Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2003) (1151848), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Сигнаеы и помехи в радиотехнических системах Пример, Определить алгоритм моделирования случайной величины У с рзлеевским законом распределения: ге(у) = —,ехр~-— У У о (, 2ог Функция распределения случайной величины у имеет вил Г 2 2 ( У1 г(у)= )ге(х)егх=) —,ехр' — —, д = ! — ехр — —, ~ .-') С учетом выражения (2.63) получаем х=г(у) =1-ехр — —, У 2о у (2.64) Отсюда следует алгоритм формирования заданной случайной величины у= /2йе —.1.
Выражение (2.65) можно представить и в другом виде: у = о~/ — 21Щх). (2.65) Переход от !п(1 — х) к !п(х) в последнем выражении основан на том. что случайные величины ! — Х н Х имеют одинаковые законы распределения. 84 В табл. 2.4 приведены алгоритмы моделирования случайных величин с наиболее распространенными законами распределения, полученные данным методом [18, 19). Метод на основе преобразования нормагьно распределенных случайных чисел использует известные закономерности нелинейного преобразования случайных величин 2 с нормальным распределением в случайные величины ус другими распределениями.
Алгоритмы моделирования случайных величин, полученные данным методом, представлены в табл. 2.4. Здесь же приводятся алгоритмы моделирования исходных нормальных случайных величин с использованием датчика случайных чисел с равномерным законом распределения на интервале (О, 1) !19). Метод Неймана применим для моделирования случайных величин Ус усеченными законами распределения (значення случайных величин принадлежат ограниченному интервалу (а, Ь)), а также случайных величин, законы Распределения которых можно аппроксимировать усеченными законами. Процедура моделирования заключается в следующем.
2.8. Моделирование сигналов и паиег Таблица 2.4 Алгоритмы формирования у Плотность распределения х(у) Распределение 1/(Ь вЂ” а), а <у ь Ь Равномерное Нормальное ох+ гп )2 1 з з о l-2Ьх Рэлея у~о х1 —,у>0 о (ох, +а) +хз Райса ехр(ох+ е) уело 1 — — 1пх )ьехр( — )ьу), у > 0 Показательное а ып(2ях) Арксинусное Хи-квадрат Примечание. (е() — модифицированная функция Бесселя нулевого порялка, Г( ) — гамма-функция. 85 Логарифмически нормальное 1 — х /2яо 1 х уо' /2к 1 , 1у~ < а е:о'7' 1 (ыз1-1 -гы у е 2" ~Г(п/2) у>о х — числа, равномерно распределенные на интервале (0,1) а+ (Ь вЂ” а)х и /2)пх1 в1п2кх +го (г .— о~ 1 + О1 lп /12 (а — 2гг~ 1пх, — 2агг х~ 2 1и х, сов(2пхз ))1 ~ ~ г — числа, нор. маяьно распределенные с параметрами (0,1) 2 1 2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах Из датчика равномерно распределенных на интервале (О, 1) случайных чисел независимо выбирают пары чисел х,',х,', 1=1,2,..., из которых формируются преобразованные пары г|о =а+(Ь вЂ” а)х,' „гзо =в х~р~, (2.66) где (а, Ь) — интервал возможных значений случайной величины У с заданной плотностью вероятностью в(у), в — максимальное значение функции в(у).
В качестве реализации случайной величины у выбирают число гр1 из тех пар г,' „гзо, для которых выполняется неравенство гзр1 < в(я~'~). (2.67) Пары чисел, не удовлетворяющие неравенству (2.67), отбрасывают. Покажем, что сформированная таким образом случайная величина 1' будет имсп* заданное распределение в(у). Из формулы (2.66) следует, что случайные числа я~О~ и г~~'~ распределены равномерно на интервалах (а, Ь) и (О, в ) соответственно. Эти пары случайных чисел можно рассматривать как координаты случайных точек, лежащих внутри прямоугольника аа'Ь'Ь (рис.
