Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2003) (1151848), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Поскольку теория статистических решений охватывает все многообразие статистических оптимальных критериев, целесообразно при решении задач синтеза оптимальных радиоприемных устройств воспользоваться результатами этой теории. Ниже излагаются основные положения теории статистических решений, рассмотренных в работах [22 — 26].
114 3.2. Основные положения теории статистических решений Пусть принятый сигнал имеет вид (3.1). Не нарушая общности, положим, что наблюдение колебания и(г) проводится в дискретные моменты времени г„...,г„. Тогда с учетом формулы (3.1) можно записать ц = Р(в, п), (3.3) где ц=(и„...,и ), в=(лп...,л ), п=(п,,...,п ) — и-мерные векторы (тмерные выборки) соответственно принятого колебания, полезного сигнала и помехи. Совокупность всех возможных векторов ц образует пространство У выборок принимаемого колебания и(г).
Аналогично, векторы в и и образуют соответственно пространство 8 выборок полезного сигнала в(г) и пространство Я выборок помехи п(1). Статистические характеристики помехи предполагаются известными и задаются в виде распределения м (и) = ш„(п„..., и ). Известным считается также способ взаимодействия сигнала с помехой. При этом можно найти статистическое описание вектора ц принятого колебания для фиксированного вектора я — условное распределение и (и ~я) = хс„(и„..., и„~в). Функцию и (в~я) называют функцией правдоподобия. Такое название объясняется следующим. После получения выборки ип ..., и функция и (ц~я) зависит только от я и характеризует степень соответствия вектора принятого колебания тому или иному вектору полезного сигнала, т. е.
показывает, насколько один вектор я при известной выборке ип...,и„более правдоподобен, чем другие. При известном распределении ш(я) = ш„(х,,..., л„) полезных сигналов, зная функцию хс(ц~я), можно найти совместное распределение векторов в принимаемых колебаний и векторов в полезных сигналов: и (ц, я) = ш(я)ш(в (я). Задача заключается в том, чтобы на основе полученной выборки и„..„и„и априорных данных о способе взаимодействия сигнала и помехи принять одно вполне определенное решение из набора уо, у„..., у„возможных образующих пространство решений Г.
Выбор решения по выборке ип ..., и„проводится в соответствии с алгоритмом принятия решения Л(у~ц). Функция Л(у|ц) называется реиихющей функцией, или решающим правилом. Она представляет собой вероятности 115 3. Основы теории обнаружении и различения сигналов (или плотность вероятностей) принятия решения у на основе принятых данных и. Механизм принятия решения можно представить следующим образом (рис. 3.1), Пространство иринин г маемых сигналов Ю разбивается на нец1 пересекающиеся области Ю„, Ю,, ..., 0 У1 и устанавливается соответствие между цз цо уа решениями и этими областями. Если уг каждой области ставится в соответствие только одно вполне определенное Рнс. ЗЛ. Схема выбора решения решение, то правило Л(у1ц) называется нерандомизированньии (детерминированным).
Существуют правила, при которых для принятой выборки ин ..., и„ допускается несколько решений с соответствующими вероятностями, например некоторой области Ю, ставятся в соответствие решения у„,...,у, с вероятностями рен...,р,. соответственно, причем ) р, =1. Такие правила зы называются рандомизированны'чи, Далее рассматриваются только нерандомизированные правила. Будем считать, что если выборка принятого колебания попадает в область Ю„то принимается решение у,. Соответственно, решающая функция имеет вид ~1, если 1 = /, Л(у, п.)= 10,если1~ у. Очевидно, что для любого решающего правила при наличии помех всегда возможны ошибочные решения. Для количественной оценки ущерба (потерь), связанных с принятием решений, вводится так называемая функция потерь (штрафа, стоимости) П(я, у).
Ее конкретное значение П(я„у ) харакгеризует потери при принятии решения у, в то время как правильным является решение у,. Функция потерь должна удовлетворять следующим свойствам: П(я у )>О, П(я„у )>П(я„у;), П(я„у;) ~ О. Функция потерь выбирается заранее. Примеры ее задания будут приведены при решении конкретных задач. 116 3.2. Основные положения теории статистических решений Теперь можно сформулировать математически задачу выбора решения: на основе априорных данных о пространствах полезных сигналов б и помех )ч(, распределениях вероятностей ш(я) и и(п) на этих пространствах соответственно, способе взаимодействия сигнала и помехи и заданной функции потерь П(я, у) необходимо по полученному сигналу и оптимальным образом найти решение у — какой конкретно из полезных сигналов содержится на входе приемника. Поскольку появление того илн иного полезного сигнала в, на входе приемника и принятие решения у, являются случайными событиями, то значение функции потерь П(я„у ) — случайная величина.
Поэтому ка- чество решения можно характеризовать математическим ожиданием функции потерь Я=М(П(в,у)1=~ ~~,й(в„у )П(в„у ), (3.4) Я = ЦП(в, 7)и(в, у)йвйу, (3.5) где и(в, 7) — совместная плотность вероятности сигнала в и решения 7. Для нерандомизированных правил принятое колебание и решение связаны детерминированной зависимостью, а поэтому справедливо соотношение (3.6) ш(в,у)йвйу = и(л,и)йлйи. С учетом формулы (3.6) выражение (3.5) записывается в виде Я = ЦП(в, у„)ш(в, и)йлйи, (3.7) где ун — решение, соответствующее принятому сигналу и(г). 117 где и(я„у ) — совместная вероятность появления на входе приемника сигнала в, и принятия решения уг Величина Я характеризует средние потери при принятии решения и называется средним риском.
