Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2003) (1151848), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Соответственно, число различных М-последовательностей памяти и равно числу примитивных многочленов степени п, которое определяется как Д = д(2" — 1)/и, где р(1У) — функция Эйлера из теории чисел, равная количеству целых чисел, включая единицу, меньших числа Ю и взаимно простых с ним. Приведем значения Д для некоторых и: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1О 11 12 13 14 15 1 1 2 2 6 6 18 16 48 60 176 144 630 756 1800 В работе 1141 даны все примитивные многочлены степени и < !6, а также примитивные многочлены с минимальным числом ненулевых коэффициентов степени 17 4 и ~ 34.
В табл. 2.1 приведены примитивные много- члены по одному для и = 3,4,...,10. Таблица 21 Укажем основные структурные свойства М-последовательностей 112, 15 — 17). 1. Период М-последовательности равен 2" — 1, где и — степень ее характеристического многочлена. 2. М-последовательность имеет наибольший период среди ЛРП с равными степенями их характеристических многочленов. 3. В М-последовательности с периодом 2" — 1 содержатся все и-значиые двоичные комбинации, кроме комбинаций из одних нулей, причем каждая и -значная комбинация встречается один раз.
4. В М-последовательности число единичных символов равно 2" ', а число нулей равно 2 ' — 1, т. е, на единицу меньше. 5. Если М-последовательность (а;) сложить по модулю два с последовательностью (ане), образованной из (а ) циклическим сдвигом на 7с символов, то получим исходную М-последовательность, но с некоторым другим циклическим сдвигом.
64 2.6. Сложные сигналы б. Пусть (а) — М-последовательность памяти п, а Ы вЂ” любое положительное число. Тогда последовательность (агя), полученная из (а) выборкой ей'-х членов, 1=0, 1,..., имеет период, равный (2" — 1)/(2" — 1,И), где запись (2" — 1, с1) означает наибольший общий делитель чисел 2" — 1 и Ы. 7. Если (а;) — М-последовательность памяти и, а Ы вЂ” любое из чисел 1, 2, 4,..., 2" -1, то (а,.), 1 = 0,1,..., является исходной М-последователь- пастью с точностью до циклического сдвига. 8. Пусть (а ) — М-последовательность памяти п. Тогда существует ее циклический сдвиг (Ь,) =(а,, ) такой, что (Ьи) =(Ь,), где т — некоторое целое число. М-последовательности, инвариантные относительно операции, заключающейся в выборке 21-х членов последовательности, 1 = О, 1, 2,..., п — 1, называются характеристическими М-последоеательностями.
Очевидно, что для характеристических М-последовательностей равенство (Ь,) = (Ь,) остается справедливым для всех И = 2", где /е = 1, 2,..., и — 1. 9, Если (а,) — характеристическая М-последовательность, то ее производящая функция имеет вид ~(хДх)) ЮДх))/Дх) для четных степеней Дх), Й(х) = (х2"(х)) /Дх) для нечетных степеней Дх). В качестве примера в табл, 2.2 представлены производящие функции двух характеристических М-последовательностей, а также сами последовательности для п = 5.
Таблица 2.2 10. Пусть (а ) — М-последовательность с характеристическим многочленомЯх). Тогда последовательности (ам) являются М-последовательностями, если (2" — 1, е() = 1. Зто свойство позволяет по одной М-последовательности построить все М-последовательности того же периода. 11.
Пусть (а ) — М-последовательность с характеристическим многочленом Ях) степени и и с( = е~, 2' (пкх1(2" — 1)), пРичем 4 и е(з — числа, вза- 65 2. Сигналы и помехи в радиотехнических системах имно простые с 2" — 1. Тогда последовательности (аб,.~ и ~аб„.~ будут совпадать с точностью до циклического сдвига. 12. Пусть (а ) — М-последовательность памяти и, причем и — четное число. Тогда последовательность (аее), 1=0, 1,..., где И=2"' +1, является М-последовательностью памяти и/2. Рассмотрим корреляционные свойства М-последовательностей.
Найдем сначала периодическую корреляционную функцию (ПКФ) Л',"(Ус)= ) а,Ь,,ы Ус=0,1,..., (2.49) геа предварительно отметив, что далее все результаты приводятся для последовательностей, которые получаются из последовательностей, состоящих из символов 1 и О, заменой 1 на -1, а 0 на 1. Тогда с учетом соотношения (2.49) и свойств 4, 5 М-последовательностей получаем ) Ф, к=О(шоб 1х'), (-1, 7с ~ 0 (пкх1 1е'), где У вЂ” период М-последовательности.