2.15). Пары г1о, ез1', удовлетворяющие условию (2.67), можно рассматривать как координаты случайных точек, лежащих внутри той части прямоугольника аа'Ь'Ь, которая расположена под кривой в(у). Вероятность того, что случайная точка, находящаяся под кривой и (у), попадет в элементарную полосу с основанием (у, у + Лу), определяется произведением и(у)Лу. Поскольку попадание случайной точки в рассматриваемую элементарную полосу возможно только тогда. когда значения случайной величины У попадают в интервал (у, у+Ау), то можно утверждать, что вероятность вы- Ы полнения условия у < К < у + Лу равна в(у)Ьу.
Отсюда следует, нны что сформированная случайная н (у) величина У действительно имеет заданное распределение в(у), Рассмотрим метод кусочной аппроксимации. Пусть требуется получить случайную величину Ус плотностью вероятности в(у). Предположим, что область возможных значений величины У о л Рнс. 2.15. Диаграмма, поясняющяя метод Неймана 86 2.8. Моделирование сигналое и помех ограничена интервалом (а, Ь) (не- "(У) ограниченное распределение можно приближенно заменить ограниченным). Разобьем интервал (а, Ь) на л достаточно малых интерва- О лов (а,а „), т=0,1,2,...,л — 1, ав = а, а„= Ь, так, чтобы распределение заданной случайной вели- О чины в пределах этих интервалов аи аль-~ б=ая у можно было достаточно точно апа проксимировать каким-нибудь хи хи~ простым распределением, напри'+ + мер равномерным„трапецеидаль- О рв р, р 1 х ным и т.
д. Далее будем использовать равномерное распределение Рис. 2.16. Диаграммы, поясняющие метод кусочной аппроксимации; ность попадания случайной вели- а — аппроксимация плотности вероятности чины в интервал (п~, а +1), прн- в(у), б — пвзбиепие интервала(о, 1) ив полыни-1 терввлы чем ~ Р =1. и=в Процелура моделирования случайной величины с принятой аппрок- симацией закона распределения заключается в следующем. 1. Случайным образом с вероятностью Р выбирается интервал (а, а „).
Выбор интервала производится с помощью датчика случайных равномерно распределенных чисел Хна интервале (О, 1). Для этого интервал (О, 1) разбивается пал интервалов (х,х„„), ж=0,1,...,л — 1, хо —— О, х„=1, длиной х „- х„= Р каждый (рис. 2.16, б). Из датчика случайных равно- мерно распределенных на интервале (О, 1) чисел выбирается некоторая реа- лизация х'.
Последовательно сравнивая х' с х , определяем тот интервал (х„, х,), в который попадает х'. В основу этого процесса положен очевидный факт: вероятность попа- дания равномерно распределенной на интервале (О, 1) случайной величины Х в некоторый интервал (х „х„„) равна длине этого интервала. 2. Формируется реализация Лу случайной величины ЛУ, равномерно распределенной на интервале (О, а „вЂ” а ), с помощью другой реализации х" равномерно распределенной случайной величины Хна интервале (О, 1): ХО Х~ ХЯ 1 — + — Ч х„п х„ б 87 2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах Лу =(а„„-а )х".
3. Искомая реализация у получается по формуле у = а + 11у„= а„+ (а„„вЂ” а„) х", Метод кусочной аппроксимации широко используется для формирования дискретных случайных величин и случайных событий. Рассмотрим формирование последовательности чисел, подчиняющихся биномиальному закону распределения вероятностей. К биномиальному закону приводит задача повторения опытов.
Если вероятность некоторого события А равна р, то вероятность того, что событие А при л опытах появится к раз, определяется следующей формулой: л! где С„= ', к=0,1,...,л. (л — /с)!И Для наглядности изложения рассмотрим биномиальный закон Рз для р = 0,5 ил=4(рис. 2.17,а). Процедура моделирования числовой последовательности с биномиальным законом распределения 0,375 вероятностей состоит в следующем. Интервал (О, 1) разбивается 0,300 на подынтервалы, длина которых 0,250 равна Р1 (рис, 2.17, б).