Чем меньше средний риск, тем лучше решение (наилучшим (оптимальным) решающим правилом будет такое, для которого значение среднего риска будет наименьшим). Правило, при котором минимизируется средний риск, называется байесовским правичо.и, нли байесовскии критерие.и. Часто его также называют крипгерием минииуиа среднего риска. В случае, когда пространства сигналов $ и решений Г непрерывны, средний риск 3. Основы теории обнаружения и различения сигналов г, =,')„П(я„у,)ле(у,,)я,) э для дискретных пространств Б и Г и г, = )П(в, у)ле(у(в)сну = )П(л, у„)и(и~в)Аи для непрерывных пространств $ и Г, где й(у ~в, ) — вероятность принятия решения у, при условии, что на входе приемника присутствует полезный сигнал вн а и(у~в) и и(и~в) — соответственно условные плотности вероятности случайных величин у и ю Согласно минимаксному критерию наилучшим считается решающее правило, которое обеспечивает наименьшее значение максимального условного риска г,.
Минимаксный критерий позволяет найти наилучшее решение для наихудшего случая. Он гарантирует, что минимально возможное значение условного риска не будет больше некоторого значения даже при самом неблагоприятном распределении и(в). На практике часто встречаются случаи, когда ошибочные решения одинаково нежелательны, например при передаче дискретных сообщений. При этом целесообразно функцию потерь задать следующим образом: с опз1 при Г ~1, П(а„у,) = О при ~'=г. (3.8) 118 Заметим, что средний риск не является исчерпывающей характеристикой решающего правила.
Более полной характеристикой качества обработки сигнала может служить, например, совокупность двух показателей: среднего риска Я и дисперсии среднего риска е)я (в общем случае — совокупность моментов функции потерь П(а, у)). Однако синтез решающего правила по совокупности показателей значительно сложнее, и на практике ограничиваются критерием минимума среднего риска. Применение байесовского критерия требует большого объема априорной информации: необходимо знать функцию потерь и совместное распределение ле(в, и), или, что то же самое, распределения и (в) и и (и~в). Если априорное распределение сигналов й(в) неизвестно, то применять критерий Байеса нельзя, так как при этом задача оптимизации, в смысле минимума среднего риска, оказывается неопределенной.
В этом случае применяют минимаксный критерий. Введем понятие условного среднего риска 3.2. Основные положения теории статистическик решений Обычно так же функция потерь задается и в тех случаях, когда ее обоснованный выбор затруднителен. Например, это имеет место в радиолокации.
Действительно, при решении задачи обнаружения сигнала, как правило, трудно оценить потери, связанные с пропуском сигнала (пропуском цели) и ложным обнаружением (ложной тревогой). Для функции потерь, определяемой выражением (3.8), средний риск определяется формулой А=С~ ~ ш(воу ), 1-~у', (3.9) где С вЂ” любая постоянная.
Из выражения (3.9) следует, что величина Я с точностью до постоянного множителя совпадает с полной вероятностью ошибочных решений. Поэтому байесовский критерий прн задании функции потерь в виде выражения (3.8) имеет смысл назвать критерием минимума полной вероятности ошибки. Его часто называют критерием идеального наблюдателя, а также критерием Котельникова — Зигерта. Другим критерием, который минимизирует полную вероятность ошибочных решений, является критерий максимума апостериорной вероятности и(в(в) = и(в)ш(п(в) ш(ц) (3.10) в соответствии с которым решение принимается в пользу сигнала в„если и(в, )в) > и(в (и), 1 = 1, ..., т, (3.11) и(в~в,)>и(а~в ), 1= 1,...,т,,у-~1 (3.12) 119 Действительно, все, что можно узнать о полезном сигнале в, на основе принятого колебания и, заключено в апостериорной вероятности и(в,.~в), которая представляет собой не что иное, как вероятность правильного приема сигналов. Поэтому если решение принимать в соответствии с выражением (3.11), то гарантируется, что полная вероятность ошибки будет минимальной.
При отсутствии априорных сведений не только о функции потерь, но и о распределении сигналов ш(в) считают, что ш(в) = сопв1, т. е. принимают распределение сигналов как равномерное. При этом апостериорная вероятность (3.10) с точностью до постоянного множителя совпадает с функцией правдоподобия и(в~в). Для обеспечения минимального среднего риска решение принимается в пользу сигнала, для которого функция правдоподобия максимальна, т. е.
в пользу сигнала в„если 3. Основы теории обнаружения и различения сигналов Критерий (3.12) целесообразно назвать критерием максимального правдоподобия. Он часто используется в математической статистике при оценке неизвестных величин. В задачах обнаружения сигнала часто применяют критерий Неймана — Пирсона, который гарантирует, что вероятность ошибки типа «ложная тревога» не превысит заранее выбранную величину, а вероятность ошибки типа «пропуск сигнала» будет минимальной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
