Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2003) (1151848), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Теорему Котельникова можно обобщить и на случайные сигналы 191. При этом она формулируется следующим образом: для случайного процесса с односторонней спектральной плотностью мощности, удовлетворяющей условию 0,(2)=0 при Т>Р' „, ряд зш(2кР' (г — 1Т,)) ) Х()Т ) 2кР',„(х — 1Т, ) 49 где Х(1Т,) — случайные величины, представляющие отсчеты случайного процесса, взятые через интервалы времени Т, =1/(2Р' „), сходится в среднеквадратическом смысле (см. (2.22)) к процессу Х(г). Теорема Котельникова справедлива и для идеализированных условий, среди которых следует отметить ограниченность спектра по частоте и бесконечное время наблюдения.
Все реальные сигналы конечны по времени и имеют неограниченный по частоте спектр. Использование модели с ограниченным спектром и конечное время наблюдения приводит к погрешности при восстановлении непрерывного сигнала. Тем не менее, теорема Котельникова имеет большое практическое значение. Спектр сигнала так или иначе ограничивается (например, при пе- 2. Сигналы и лемехи е радиотехнических системах редаче непрерывного сигнала спектр 6(Д целесообразно ограничить частотой Г, при которой б(Я < Ф(Д, где Ф(Я вЂ” спектральная плотность мощности шума на выходе канала).
В этом случае по теореме Котельникова можно оценить частоту дискретизации, которую обычно определяют по приближенной формуле 1101 Р' т2ХР' где Х вЂ” некоторый коэффициент, выбираемый из интервала 1,25 — 2,5. Ограничение спектра сигнала частотой г' посредством фильтрации приводит к погрешности восстановления, относительный средний квадрат которой определяется формулой 0 82 ~' О(г)г ~у~ ц о (2.28) 'л Т ~х' * Т (2.29) т. е.
она равна с точностью до несущественного множителя 17Т, сумме бесконечного числа «копий» спектра исходного сигнала (рис. 2.2). Эти копии располагаются на оси частот через равные промежутки 2х7Т,. При восстановлении сообщения идеальным фильтром нижних частот с х х полосой пропускания — < оэ < — возникает ошибка, относительный сред- Т„ Т, ний квадрат которой с учетом выражения (2.29) определяется соотношением 2 1 „,„.„,. 7Х .~(.-'™Д~" 82 Д) л/гд ' лес (2.30) ОТ.ф ~ф,(алоэ)~ Ноэ ~)Я,(уоэ)~~ с)оэ 10 т.
е. равен отношению мощности отфильтрованной части спектра к средней мощности исходного сигнала. При отсугствии предварительной фильтрации сигнала в процессе его восстановления ошибка дискретизации возрастает. Пусть Я„(7оэ) — спектральная плотность сигнала х(2). Тогда спектральная плотность дискрегизированного сигнала х„(2) [7] имеет вид 2.4, Дискретизация непрерывных сигнаяав -я'тд 0 я! тд 2Ф тд Рис. 2.2.
Спектральная плотность дискретизированного сигнала Первое слагаемое в выражении (2.30) характеризует ошибку, обусловленную тем, что составляющие сигнала х(с) с частотами ~со~ > п(Т, не попадают в полосу пропускания фильтра, и совпадает с (2.28). Второе слагаемое в выражении (2.30) характеризует ошибку, обусловленную попаданием в полосу пропускания фильтра составляющих боковых лепестков Я,[Ясв — 2кн/Т„)], и =+1,+2,..., спектра сигнала хд(т).
Если ограничиться влиянием только двух боковых лепестков при и =+1, то нетрудно видеть, что второе слагаемое также совпадает по значению с (2.28). Таким образом, б~, =25т, и, следовательно, предварительная фильтрация сигнала с целью ограничения его спектра целесообразна. Заметим, что обеспечить выполнение условия О, (т ) = 0 прн 1 > г' фильтрацией физически невозможно. Сигнал на выходе любого реализуемого фильтра будет содержать спектральные составляющие на частотах т > г' . Поэтому ошибка (2.28) является минимально возможной.
В общем случае восстановление (интерполяция) непрерывного сигнала х(т) по его отсчетам выполняется в соответствии с формулой (2.26). При этом в качестве базисных функций обычно используют алгебраические полиномы. В частности, на практике применяют ступенчатую и линейную интерполяции. Для ступенчатой интерполяции (рис. 2.3, а) используют базисные функции ср,(т)=1, ср,(т)=0, 1=2,..., призтом х(т)=х(т,), т, < т < т, + Т. Для линейной интерполяции (рис. 2.3, б) используют базисные функции срс(~)=1-т/Тд, срз(т)=т~Т„ср,(т)=0д с=3,4,..., при этом х(т)=х(т,)+ +'(х(тна)-х(т,)')т~Т„т, < т < т,+ т,= с„ь т=с-т,.
Относительный средний квадрат погрешности восстановления сигнала зависит от нормированной корреляционной функции т„(т) исходного процесса Х(т), способа интерполяции и частоты дискретизации. В работе (! 1) 51 2, Сигиаты и помехи е радиотехнических системах «(г) х(г) 6+1 и+т ! О л 6~! и 2 е в Рис. 2.3. Диаграммы, иллюстрируюшие ступенчатую (а) и линейную (б) интерполяции показано, что для любых стационарных процессов с нулевым математиче- ским ожиданием при ступенчатой интерполяции погрешность восстановле- ния определяется выражением ! г з 1- — ) г„(т)с1т (2.32) при линейной интерполяции — формулой 514 "е4'е б = — + — г (Т )- — ~ г (т)Ыт+ —, ~ тг,(т)сИ.
