Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2003) (1151848), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Критерий Неймана — Пирсона не требует знания априорных вероятностей присутствия и отсутствия сигнала, а также функции потерь. В рассмотренных выше решающих правилах выбор решений проводился на основе т-мерных векторов принимаемых сигналов, причем значение т оставалось постоянным. Существует правило выбора решений, при котором размер выборки сигнала в случаен и зависит от результатов наблюдения за сигналом на предыдущих т — 1 шагах (т. е. в моменты времени ~). Это правило предложено Вальдом н называется правилом последовательного анализа. Оптимальность критерия Вальда заключается в том, что он при заданных вероятностях ошибочных решений гарантирует минимум среднего размера выборки сигнала, или, что то же самое, минимум среднего времени наблюдения, необходимого для принятия решения.
Рассмотренные в настоящем параграфе критерии будут использованы далее при синтезе оптимальных устройств обработки сигналов. 3.3. Обнаружение сигналов ЗЗ.1. Оптимальные алгоритмы обнаружении сигналов Задача обнаружения (ее формулировка дана в З 3.1) является частным случаем общей задачи проверки статистических гипотез: необходимо на основе анализа принятого колебания и(г) сделать выбор между гипотезой Нв (утверждение, что сигнала на входе нет, т. е. параметр О равен нулю) и альтернативной гипотезой Н, (утверждение, что сигнал на входе присутствует, т.
е. параметр О равен единице). Поскольку в задаче обнаружения возможны только два решения: уо (принимается гипотеза Ня) и у1 (принимается гипотеза Н~), она называется двоичной (двухаяьтернативной). Если распределение наблюдаемого колебания и(г) зависит только от того, какое значение принял параметр О, то гипотезы Нд и Н| называются простыми. Такой случай имеет место при обнаружении детерминированного сигнала. При зтом и(г) = Оз(г)+ п(г), 120 3.3. Обнаружение сигналов р„= )и(п)Н )йв. (3.13) 2. Справедлива гипотеза Нь Принимается решение уь Этот случай называется правильным обнаружением. Вероятность такого события 23 = )н(н)Н,)йв.
(3.14) 3. Справедлива гипотеза Нл. Принимается решение ть т. е. ошибочное решение. Этот случай называется ложным обнаружением (ложной тревогой). Вероятность такого события Г„= )н (н)Н )с(н. (3.15) 4. Справедлива гипотеза Нь Принимается решение у„т. е. ошибочное решение. Этот случай называется пропуском сигнала. Вероятность такого события 121 где л(1) — полезный сигнал, все параметры которого известны, и приходится решать задачу проверки простой гипотезы Нд при простой альтернативе Н,, Более типичным для задачи обнаружения является случай, когда распределение вероятностей наблюдаемого колебания и(г) зависит не только от вида гипотезы, но и от неизвестного параметра Х (или вектора Х). При этом гипотезы Нь и Н, называются сложньичи и задача обнаружения состоит в проверке сложной гипотезы при сложной альтернативе.
Рассмотрим задачу обнаружения, когда гипотеза Нд и альтернатива Н, являются простыми. Задача заключается в нахождении правила Л(у~н), согласно которому любой наблюдаемой выборке иь ..., и ставится в соответствие решение уь или уь Процесс принятия решения в данном случае можно представить следующим образом. Пространство принимаемых сигналов 1) разбивается на две непересекающиеся области У, и Юь Если сигнал на входе приемника и(1) попадает в область Ц>, то принимается решение уь (гипотеза Нл), при попадании сигнала и(г) в область У, принимается решение у1 (гипотеза Н1).
Область Пь называется допустимой, а область Ю, — критической. Поскольку помеха п(г) имеет случайный характер, принимаемое решение не всегда является достоверным. Поэтому при решении задачи обнаружения возможны следующие четыре случая. 1. Справедлива гипотеза Нд.
