричны относительно нулевого порогового уровня. Следовательно, в соответствии с выражениями (3.53) и (3.96) вероятность ошибки при передаче одного символа информации равна 'Гак же, как и для сигналов с пассивной паузой, это выражение определяет вероятность ошибки при передаче одной двоичной единицы информации, поскольку при рассмотрении было принято р(з>) =р(зг) 3.5.
СРАВНЕНИЕ ПОМЕХОУСТОЙЧИВО- СТИ ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМА ПРИ РАЗНЫХ ВИДАХ СИГНАЛОВ Представим выражения (380) и (3.98) для сигналов с пассивной и активной паузами в универсальном виде рой =О 5 — Ф(а), (3 99) где для сигналов с пассивной паузой а' = а'„= Е(2М, = йг,/2, (3.100) а для сигналов с активной музой аг — ага — (1 — р~) = йга (1 — ря). (3.!01) Е >>>е Зависимость р,и,=)(а) приведена на рис 311 Из рассмотрения графика этой зависимости следует, что для получения малой вероятности ошибки (р ('1О-г) необходимо обета ' спечить величину а)3, Для таких значений а ин-ч теграл вероятности Ф(а) можно разложить в асимптотический ряд и пользоваться его приближенлаи ным представлением в виде а> ' Рис. Зд! ч> (а) = 0,5 — '"Р ( " ~ ) ! 1 — — +" ~ (3.102) Тогда с точностью не хуже 10с(> выражение (3.99) мо>кно представить в виде ! / ага Р, = =ехР ~ — — у1, а= 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
