Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 106
Текст из файла (страница 106)
При разделении по форме между парциальными каналами делится только мощность, полоса частот и время передачи используются одновременно всеми сигналами. В этом случае !1 уменьшается с увеличением п, причем амплитудное ограничение сигнала слабо влияет на эту зависимость. 11.3. ВЫБОР СИГНАЛОВ И ПОМЕХОУСТОЙЧИВЫХ КОДОВ Эффективность систем передачи дискретных сообщений можно существенно повысить путем применения многопозиционных сигналов и корректирующих кодов. Выбор сигналов и кодов в этих случаях является определяющим для построения высокоэффективных кодемов (согласованных между собой кодеков и модемов). 409 т п ~~о ~~2 ) 2(!)о1! ~~!~~аз (11.16) о / 1 а расстояние между сигналами т Д.,(!)-;(!))'л = о (11.17) где г Е = ) з,(!)з.(!)о(! Р;Ет о (11.18) — коэффициент взаимной корреляции рассматриваемых сигналов.
В дальнейшем будем рассматривать ансамбли сигналов с равной энергией Е, = Е. Примером сигналов у которых сигнальные точки (векторы) располагаются на прямой, являются двоичные противоположные сигналы. Им соответствует две симметрично расположенные относительно начала координат точки на прямой с координатами (О,чГЕ) и (О,— ~/Е). Расстояние между сигналами а!!о = 2 ГЕ, а коэффициент корреляции Я!з = — 1. Двоичные ортогональные сигналы являются примером сигналов, у которых сигнальные точки располагаются в плоскости.
Им соответствуют два ортогональных вектора на плоскости с координатами ( /Е,О) и (О,ч'Е) . Расстояние между сигналами о1!о = ~Г2ЕЕ, а коэффициент корреляции Яы = О. Наиболее распространенными многопозиционными сигналами являются ортогональные, биортогональные и симплексные. Если сигнальные точки выбрать на линиях, совпадающих с ортами ор, на расстояниях ~~Е от начала координат, то получим систему ортогональных сигналов. Число сигналов в таком ансамбле ло = и.
Так, если принять ,фта,~, ~ [ —,г) ГгЕ, то согласно (11.б) зо(!) = ~ — о)я!оо!, 0 < ! < Т, А = 1,т-1, т.е. сигналы являются отрезками гармонических колебаний разных частот оо!, ооь ..., о!, 41О Миогопозициоиные сигналы. Ансамбль сигналов (з!(!)) — — на отрезке 10, 7) можно пред! о~,в~-! ставить в виде з,(!) = ~арор,(!), (11.15) ! 1 здесь (ор!(!)~ — система базисных ортонормированных функций тр 1ч оь;(оо-(,', -гд где и — число измерений (отсчетов) на интервале Т (для финитных сигналов, энергия которых почти полностью сосредоточена в полосе Р, л = В = 2ТХ). Коэффициенты разложения в (11.15) определяются как проекции вектора о, на координатные оси ор т аа = ) з!(!)орз(!)а! .
о Геометрически каждому сигналу ансамбля з!(г) соответствует точка (или вектор) в лмерном пространстве с координатами (ал, ад, ..., а!„), ! = О,!л-1. Энергия сигнала равна квадрату нормы: удовлетворяющих условию ортогональности. Это известные сигналы многочастотной модуляции (МЧМ). Ортогональные сигналы образуют эквндистантную систему: расстояния между любыми двумя сигнальными точками одинаковы и согласно выражению (11.11) равны Ыв =г(2Е . Перспективным вариантом ЧМ сигналов являются частотно-манипулированные сигналы с непрерывной фазой (ЧМ-НФ), которые мы рассмотрели в гл.З. Виортогональные сигналы образуются по следующему правилу: к каждому ортогональному сигналу добавляется противоположный. Здесь число сигналов оп = 2п. Простейшим из биортогоналъных является ансамбль с оп = 4.
Сигналы имеют одинаковые энергии, а сигнальные точки располагаются на одинаковом расстоянии от начала координат. На амплитуднофазовой плоскости они образуют квадратную сеть (на рис. 11.5 знаками "+" обозначено начало координат). При выборе в качестве базисных функций рф) =(2Е/Т совао1 и фз(1) = — ~(2Е(Тв(пао1 сигналы этого ансамбля зт(1) =.(2Е/Т соо(а о1 + го/4), очаг)-,'2к)т ( р+- ), 3 4 зо(1) =,/2Е/Т сот(ао1 — Зп/4), ;1г1-,/гдг* ( р — ') 41 отличаются только начальными фазами. Это широко используемые сигналы с фазовой модуляцией н числом позиций по = 4 (ФМ-4).
Расстояние между ближайшими сигнальными точками этого ансамбля равно г(2ЕЕ, а между противоположными сигналами — 2г(Е . Известные сигналы с амплитудно-фазовой модуляцией (АФМ вЂ” 4) образуют круговую сеть: три сигнала равномерно распределены по окружности, а четвертый расположен в центре окружности (рис.