Таким образом, ПКФ М-последовательности оказалась двухуровневой со значением боковых лепестков, равным -1. На рис. 2.9, б приведена ПКФ М-сигнала (рис. 2.9, а), представляющего собой последовательность видеоимпульсов, длительность которых равна т„а ой) хо 1 б Рис.
2.9. М-снгнал (а) н его ПФК (6) 66 2.б. Сложные сигналы полярность определяется М-последовательностью 111100010011010 (символу 1 соответствует видеоимпульс отрицательной полярности, а символу 0— видеоимпульс положительной полярности). На практике используются сигналы, получаемые фазовой манипуляцией высокочастотного колебания по закону М-последовательности.
У таких сигналов огибающие корреляционных функций совпадают с корреляционными функциями соответствующих М-сигналов. Периодическая взаимокорреляционная функция (ПВКФ) М-последовательностей (а,) и (Ь,) с периодами ЬС, и ЬСз соответственно имеет вид нок(но нд-~ Я,"»(/с) = Ч~ а,Ь„», на т. е.
является периодической функцией с периодом, равным наименьшему общему кратному чисел )»с, и Ь7, (НОК (л1, лс ) ). Периодическая взаимокоррелирующая функция достаточно просто определяется только для М-последовательностей с взаимно простыми периодами.
Можно показать, что для них Я,"~,(/с) =1 при всех 7с. В других случаях ПВКФ не имеет общих закономерностей в своем поведении. На практике часто достаточно знать лишь максимальный уровень взаимной корреляции, а не детальное поведение ПВКФ. Укажем три подмножества М-последовательностей с определенным уровнем взаимной корреляции [16]. 1. Пусть (а,.) — некоторая характеристическая М-последовательность памяти и, где и — нечетное число.
Образуем из нее М-последовательность (Ь,) =(анз); здесь (2.50) Ы=2'+1, (сИ,и) =1. Тогда ПВКФ последовательностей (а,) и (Ь,) определяется как 2. Пусть (а,) — характеристическая М-последовательность. Образуем М-последовательность (Ь;) = (а„,); здесь 2~"'1 +1, если и — нечетное число; ос= 2»"' )' +1, если и — четное число, и~О (шос) 4). 67 2. Сигнавы и помехи в радиотехнических системах я,ь( ) О -1 Рис.
2.10. ПВКФ сигналов, соответствующих М-последовательностям Тогда ПВКФ удовлетворяет неравенству 2 ' +1, если и — нечетное число, (нн) 2 л ь(к) 2(н' )' +1, если п — четное число. 3. Пусть (а,) — характеристическая М-последовательность памяти и, причем пее0 (шоб 4)(7).
Образуем последовательность (Ь,)=(а,.), где (л+2)1~ с(=2("'2) — 1. Тогда ПВКФ последовательностей (а,) и (Ь,) принимают только следующие четыре значения: 2("' )' — 1, 2" — 1, -1, — (2"' +1). Таким образом, ~Я,"ь(/с)~ < 2("' ) — 1. На рис. 2.10 изображена ПВКФ сигналов, соответствующих М-последовательностям Сформулированные правила позволяют выбирать пары М-последовательностей с гарантированным уровнем взаимной корреляции, что имеет большое практическое значение.
Так, для и = 13 существует 630 М-последовательностей. Среди них имеются пары, для которых значения ПВКФ достигают 703. Однако согласно формуле (2.51) имеются также пары с максимальным значением ПВКФ, равным 129. В общем случае максимальный уровень боковых лепестков ПВКФ М-последовательностей одинакового периода лежит в пределах (1,5...6) ~~Ф (17). 2.б. Сложные сигналы Непериодическая корреляционная функция (НКФ) М-последовательности имеет вид Я,"(/~)= ~ а,а,,л.
Одной из ее характеристик является также максимальный уровень боковых лепестков. Для различных М-последовательностей он оказывается различным. Последовательности, для которых наибольший уровень боковых лепестков НКФ оказывается наименьшим, называются минимаксными. Для таких сигналов максимальное значение Р,"(1с), 7сы0, несколько меньше /Ф и стремится к этой величине с ростом Ф. Непериодическая корреляционная функция обладает следующими двумя свойствами: Непериодическая взаимокорреляционная функция (НВКФ) М-последовательностей не подчиняется каким-либо общим закономерностям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
