Кловский Д.Д. и др. Теория электрической связи (1999) (1151853), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Для момента времени с номером й + 1 из (10.61) следует у(7о+1) = А,р,"+'+А,г,'+'+...+А г'". (10.62) Если все полосы системной функции (10.56) удовлетворяют условию 393 ~г,~с1, к =1,М, (10.63) т.е. они лежат внутри единичного круга с центром в точке г = О, то на основа- нии (10.61) и (10.62) можно прийти к заключению, что все свободные колеба- ния во времени определяются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии и фильтр будет устойчив.
Недостаток схемы рис. 10.8 — наличие отдельных элементов задержки для входных и вы- ходных отсчетов. На рис. 10.9 дана так называемая каноническая схема рекурсивного ЦФ, использующего общие элементы задержки для входных и выходных отсчетов, при М = Ь. Схема рис. 10.9 идентична схеме рис. 10.8. Чтобы это доказать, определим системную функцию ЦФ по схеме рис. 10.9. Обозначим значение дискретного отсчета в к-й момент вре- мени на выходе первого сумматора через И'(й), Из схемы видна справедливость уравнения Яй= хЮ+Ь,Яи-1)+ЬМ.-2)+. +Ь Яй-Ю.
(10.64) Дискретный сигнал на выходе второго сумматора в к-й момент времени у(А) = а,ЯЬ) +а,ЯМ - 1)+...+а,Я1с — Ь). (10.65) Выполним г-преобразование над правой и левой частью (10.64) и (10.65), получим 'гу(ф — Ь,г — Ь,г —...— Ь г™1= л'(г), (10.66) у(г) = Яг)(а, +а,г '+а,г '+.„+а г ~]. (10.67) Приравняв значение И (г) из уравнений (10.66) и (10,67), имеем Х(г) У(г) 1-Ь,гм —...— Ь„г ~ а,+а,г '+...+а,г ' Подученный результат не отличается от (10.56), что доказывает идентич- ность схем рис.10.8 и 10.9.
Большое практическое значение имеют методы синтеза ЦФ с требуемыми свойствами, например с требуемым видом импульсной или частотной характе- ристики ЦФ. Рассмотрим некоторые приемы синтеза ЦФ по заданным характеристикам их аналоговых прототипов.
а) Синтез по заданной импульсной характеристике аналогового прототипа х(Г). ЦФ строится с импульсной характеристикой, которая является результатом дискретиза- ции 8(г), т.е. ее к-й отсчет 8(й) = 8(й~). Если в импульсной характерисгике ЦФ ограничиться конечным числом слагаемых, получаем реализацию в виде трансверсального фильтра. При неограниченном числе компонент 8(/с) следует реализация в виде рекурсивного ЦФ.
394 Рис.10.9. Каноническая схема реализации рекурсивного ЦФ Пример. Пусть аналоговый фильтр представляет собой интегратор (звено 1-го порядка) с импульсной характеристикой я(Г) = ай~ (а > О, Г ~ О). 1 Частотная характеристика этого фильтра К(1а)= —. Если трансверсальный ЦФ 1+1в/а строить по двум отсчетам а, ае~, то его системная функция Н(г) = а + ась ', а ЧХ Кце(1в) = а+аС Ю 'е~. Если построить рекурсивный фильтр по всем отсчетам ае~" (/с = О, 1, 2, 3, ...), то его системная функция Н(г) = а~~) е~'г " .
Этот ряд сходится при ф > е и равен Н(г)=; ЧХ полученного рекурсивного ЦФ первого порядка (с памятью М = 1) 1-Е г ке(1 )= б) Синтез ггФ путем дискретизации ди4ференциагьного ураенения анаеогоеой сиспмим. Построение ЦФ сводится к переходу от заданного дифференциального уравнения к разностному уравнению. Пример. Пусть аналоговая система описывается уравнением -"-Ф"-~у'-:у(г)= ) (10.68) дг2 Ыг Для 1с-го момента времени входное воздействие равно х(к), а отклик фильтра у(й). Заменим производные в (10.68) конечными разностями: ~~-у-р и'~ у[в)-,г-1)- «~~-1)-р(~-г) д г + гь Тогда разностное уравнение для (10.68) принимает вид У(Я) = аг «(К)+ Ь1 У(Я вЂ” 1)+ 1~ У(Ь -2), Ь' 2 1+~а) где аг= г г', Ь1= 2 2' 1+2аь+в~ Дь 1+2аь+а~ Ь~ 1+2а а+в~ Дь Полученное уравнение реализуется рекурсивным ЦФ второго порядка (М = 2) с системной функцией Н(г) = -1 ь -2 ЧХ полученного ЦФ а 1-Ь,Е-'"-Ь Е-'"' ' 2 в) Синтез ЦФ по заданной частоптой характеристике аналогоеого прототипа К(1а) (или операторного ищЬ1Ьициента передачи Щр)).