Принимается решение ул. Этот случай называется правильным необнаружением. Вероятность такого события определяется формулой 3. Основы теории обнаружения и различения сигналов р„„= ) и(в)Н,)ап. (3.16) иЯ =Оз,(г)+(1 — 9)з (~)+ пЯ, (3.17) где з,(~) = з(г), зо(г) ге О. Случайная величина 9 принимает значения 1 и О с вероятностями р и 1 -р соответственно. Функцию потерь зададим следующими выражениями: П(зн ус) = Пго > О, П(з„у,) = Пгн П(зо, у, ) = Пгл > О, П(зо уо) = Поо причем Пго >П„и Пм >П .
Тогда средний риск, в соответствии с формулой (3.4), имеет вид 1 1 Я =,~ ~П(з„у )(з, У,) = Поо~(зо Уо)+ з=о о=о +По~и(зо~у1)+П1ои(знуо)+П~1'"('~ У~)= = Поо~(зо)'(Уо 1зо)+ По~~(зо)"(У~ 1зо)+ + П1ои(з1)и(уо!з1)+П11н(з1)ле(У1!з1)' 122 Таким образом, из четырех возможных случаев, имеющих место при обнаружении сигналов, в двух решения принимаются правильные, а в двух— ошибочные. Ошибку ложного обнаружения называют также ошибкой первого рода, ее вероятность ст — уровнем значимости правила выбора решения.
Ошибку, связанную с пропуском сигнала, называют ошибкой второго рода, а вероятность правильного обнаружения 13 = 1 — р„„— мощностью правила выбора решения, Вероятности ошибочных решений Р' и р„„, как следует из формул (3.15), (3.16), зависят от характера разбиения пространства принимаемых сигналов Ю на области Ц, и е)ь Очевидно, что уменьшая область Юь можно уменьшить вероятность ложной тревоги Г, однако при этом возрастает вероятность ошибки пропуска сигнала р„„. Уменьшение области Юо приводит наряду с уменьшением р„„к увеличению Г . В связи с этим возникает задача, как наилучшим образом разбить пространство Ю на области Юо и Юь Рассмотрим сначала байесовское правило принятия решений. Запишем колебание на входе обнаружителя: 3.3. Обнаружение сигналов Учитывая, что и (г, ) = Р, н (г ) = 1 — Р и п(уело) = Рп н'(у~ 1зо) = Рпп и(уо1п1) =Рпрпп н'(71!г1) = 13 получим Я = Поо(1 — Р)рп + По1(1 Р)Г„„+ П1оРРпрпп + ПпРР.
(3.18) Подставляя в формулу (3.18) выражения для Р„, Р, Г„„и рп, из формул (3.13) — (3.16), находим Я = П (1 — Р) )ь(и~Но)г3и+Пм(1 — р) ~м(и~НДйи+ па + Пьор )н(и)Н,)о3и+Ппр ) н(и(Н,)аи. (3.19) пп Учитывая, что ~н(и)Н,)е(и =1 — )н(и!Н,)сХи, Сп Ю~ ~н(и~Но)г3и = 1 — )Ги (ифо)йз, согласно формуле (3.19) средний риск Я = Поо(1 — р)+ П„р — ~(р(Пщ - Пп)и'(и(Н,)- и -(1-Р)(По1 — Поо)~(иапо)Ии (3.20) Р(П|о Пп)н(и/Н,) — (1 РИПо1 Поо)н(и!Но) > 0 (3.21) Используя формулу (3.21), можно записать алгоритм работы оптимального по критерию Байеса обнаружителя сигнала: ~(и!Н) ' (1-Р)(П -П ) ( н(и)Но) н, р(П,о — Пп) 123 Первые два члена в соотношении (3.20) являются постоянными величинами, не зависящими от способа разбиения пространства П.
Поэтому минимальное значение среднего риска достигается тогда, когда значение интеграла оказывается максимальным. Для этого необходимо область П1 выбрать такой, чтобы в нее вошли все точки пространства Ю, для которых подынтегральное выражение неотрицательно, т. е. 3. Основы теории обнаружения и раэличения сигналов (! рКПш Пш) 1о = р(П„-П„) (3.23) Если 1(в) ~ 1о, то принимается гипотеза Н1 о наличии сигнала, а если 1(п) <1, то принимается гипотеза Но об отсутствии сигнала. Отношение 1(п) =й(п~Н,)lи(п(Н ) называется отношением правдоподобия, или коэффициентом правдоподобия.
