Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 101
Текст из файла (страница 101)
(10.39) (10.37) Справедливо и обратное утверждение: из з-преобразования Х(г) дискретного сигнала (10.33) при з=е" следует его преобразование Лапласа. (Или из Х(г) при г = е'"' следует преобразование ФурЬе сигнала). Если дискретный сигнал хд(г) определен и при КО, то вместо (10.33) можно ввести более общее г-преобразование для такого сигнала: Х(г)= ~х(к)г ". (10.35) Следует оговорить сходимость Х(г) при неограниченном числе слагаемых в сумме (10.33)'); Отсчеты к()с) всегда удовлетворяют условию ~х(А)~<СЯ', А>0, где С > О, Я > 0 — постоянные вещественные числа. Тогда ряд (10.33) сходится при всех г, для которых ф~ > Я, т.е.
в кольцевой области с радиусом Я (Я вЂ” радиус сходимости). В области сходимости Х(г) представляет собой аналитическую функцию переменной г, не имеющую в этой области ни полюсов„ни существенно особых точек. Пример, Пусть х(Ь) = е~, й в 0 (т.е. имеем отсчеты сигнала ф) = е 'ф) ). Тогда "(е Х(г)=~~) ~ — ) . При И>е ~ =Р сумма определяет бесконечно убывающую геометрическую во П Аналогично можно определить сходимость ряда (10.35).
П Этот результат следует также из теоремы Коши об интегрировании функции Х(г)г ' по замкнутому контуру, охватывающему все полюса функции. Напомним (см, З 4.3.1), что результат такого интегрирования равен 2я1, умноженному на сумму всех вычетов подынтегральной функции относительно полюсов, попадающих внутри контура интегрирования. Единственный вычет ряда Лорана в правой части (10.3б) относительно полюса в точке з = О равен коэффициенту при множителе г ', т.е. х(л).
389 (10.42) уЯ = е' ~ е' "д(У- У!) = е("'""'~ ',~" я(1-1!)е "'"" '" . ь ю ь э Введем под знаком суммы новый индекс суммирования 1 — ~с = и и учтем, что из соображений реализуемости фп) = 0 при и < О. Тогда у(1) = е""'") К„е(~), (10.4б) где Кц (,Г") =~ 11(п)е "~ . (10.47) м О Последняя формула определяет частотную характеристику (ЧХ или передаточную функцию) ЦФ, которая зависит от частоты а, шага дискретизации Л и импульсной характеристики ЦФ: Таким образом, з-преобразование дискретного сигнала у(г), у которого все отсчеты смещены на один такт (в строну запаздывания) относительно дискретного сигнала хд(г), равно произведению . ! на Х(х).
Можно сказать, что г ' является оператором сдвига (на один такт в сторону запаздывания). Для доказательства (10.39) запишем г-преобразование последовательности (у(х) = х(х — 1)): У(х)=~~~ х(А — 1)г ~. (10АО) ! ! Вводя переменную й-1 = п, из (10.40) получим (10.39).
Очевндно, если у(х) = х(х-п), то У(х) = г "Х(г) . Рассмотрим дискретную свертку'> у(!) = !! х(х)8(у-х) = Хя(й)х(х-1). (10.41) ь в ь ю Найдем х-преобразование этой свертки: У(х) = ~ ~ х(!!) д(1-1!)х ' = ~ ~х(!!)з 'д(1-й)х " " = с=- а- ! .~~ь ю О О х(х)г ь ~~~ Х(п)г "= Х(г)С!(г). Таким образом, свертка двух дискретных сигналов соответствует произведению их г-преобразований, Покажем, что импульсная характеристика ЦФ (фО), ф1),...фЕ)) является его откликом на единичный импульс (1, О, О, О, ...). Действительно, при воздействии единичного импульса (10.41) принимает вид у(1) = 8(1), 1= О, 1, 2, ...
(10.43) Если импульсная характеристика ЦФ финитна, то уф = 0 при 1 > Е + 1, (10.44) где Х + 1 — число тактовых отрезков на интервале финитности. Рассмотрим прохождение через линейный ЦФ гармонической последовательности, когда2) х(х) = е(""'"~. (10.45) Согласно формуле свертки (10.41) с учетом (10.45) находим выходной сигнал: П Верхний индекс в сумме можно заменить на 1. П В непрерывном времени х(~) = е""'+е) . 390 (10.49) 10.5. ОСНОВЫ РЕАЛИЗАЦИИ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ В обшем случае в линейном стационарном ЦФ 1г-й выходной отсчет у(1г) (в момент времени г = М ) линейно зависит от 1г-го входного отсчета х(1г) и некоторого количества предшествующих отсчетов х® (1 < 1г), а также от некоторого количества выходных отсчетов у(1) (1 < 1с):1) у(к) = аох(к)+а,х(л -1)+...+а х(к — 1)+Ь у(я -1)+ ...
+Ь у(7г — М). (10.52) Числа г, и М в разностном уравнении (10.52) называют соответственно намяиью (относительной) ЦФ по входу и выходу. ЦФ с памятью по выходу называют рекурсивным, а без такой памяти — нврекурсивным [24]. Алгоритмы работы различных ЦФ отличаются параметрами (, и Ми набором коэффициентов (аг) и 1ЬД. Рассмотрим сначала реализацию нерекурсивных ЦФ, когда все Ь; = 0 (М = О). В этом случае разностное уравнение (10.52) принимает вид у(й) = аох®+а,хЯ вЂ” 1)+...+а х(й — Е). (10.53) На рис, 10.7 дана структурная схема ЦФ, реализующего алгоритм (10.53). Основными элементами ЦФ являются блоки задержки отсчетных значений на один тактовый интервал (условно они обозначены символом х 1 ), а также масштабные блоки.