11,5). В том же базисе они могут бъпь представлены так: з,(г) = (2Е/Т сох аоо, зг (1) =.г(2Е/Т сов(ао1+ 2я/3), зо(1) = (2Е/Т соз(ао1+ 4я(3), ,(1) = 0. Симплексные сигналы отстоят друг от друга на одинаковом расстоянии. В и-мерном пространстве они образуют правильный симплекс с числом вершин по = и + 1. В двух)ерном пространстве сигнальные точки лежат в вершинах равностороннего треугольника (рис. 11.5). Рас- т лр * «ю о*р=,Гг( г)р! .ор -гшплексные сигналы совпадают с противоположными.
Для ансамблей с болъшим объемом по (и»1) симплексные сигналы по своим свойствам и в частности по помехоустойчивости близки к ортогональным (а' г(2ЕЕ) . Многопозиционные сигналы с фазовой модуляцией (ФМ) образуют круговую сеть с равномерным распределением точек по окружности (рис. 11.5). На рис. 11.5 показано также расположение сигнальный точек в 8 позиционной системе с амплитудно-фазовой модуляцией (АФМ-8). 8г(10) 8,(00) Б,(1! ) 8,(01) ФМ-4 АФМ-4 СИМПЛЕКС-3 АФМ-8 Рис.11.5. Примеры ансамблей сигналов, отображаемых иа амплитудио-фазовой плоскости 411 Построение ансамблей многопозиционных сигналов можно осуществить и на основе двоичных последовательностей. Для этого обычно используют элементарную матрицу Адамара (А), повторением которой трижды в позитивной и один раз в негативной форме можно увеличить размеры матрицы каждый раз вдвое и получить матрицу Б, которая представляет ансамбль ортогональных сигналов с и = 4: 1 1 1 1 1 — 1 1 -1 1 1 — 1 — 1 1 — 1 — 1 1 -1 -1 — 1 1 — 1 1 — 1 — 1 1 1 — 1 1 1 1 1 1 1 1 1 — 1 1 -1 1 1 -1 -1 1 — 1 — 1 1 А=, Б= В= Каждая строка этой матрицы (последсеательность двоичных символов) образует один сигнал.
Нетрудно проверить, что эти строки (сигналы) взаимно ортогональны. Дополняя матрицу Б инверсиями строк, получаем матрицу В, представляющую ансамбль и = 8 биортогональных сигналов. Аналогично строятся ансамбли с большим числом сигналов т. Симплексные сигналы также могут быть получены на основе двоичных последовательностей.
В асинхронно-адресных системах широко используются ансамбли "почти ортогональных" сигналов, которые также формируются на основе двоичных последовательностей. Это известные рекуррентные псевдослучайные М-последовательности, которые рассматривались в $ 9.4. ° В 8 5.5 получены главным образом выражения для вероятности ошибки при в = 2. Для недвоичных систем (гл > 2) получить такие простые выражения не удается. Для некоторых ансамблей сигналов путем численного интегрирования получены графики зависимости Р= „ф~.,'), которые приведены на рис. 11.2. Для приближенных вычислений можно воспользоваться верхней оценкой (5.60): Р < (в — 1)Рз, где Рз — вероятность ошибки в двоичной системе, использующей сигналы за(г) и з1(г) Следует напомнить, что Р,„— это вероятность ошибочного приема сигнала, а не символа кода.
Каждый многопозиционный сигнал содержит информацию о блоке, содержащем определенное число (~) двоичных сомволов. Так, при м = 2 (случай ФМ-4) будет четыре блока 01, 10, ОО, 11. Многопозиционные сигналы, соответствующие этим блокам, выбираются так, чтобы минимизировать вероятность ошибки на двоичный символ (на бит) Рь Очевидно, ошибки чаще будут происходить за счет переходов в области соседних сигналов. Поэтому блоки, соответствующие соседним сигналам, должны отличаться наименьшим числом двоичных символов. Этому условию удовлетворяет манипуляционный код Грэя, пример которого для ФМ-4 приведен на рис. 11.5.
Здесь противоположным сигналам присвоены противоположные блоки 11 и 00, а соседним (ближайшим) 10 н 01. В этом случае переход из любой сигнальной точки в соседнюю область приводит к ошибке в одном двоичном символе !21. При равновероятных ортогональных многопозиционных сигналах вероятность ошибки на бит вычисляется по следующей формуле: 2" 1 Рь =:Р~ ..1;г ~ (11.19) 2" ' где Р— вероятность ошибочного приема многопозиционного сигнала ортогонального ансамбля. При одном и том же способе приема различные ансамбли сигналов будут обеспечивать разную помехоустойчивость. Объясняется это особенностями расположения границ областей правильного приема, окружающих каждый сигнал (рис.
5.1). Минимум средней вероятности ошибки достигается при размещении границ на равных расстояниях от соседних сигнальных точек. Поиск наилучшего ансамбля сводится к нахождению такого расположения сигнальных точек, при котором области сигналов имеют наибольшую величину, наиболее близки одна к другой по размерам и приближаются по форме к сферам. Это известная в многомерной геометрии задача плотнейшей укладки одинако- 412 вых шаров в заданном объеме: Такое расположение обеспечивает одинаковую вероятность ошибки любого сигнала (области сигналов одинаковы) и минимальную среднюю энергию сигналов (области наиболее плотно упакованы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