Генериру- 0,200 ются равномерно распределенные на интервале (О, 1) случайные числа хь При попадании числа х; в lс-й интервал, т. е, при выполнении неравенства 0,100 0,0б25 0 1 2 3 к ЯР)<х, ч ~~ Р, )=О )=О Ро Рс Рз Рз Рс 0 1 х б Рне. 2.17. Диаграммы, поясняющие алгоритм моделирования случайной величины с бнномнальным законом распределения; а — бнномнальный закон Ср = 0,5, л = 4); б— разбиение интервала (О, 1) на полынтервалы случайному числу у приписывается значение к. Дадим сравнительную характеристику методов моделирования случайных величин. Для достижения высокой точности воспроизведения законов распределения случайных ве- 28.
Моделирование сигналов и помех личин целесообразно использовать алгоритмы, не обладающие методической погрешностью. К ним относятся алгоритмы, полученные методом нелинейного преобразования, обратного функции распределения, и ряд алгоритмов на основе преобразования нормально распределенных случайных чисел. Погрешностью этих алгоритмов моделирования можно пренебречь, поскольку она определяется лишь погрешностью выполнения на ЭВМ необходимых нелинейных преобразований и отклонением закона распределения исходных случайных чисел от равномерного (нормального) закона распределения. Другим преимуществом указанных алгоритмов является простота подготовительной работы, так как преобразования равномерного закона (или нормального) в требуемый описываются аналитическими зависимостями.
Такого вида алгоритмы позволяют легко изменять форму распределения в процессе моделирования случайных величин, закон распределения которых зависит от параметров. Основным недостатком этих алгоритмов является сравнительно низкое быстродействие, поскольку осуществление на ЭВМ нелинейных преобразований часто требует довольно большого количества элементарных операций. В задачах, не предъявляющих высокие требования к точности распределения формируемых случайных величин, для сокращения количества элементарных операций рекомендуется использовать более экономные приближенные методы, например метод кусочной аппроксимации. 2.8.2.
Моделирование случайных векторов ®(У~) = ~й(У1 Уз)4з. (2.68) Используя описанные выше способы моделирования случайных величин с заданным законом распределения, сформируем реализацию у,' случайной величины у; с плотностью вероятности (2.68). Затем найдем условное распределение случайной величины У2. 89 Существуют два основных метода моделирования случайных векторов с заданной плотностью распределения вероятностей. 1. Метод условных распределений, Алгоритм основан на рекуррентном вычислении условных плотностей вероятностей для координат случайного вектора. Рассмотрим сначала двумерный случай, когда вектор имеет две координаты У~ и Хъ Одномерную плотность вероятности величины 1; можно представить через двумерную плотность вероятности величин У~ и Ух следующим образом: 2.
Сигналы и помехи в радиотехнических системах !о1У21У! ) и 1У! > У2)' и 1У! )' (2.69) Произведем выборку у!О случайной величины У; с плотностью вероятности н (у2 ~у!0). Полученная таким образом последовательность пар чисел у!!), У2!О, ! = 1, 2, ..., будет иметь совместную плотность вероятности и (у„у2). !о(У! У2) = сУ! ехР( У У2) О < У < 2 У2 > 0 (2.70) По выражению (2.68) находим одномерную плотность вероятности величины У!! !о(у!) = 1!о(у! У2) ау2 = )су! ехр(-у!У2) 42 = с, 0 ~ у, ч 2. о о Находим значение с из условия нормировки 2 2 ~!о(у!)сф! = )са!у! =2с=1, о о откуда с = 0,5 и !о(у!) = 0,5, 0 < у, < 2, Из табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
