Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2003) (1151848), страница 18
Текст из файла (страница 18)
+ Сн 1сн~ (2.80) Я[п — Ц = с,сч, Я[Я] = О. 96 Для моделирования случайных процессов методом скользящего суммирования требуется решить задачу нахождения весовых коэффициентов се по заданной корреляционной функции или спектральной плотности мощности. Существуют различные способы определения се. Рассмотрим некоторые из них.
Способ нахождения весовых коэффициентов на основе решения нелинейной алгебраической системы уравнений. Используя выражение (2.75), найдем дискретные значения моделируемого процесса: 2.8. Моделирование сигналов и иомех Первое уравнение системы (2.80) записано с учетом того, что А(0)= Р, где Рс — дисперсия моделируемого процесса с(Г).
Решая систему уравнений (2.80) при заданных значениях Я[Ц, можно получить весовые коэффициенты сь Пример. Определить алгоритм моделирования гауссовского случайного процесса с корреляционной функцией треугольной формы Я(т) = а (1-Ц/тв), )т(<т<„ 0, Полагаем, что Ф = т, /Ьт — целое число. Пусть Ф = 4. Для этого случая система уравнениИ (2.80) принимает внд К[0] с1 + сг + сз + сл а Я[Ц = с, с, + с,с, + с,с4 =0,75а, Я[2) = с, с, + сзс4 = 0,5а', А[3) = с, с4 = 0,25а, 11[4) = О. (2.8 1) Нетрудно убедиться в том, что лля системы уравнений (2.81) все весовые коэффициенты се оказываются одинаковыми, т. е.
с, = с, = ... = с „= с. Тогда нз первого уравнения системы (2.81) определяем с = а/~ГФ. (2.82) Подставляя равенство (2.82) в (2.75), получаем следующий алгоритм формирования случайного процесса: с[и) = [а/йГФ)') х[и — Ц. При моделировании случайного процесса Цг) интервал дискретизации по времени Лг = Лт следует выбирать из условия Ьт ~ т„, где т„— интервал корреляции процесса ~(г). Нахождение весовых коэффициентов се решением системы уравнений (2.80) в общем случае требует значительного объема вычислительной работы. Кроме того, при изменении интервала дискретизации необходимо повторно решать систему уравнений (2.80).
97 2. Сигнавы и помехи в радиотехнических системах Способ нахождения весовых коэффициентов на основе разложения спектральной плотности мощности в ряд Фурье. При данном способе весовые коэффициенты вычисляются следующим образом (18, 191: 1 ' го, с„= — ) — '6(го) соя(кпоз/о,)аЪ, 'оо о (2.83) г,(л) = ,') с х[п — Ц (2.84) Параметр т, ограничивающий число весовых коэффициентов сь можно выбрать из условия ы 1 — — „) с се, (2,85) 2)„, где В~ — дисперсия моделируемого случайного процесса, е — погрешность моделирования. Условие (2.85) следует из того, что сумма квадратов весовых коэффициентов с„должна быть равна дисперсии моделируемого случайного процесса (см. (2.80)). Пример. Определить алгоритм моделирования стационарного нормального случайного процесса, корреляционная функция которого имеет вид о Я(т) = ! + ооОт Находим спектральную плотность мощности случайного процесса: ко ( оо ) и.) - )и н*п-,.*н = — '.
Р(- — ~) ооо ооо Подставляя б(ы) в формулу (2.84), получаем о о (2.86) 98 где 6(а) — спектральная плотность мощности моделируемого процесса, ез, — граничная частота спектра процесса, При этом алгоритм моделирова- ния гауссовского случайного процесса принимает вид 2.8. Моделирование сигналов и помех Интеграл в выражении (2.86) является табличным: )ехр(ах)соз(пх)с/х = [асов(пх) + псбп(пх)). ехр(ах) а ьп После несложных преобразований находим у (1 — (-1) ехр(-л/2у) я(, 1е 4у/с где у = а Ас, /сс = л/а,, При достаточно малом значении у (у «1) имеем с, и2 Алгоритм моделирования будет иметь вид (2.84).
Способ нахождения весовых коэффициентов на основе разложения спектральной плотности мощности процесса на множители. Этот метод применяется, когда спектральная плотность мощности 6(а) моделируемого стационарного случайного процесса является рациональной функцией, т. е. представляет собой отношение 0(а) = ссс(а)/'бг(а), где бс(а) и б (а) — полиномы степени /' и т' > /' соответственно. Случайные процессы с рациональной спектральной плотностью наблюдаются, как известно, на выходе линейной системы с постоянными параметрами при воздействии на входе белого шума.
Действительно, комплексная частотная характеристика К(/а) такой системы является дробно- рациональной функцией: К(/а) = К, (/а)/Кг (/а), где К!(/а) и Кг(/а) — полиномы по переменной/а степени / и т > / соответственно. При этом на выходе система при воздействии белого шума с единичной спектральной плотностью мощности (6 = 1) будет появляться случайный процесс со спектральной плотностью мощности 6(а) =(К(/а)! = К(/а)К( — /а) = ' ', . (2.87) г .. К! (/а) К! ( /а) Кг(/а)Кг( /а) 2.
Сигнахы и помехи е радиотехнических системах у П(у' -у ) К(ув) = чУС П(у -.у' ) (2.88) где вц и в, — корни соответственно числителя 0,(в) и знаменателя 0,(в) спектральной плотности 0(в) с положительной мнимой частью. Множитель С определяется из условия )К(ув)~ = б(в).