ПРинципиально нельзЯ создать ЦФ, частотнаЯ хаРактеРистика котоРого Кце(зв) повторяла бы частотную характеристику аналогового прототипа К(1а,), так как Кце()а) является периодической функцией частоты дискретизации а„. Однако можно потребовать, чтобы весь интервал частот а, характеризующий аналоговую цепь, был преобразован в отрезок частот ац цифрового фильтра, на котором сохраняется форма характеристики К(1в,), причем вг а — — ~са с — а.
2 " 2 Если для перехода от р-плоскости (отображающей аналоговый прототип) к г-плоскости (спображающий цифровой фильтр) воспользоваться соотношением г= Сг или р= — 1пг, (10.69) Ь 395 Для пояснения сути преобразования (10.70) положим г = С'""а, т,е. комплексно-значные точки х лежат на единичной окружности и характеризуются аргументом (угловым сдвигом) яцек. Тогда правая часть (10.70) принимает вид 2 х — 1 2 1 соа(цаца) )з1~фаца) (10.71) Ь г+1 о ~1+сох(а„Д)+)з1л(а„Ь)~ Воспользовавшись формулой 1 — соз а = 2зшза/2, агсгя сгя а = я72 — агсгя га а = я~2 — а, можно (10.71) представить так: Последнему соотношению соответствует согласно (10.70) мнимая аналоговая часть уо„ следовательно, в, = — 1й~ —" 2 ГацЬ1 (10.72) При выполнении неравенства а)ца ~ 1 (10.73) 1 + соз а = 2созза/2, следует ~аа= аац.
(10.74) В общем случае надо учесть изменение масштаба по оси частот цифрового фильтра. 10.6. УЧЕТ ПОГРЕШНОСТИ ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ И3-ЗА КВАНТОВАНИЯ СИГНАЛОВ ПО УРОВНЯМ Появление в последние годы быстродействующих широкополосных многоразрядных процессоров цифровой обработки сигналов (сигнальных процессоров) самых различных типов практически сделало возможным цифровую обработку не только сигналов речи и вещания, но и телевидения. Тем не менее необходимо учитывать погрешности работы ЦФ, обусловленные квантованием уровней сигналов. Пусть х „н х;„— наибольшее и наименьшее значения сигнала на входе схемы аналогового-цифрового преббразователя (АЦП).
Если для квантования сигналов используется (, уровней, то при равномерном квантовании шаг квантования х — х ь а 7 Квантованные отсчеты х (х) описывают мгновенные значения аналогового дискретного сигнала х(1с) с определенной погрешностью (с шумом квантования): а(х) = х (х) — х(х), которая уменьшается (по модулю) с уменьшением ах. Будем считать, что квантователь работает по следующему правилу: в качестве дискретного принимается уровень, ближайший к истинному, Если действительный входной уровень х(/с) находится в середине между дискретными уровнями с номерами! и (1+ 1) — выбирается любой из них. Ясно, что при оговоренных условиях погрешность аах(к) лежит в границах то формально мы от частотной характеристики аналогового эквивалента переходим к систем- 1 ной функции ЦФ.
Однако, если р = — !ля подставить в выражение для передаточной функции о аналогового прототипа Х(р), которая для цепей с сосредоточенными параметрами представляет собой отношение двух полиномов от р (дробно-рациональную функцию), получим физически нереализуемую системную функцию ЦФ, так как она не выражается отношением двух полиномовот г. Надо найти такое преобразование р в х, которое привело бы к реализуемому фильтру, но вместе с тем сохранило бы основное свойство преобразования (10.б9); переводило бы точки мнимой оси на плоскости р (точки )а) в точки единичной окружности в г-плоскости.
Для синтеза ЦФ получило распространение билинейное преобразование 124]: (10.70) е а+1 396 л7 а = — "~~2 я (/с). 2-О Выходной шум ЦФ, обусловленный квантованием сигнала, тем меньше, чем быстрее убывают отсчеты импульсной характеристики фильтра. Относительную погрешность ЦФ, обусловленную шумом квантования, можно определить: ]У(/)],/12у2(/) ~ (10.75) Оценим влияние шума квантования на работу цифрового пе- „® у(~) ремножителя (рис.