3 3' ' Т ' Т хе х О (2.33) 52 Если задана погрешность интерполяции, формулы (2.32) и (2.33) используют для нахождения частоты дискретизации. Расчеты показывают, что частота с, существенно превышает частоту дискретизации по Котельникову 1ак, для сигнала с прямоугольной спектральной плотностью мощности, ограниченной частотой г „, отношение Р'„/(2Р' „) равно л/(бб) при ступенчатой интерполяции и л/ч600бе при линейной (1Ц. При обобщенном дискретном предспюв.теиии дискретизация сигнала заключается в следующем: интервал Т, разбивается на подынтервалы Т„, ) = 1,2,..., на которых производится анализ сигнала.
В результате обработки сигнала в соответствии с (2,25) в конце каждого тго подынтервала находятся координаты с,,с,,...,с, . Для регулярных методов представления значения Т,, и М независятот индекса /,т. е. Т,, =Т„Ф, = Ф. 2.4. Дискретизация непрерывных сигналов г,г и 12 М ~~Х(2) — )„с,.ц22(!)~ а!2 о !чп (2.34) при любом фиксированном Ф будет минимальным, если весовые функции цз, (2), ! = 1, 2,..., Ж, совпадают с базисными функциями ср,.
(!), ! = 1, 2,..., )ч', а базисные функции удовлетворяют однородному интегральному уравне- нию Фредгольма второго рода: г. о,'ср,(У) = — ) 21,(б !')~(~')Й', ко (2.35) где <р2(!) — собственные функции, и! — собственные значения ядра 2 А„(6 Т) уравнения. Собственные функции !р2(!), !'=1,2,..., А!, являются ортогональными и определяются уравнением с точностью до постоянного множителя, который можно выбрать таким, чтобы функции <р,(г), ! =1,2,..., А!, были ортонормированными. При этом координаты с; в разложении (2.26) случайного процесса оказываются некоррелированными, а для гауссовского случайною 53 Решая рассматриваемую задачу, важно правильно выбрать длительность подыитервапа анализа Т,. При этом необходимо иметь в виду, что с увеличением длительности этого подынтервала растет число координат А', необходимых для представления сигнала. Соответственно, усложняется аппаратура, увеличивается ее объем, масса и стоимость.
В связи с этим значения Т, не должны быть слишком большими. На практике для непрерывного сигнала Х(Г) часто вполне приемлема длительность интервала Т, = (5...6) т„, где т„— интервал. корреляции процесса Х(!) (11). Другой важной задачей является выбор весовых и координатных функций. Вызывают интерес такие операторы А и А', которые обеспечивают минимальную погрешность б при заданном числе координат А! или минимальное число координат О при заданной погрешности Ь . 2 Пусть Х(г) — случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и непрерывной корреляционной функцией Я(2, Т). Тогда можно показать (8), что при представлении процесса Х(!) рядом (2.26) математическое ожидание интегральной среднеквадратической ошибки 2.
Сигналы и намели в радиотехнических системах процесса — статистически независимыми. Кроме того, при М(с,) = О дисперсия 27, координаты с, равна и,. г Если базисные функции ортонормированные, то математическое ожидание интегральной среднеквадратической ошибки (2.34), найденное на интервале представления Т„, имеет вид ег = — М /~Х(г) —,)„с,ср,(г)~ с!! Т, о г, = — [М[Х~(г)~с(г — — [ у М(с,Х(г)1!РЯй+ «о «о=! Та и Ф Ф + — ~~~~',М~с,с !1!Р,Я!р,(!)с1!=хг„— ~ ь),. «ох=! =! ! (2.36) !р,(г) =,~ (-1)~С~~Ь(г — г, + 1гТ,), Т, = 1, 2, ..., ! = 1, 2, ..., (2.37) л-о где Сс~ — число сочетаний из Ь по /с[11].
Как следует из (2.25), координа- тами с, являются конечные разности А-го порядка 54 Выражение (2.36) позволяет находить число координат Ф, при котором обеспечивается заданная погрешность дискретного представления сигнала. Разложение случайного процесса с непрерывной корреляционной функцией в ряд (2.26), в котором базисные функции являются собственными функциями уравнения (2,35), называется разложением Карунена — Лоэва. Хотя зто разложение обеспечивает минимальное число координат Ф при заданной погрешности дискретного представления случайного процесса е, его применение ограничено.
Это обусловлено следующими причинами: корреляционная функция случайного процесса не всегда оказывается известной, процедура нахождения решения уравнения (2.35) в общем случае неизвестна, техническая реализация устройств разложения сигнала, за исключением случая, когда функции <р,(г) гармонические, сложная. Поэтому на практике в качестве базисных часто используют ортогонапьные функции, при которых погрешность представления близка к минимальной при использовании сравнительно простой аппаратуры. К ним относятся тригонометрические функции, полиномы Чебышева и Лежандра, функции Уолша и др. [7, 12). При дискретном разнастном представлении сигнала в качестве весовых функций !р,(г) используют линейные комбинации дельта-функций: 2.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