Сигналы с поРис.10.7. Структурная схемапостроення нерекурсивного следних собираются в сумматор, (трансверсаяьного) филь ра " Разностное уравнение М-го порядка (по выходной переменной) (10.52) можно представить через систему М уравнений 1-го порядка (или через векторное уравнение 1-го порядка), как принято в методе переменных состояния. 391 К„.
(г) = у, 8(~) 8(г-И), (10.48) о о К, ~~) является преобразованием Фурье дискретного сигнала (10.48). Как следует из (10.47), ЧХ ЦФ является периодической функцией частоты дискретизации Гд = 1/Л (как и спектр дискретного сигнала). Если в (10,47) ввести перрменную г=е1"', то получим г-преобразование импульсной характеристики Ц4): Н(г) =,~„8()г)х ~; го Н(г) называют системной функцией стационарного линейного ЦФ. Из (10.42) при замене 6(к) на Н(г) видно, что системная функция ЦФ определяется как отношение х-преобразования выходного сигнала фильтра к гпреобразованию входного сигнала: Н(г) = .
у() (10.50) Если в системной функции ЦФ положить г = в", получим ЧХ ЦФ К„, (~) = Н(х = е"'"') . (10.51) (10.56) образуя выходной отчет. Вид представленной схемы объясняет название фильтра "трансверсальный" (от английского слова хгапзиегзе — поперечный). Подчеркнем, что посредством разностного уравнения (10.53) можно построить лишь ЦФ с фин итной (конечной) импульсной характеристикой (и(0), я(1), я(2), ..., д(Ь)).
Если на вход схемы рис. 10.7 подать единичный импульс (1, О, О, О, ...), то по определению отклик ЦФ есть его импульсная характеристика Ь(х). Это возможно лишь при условии, что в нерекурсивном фильтре отсчеты импульсной характеристики е(1) совпадают с коэффициентами аь 1=0,1,...,Е. Взяв г-преобразование от левой и правой части (10.53), имеем У(г) = Х(х)(ае + а1г.1 + ... +агг ~). Следовательно, системная функция трансверсального фильтра, (10.54) Равенство (10,54) определяет дробно-рациональную функцию от х.
Она имеет г.-кратный полюс при г = 0 и г. нулей, определяемых корнями полинома числителя (10.54). Последние зависят от отсчетов импульсной характеристики ЦФ хЩ = а1, ЧХ трансверсального фильтра Ки (~) = ~~~, а е ' ~~ . (10,55) я-о На рис. 10.8 дана структурная схема ЦФ, работающего по общему алгоритму (10.52). Взяв г-преобразование от левой и правой части (10,52), получим К(г) = Х(г)(ае+а,х '+.. +а,х ')+ У(х)(Ь1я '+Б,г '+...+Ь„,х ~). Отсюда следует выражение для системной функции рекурсивного ЦФ: г — Ь,х —...— Ь я 1 В реализуемых цифровых фильтрах М > Е, Дробно-рациональная функция (10.5б) имеет на г-плоскости. 'я нулей, определяемых корнями г„уравнения 392 Рис.10.в.
Структурная схема построения рекурсивного ЦФ а + — г +...+=~+ — = О; о 4~~ ао ао ао М вЂ” Е-кратный нуль в точке г = 0; М полюсов, определяемых корнями г„; уравнения г -Ьг '-..;Ь,,г-Ь„=О. (10.57) Если коэффициенты Ьо (1=1,М) вещественны, то корни уравнения (10.57) (т.е. полюса Н(г)) лежат либо на вещественной оси, либо образуют комплексно-сопряженные пары. Системной функции (10.56) соответствует ЧХ ЦФ: аое" ' "Пд„ Х„~(1оо) = ПлАЧХ фильтра (в децибелах) определяется формулой о и к ( )=20[1о,.~~!оо„— ~1оо (], За счет наличия обратной связи (с выхода на вход) схема рис. 10.8 характеризуется нефинитной (длящейся неограниченно) импульсной характеристикой (откликом на единичный импульс (1, О, О, О, О, ...)). Система с обратной связью нуждается в исследовании на устойчивость.
ЦФ устойчив, если ~у„~ при Ро -+ о не превышает некоторого положительного числа А, независимо от выбора начальных условий в схеме. Чтобы исследовать устойчивость схемы, надо исследовать поведение свободных колебаний, т.е. уравнения (10.52) при отсутствии внешнего воздействия; у(1о) — Ь,у(й — 1) — Ь,у(7о — 2)-...— Ь „у(1о — М) = 0. (10,58) Известно, что отдельное свободное колебание в линейной стационарной системе определяется выражением е"', т.е. при г = 1сз имеем (е"') .
Обозначив е~о' = Х, можем искать решение (10.58) в виде у(й) = х' . (10.59) Поставив (10.59) в (10,58), получим характеристическое уравнение, определяющее Х: Хм-Ь Хм '-...-Ь = О. (10.60) Уравнение (10.60) совпадает с уравнением (10,57), которому удовлетворяют полюсы системной функции рекурсивного ЦФ. При найденных корнях уравнения (10.60) или (10.57) Х~о =д~, ь = ~,м, общее решение уравнения (10.58) можно представить в виде у(/с) = А,ы,'+ А,л,'+...+А л", (10.61) где ограниченные коэффициенты А„А„..., А„определяются начальными условиями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