На основании (2.88) передаточная функция фильтра имеет вид (2.89) у П(р — р ) к(р)= /с '=' П(р- р ) где р = ув, рм — — ув,, р„= ув, . По найденной передаточной функции К(р) можно найти импульсную характеристику формирующего фильтра уу(у), которая согласно известной теореме разложения Хевисайда имеет вид у (у) ) г~ чНчну ЕХР(рчу)т (2.90) ыни где р„, к=1,2,...,х, — полюсы передаточной функции К(р) с кратностями й,гг,...,г, соответственно,х — число различныхкорней (й +к +...ч-г, =т), 100 Таким образом, линейную систему с соответствующей характеристикой К(ув) можно использовать в качестве формирующего фильтра для получения случайного процесса ~(у) с заданной спектральной плотностью 0(в).
Определим комплексную частотную характеристику К(ув). Это можно сделать путем разложения б(в) на множители вида (2.87). На основании теоремы разложения неотрицательных дробно-рациональных функций на множители комплексную частотную характеристику К(ув) можно представить в следующем виде: 2.8. Моделирование сигналов и помех р -! Н,„= —,'[(р — р„)" К(р)] . (2,91) л Случайный процесс с(г) на выходе формирующего фильтра с импульсной характеристикой й(г) определяется интегралом свертки: г,(х) = ]п(т)х (е — т)ггт, о (2.92) где х'(г) — белый шум со спектральной плотностью мощности бо = 1, Осуществляя дискретизацию процесса (2.92), получаем О с[п) = Ж,/Рг ')' БЯ х[п — Ц, я=а где Є— дисперсия процесса х'(г), х[п) — нормированный дискретный белый шум. Учитывая, что Лг = х/ю„Р,, = ю,/х, и ограничивая количество членов суммы, окончательно можно записать г,[п] = ) слх[п — lг], (2.93) где с = /огЬ[х). (2.94) О(ы) = ыо+ в' и корень знаменателя б(а) с положительной мнимой частью: ~ц 1 0' Комплексная частотная характеристика К()а) формирующего фильтра согласно выражению (2.88) имеет вид 101 Пример.
Определить алгоритм для моделирования случайного процесса с корреляционной функцией вида Я(т) = ехр(-щл(т1). Находим спектральную плотность мощности моделируемого случайного процесса: 2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах К(/ха) = /С 1 /ха+ ааа а передаточная функция к(р) = /с 1 Рч !аа Из условия (2.89) получаем /С = ~/2а . По формулам (2.90) и (2.9!) при значениях х = б = 1, р! —— — ва находим импульсную характеристику формирующего фильтра: Ь(г) = ~/2аа ехр( ыа!). для дискретных значений Г = ясм' получаем Ь[Ч = Лыа ехр( <аахо!).
По формуле (2.94) находим с~ = /о! /2аа ехр(-аа !со!). Окончательно алгоритм моделирования (2.93) примет вил н-! с [и] = ./2т'~ ~ехр(-.тра)х[п — 1а], т = ваде. (2.95) Ь[п] = аах[п] + а,х[п — Ц + ... + а,х[п х] 5 и — ЬД[п — Ц вЂ” Б~Дп — 2) — ... — Ь с[п — т] = ч ~алх[п — Ус) — ~~' Ьлча[п — 1с], (29б) 102 Если при моделировании гауссовского случайного процесса Ь,[п) известно, что он является результатом воздействия белого шума на линейную систему с известной импульсной характеристикой Ь(г), то данную линейную систему целесообразно использовать как формирую!ций фильтр.
В этом случае весовые коэффициенты сл алгоритма моделирования (2.93) будут определяться через дискретные значения импульсной характеристики Ь[й] по формуле (2.94). Метод рекуррентных алгоритмов. При этом методе значения Ь[п] моделируемого случайного процесса с(г) формируются на основании следующего алгоритма: 2.В. Моделирование сигналов и помет где х[п] — нормированный дискретный белый шум. Параметры ал и Ь„определяют вид корреляционной функции случайного процесса„моделируемого с помощью алгоритма (2.96). Уравнение (2.96) описывает поведение дискретного линейного фильтра, имеющего передаточную функцию ,) аег е=е К[г) = (2.97) 1+ "1 Ь„г ьм Рекуррентные алгоритмы применимы только для моделирования случайных процессов с рациональным спектром.
Как и при использовании алгоритма скользящего суммирования, подготовительная работа сводится к нахождению параметров ае и Ьь Существуют различные способы определения этих параметров. Рассмотрим один из них — способ факторизации. Последовательность действий при осуществлении этого способа следующая: 1) находится спектральная плотность Ь'(г) моделируемого процесса Ь[п1 по корреляционной функции А[к): (2.98) 2) осуществляется факторизация спектральной плотности Р(г): А(г)А(г ') В(г)В(г ') 3) преобразуется передаточная функция К(г) к виду (2.97) для нахождения параметров рекуррентного алгоритма (2.96).
Пример. Найти рекурревтный алгоритм моделирования гауссовского стационарного процесса Цг), имеющего экспоненциельную корреляционную функцию Я(т) = ехр( — ще~т/). Формирование такого процесса методом скользящего суммирования рассмотрено в предыдущем примере. Его спектральная плотность мощности имеет дробно-рациональиый вид: 103 2. Сигнаеы и помехи в радиотехнических системах 2 2 О)О + О! По заданной непрерывной корреляционной функции Р(т) находим ее дискретную моделге Я[!1] = ехр(-у1!11), Р(г)=Г (г)+г" (г )-А[0], (2,99) ) где Г'(г) = ) Я[!г]г — одностороннеег-преобразование дискретной функции. Е-О По таблицам [20] находим Г'(г)! Г (г) = ~ехр(-у/с) г г — ехр(-у) Подставляя это выражение в (2.99), после ряда преобразований получаем Е(г) =, —, — 1К(г)1, А(г).4(г-) 1 — ) з В(г)В(г ) (1- гр)[1 — г р) где р = ехр(-у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