Оно показывает, насколько гипотеза Н, при принятом сигнале и(!) правдоподобнее гипотезы Но. ПРи известном РаспРеделении помехи п(Г) и известном способе взаимодействия полезного сигнала и помехи отношение 1(в) всегда может быть найдено. Пороговый уровень 1о зависит от априорной вероятности наличия сигнала р и значений функции потерь Поо, Поь П~о и Пп. Он может быть вычислен заранее.
Важно отметить, что априорные вероятности наличия и отсутствия сигнала и функция потерь не влияют на процедуру обработки сигнала. При изменении этих данных приходится лишь подстраивать пороговый уровень. Задавая функцию потерь в виде соотношений П(л„у ) = П(л, у,), П(лп у,) = П(ло, уо) = О, с учетом выражения (3.22) получаем алгоритм работы обнаружителя сигна- ла, построенного на основе критерия идеального наблюдателя: и(п~Н,) (! — р) и'(и )Но ) нл Р (3.24) В соответствии с выражением (3.24) необходимо вычислить отношение правдоподобия и сравнить его с пороговым уровнем (1-р) 1о = р Из формулы (3.24), предполагая, что вероятности наличия и отсутствия сигнала равны, т.
е. ! — р = р, находим алгоритм работы обнаружителя сигнала, построенного на основе критерия максимального правдо- подобия !24 По алгоритму (3.22) необходимо вычислить отношение функций правдоподобия 1(в) = и (в!Н,)/и (и!Но) и сравнить его с пороговым значением (уровнем) 3,3. Обнаружение сигналов и, ое(ц)Н,) и'(и Д~ ) ио (3.25) В радиолокации при решении задачи обнаружения часто применяется критерий Неймана — Пирсона. Алгоритм работы обнаружителя, построенного на основе этого критерия, можно записать в виде соотношения и, ое(п!Н1) > и'(в~Но) ио (3.26) где порог С находится из условия, что вероятность выполнения неравенства 1(в) > С при гипотезе Но не превышает наперед заданной величины Г„, т.
е. Рис. 3.2. Структурная схема обиаружителя 125 Таким образом, для всех рассмотренных критериев: байесовского, идеального наблюдателя, максимального правдоподобия и Неймана — Пирсона, процедура принятия решения (рис. 3.2) сводится к вычислению отношения правдоподобия 1(п) (блок ОП) и сравнению его с пороговым значением 1о (блок ПУ вЂ” пороговое устройство), равным соответственно (1 — р)(Пщ — П,)/р(Пщ — П„), (1 — р)/р, 1 и С. Структура обнаружителя сигнала не зависит от выбранного критерия оптимальности. Рассмотрим работу обнаружителя, построенного на основе критерия последовательного анализа (наблюдателя) или критерия Вальда.
В ранее рассмотренных решаюших правилах решение принимается после получения выборки сигнала ип ..., и„, фиксированного объема т. Последовательная процедура обнаружения характеризуется тем, что попытка принять решение в пользу гипотезы Но или Н, делается каждый раз по мере получения очередного элемента выборки. Процесс принятия решения состоит в следующем. При получении элемента выборки и, = и(г,) на основе его анализа либо принимается решение в пользу одной из гипотез Но или Н~ (решеиие уо или у~), либо принимается решение уз о продолжении наблюдения за сигналом. Если на первом шаге по элементу выборки и, принимается решение уо или уь то процесс обнаружения на этом за- ~о канчивается.
Если принято решение уъ то „<л продолжают наблюдение за сигналом. При получении второго элемента выборки из = и(гз) на основе анализа двумерной выборки иь ио вновь проверяется возможность 3. Основы аеории обнаружения и различения сигналов зе(в~Н,) ю,(и,, ..., и, 1Н,) ( (Н,),.( „...,,(Н,) (3.27) и сравнивать его с двумя порогами: верхним А и нюкним В (рис. 3.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