10.10) Х Из-за шума квантования квантованные отсчеты входного и опорного сигналов можно записать в виде х (/с) = х(/с)+ в,(/с), / (/с) = /'(/с) + ау(/с) . Тогда Я/с) х (/)/. (/) = х(/)/(/) ~х(/)в (/)+Л/), (/)+в (/)в (/) рис.!О.! О. Схема цифрового перемвсжителв Ошибка цифрового перемножителя из-за шума квантования Е (/с) = х(/с)Бу(/с) + /(/с)Е„(/с) + Е,(/с)Еу(/с) . При сделанных выше предположениях о шуме квантования МО Б (/с) = О.
Предполагая шумы квантования сигналов х(/) и Я/) независимыми стационарными случайными процессами, получаем для дисперсии выходного шума перемножителя: ев =Б (/с)=х (/с)Б~+/ (/с)Е„+Е,Б~ . Если сигналы х(/) и Я/) квантуются с одинаковым шагом /сх =/с/=с/, то 12~ ~ 1~ 37 СвсЩ] Относительная погрешность работы цифрового перемножителя, обусловленная шумом квантования, х /с +/ /с) 2 1+ Гюв а х(/с) /'(/с)' 12 х~(/с)7"2(/с) ВЫВОДЫ 1. Устройство ЦОС обладает рядом преимуществ перед устройствами обработки сигналов в непрерывном времени и широко применяется на практике в системах передачи как дискретных, так и непрерывных сообщений. Ь, Ь, — — <в „<— 2 2 Чаше всего считается, что случайная погрешность Е (при различных /с) равномерно расл, л.1 2 2 /Сл пределена на отрезке — — ',— '~.
Тогда ее МО равно нулю, а дисперсия сс',„= Б' = — *. г'г~' 12 Определим погрешность работы линейного стационарного ЦФ, обусловленную шумом квантования. Дискретный выходной отсчет ЦФ, обусловленный шумом квантования в (/с), согласно (10.41) равен в (/) = ~~> Х(/с)в (/ — /с) . Математическое ожидание. выходного шума Б =О.
Для нахождения дисперсии выход- ного шума е2, предположим, что отдельные отсчеты входного шума Е,„(/с) — независимые /2 случайные величины с равномерным распределением и дисперсией ев (/с) = — '. Тогда 12 2. Особенно широко применяются в системах связи линейные стационарные ЦФ и цифровые перемножители, 3. Спектр Фурье дискретного сигнала является периодической функцией частоты дискрети- зации, 4, Линейчатый спектр дискретного финитного (периодического) сигнала с числом отчетов )1Г определяется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ). Число компонент такого спектра С„равно Л~ а число амплитуд Ф/2.
По спектральным компонентам С„дискретные отсчеты. сигнала х(/с) определяются через ОДПФ. 5. Существуют методы быстрого преобразования Фурье (БПФ), позволяющие существенно сократить число операций, выполняемых при расчете ЦФ спектральными методами. 6. При анализе и синтезе ЦФ широко используется г-преобразование для получения спектральных характеристик входного и выходного сигналов и самого цифрового фильтра (его системной функцией Н(г)), Обратным г-преобразованием определяются временные характеристики входных и выходных сигналов, а также ЦФ. 7. Частотный коэффициент передачи ЦФ определяется системной функцией фильтра прн г=е! е, Линейные стационарные цифровые фильтры с финнтной импульсной характеристикой реализуются трансверсальной схемой, а с неограниченной 'импульсной характеристикой— рекурсивной схемы (с обратной связью с выхода на вход).
9. Рекурсивные цифровые фильтры устойчивы, если все корни полинома знаменателя сис- темной функции Н(г) лежат внутри единичного круга с центром в начале координат. 10.ЦФ часто строятся по аналоговому эквиваленту. Находят применение методы синтеза ЦФ по заданной импульсной характеристике аналогового эквивалента, по заданному дифференциальному уравнению аналогового эквивалента, по заданной частотной характеристике аналогового эквивалента. 11,Выходной шум ЦФ, обусловленный квантованием, тем меньше, чем быстрее убывают отсчеты импульсной характеристики фильтра.
12.Выходной шум цифрового перемножнтеля зависит как от значений отсчетов перемножае- мых сигналов, так и от нх шумовых компонент. ВОПРОСЫ, ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 10.1, Дискретный сигнал определяется на интервале своей периодичности Т шестью равно- стоящими отсчетами (х(/с)) = (1, — 1, — 1, О, О, О). Найти коэффициенты ДПФ. Восстановить по ним сигнал х® и построить его график. 10,2. Во сколько раз 1! можно сократить число операций (умножений) при осуществлении ДПФ методом БПФ? Найдите значение т! при массиве !у = 1000 и 7у= 10000. 10.3. На вход цифрового фильтра поступает дискретный сигнал хл(г) = (1, О, П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
