Васин В.И. Информационные технологии в радиотехнических системах. Под ред. И.Б.Федорова (2003) (1151848), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Поэтому алгоритм обнаружения согласно формуле (3.46) сводится к вычислению отношения правдоподобия 2в ~ и (и~Н„ср)се(ср)с(ср 1(и) = се(и)НО) (3.74) н сравнению его с порогом 1е. При записи выражения (3.74) учитывалось, что распределение се(и ~Н ) не содержит неизвестных параметров. Отношение 1(и) можно найти следуюшим образом: 1(и) = ) 1(и)ср)и (ср)с(ср, о (3.75) где 1(и!ср) — условное отношение правдоподобия (отношение правдоподобия при условии, что начальная фаза равна ср). Оно совпадает с отношением правдоподобия для детерминированного сигнала е(с, ср), где ср — фиксированная величина. С учетом выражения (3.54) имеем Е 2 е = ехр — + — ~ и(2)ясов(соог+ ср)асс, ~о ~о о (3.76) где Я вЂ” амплитуда.
Подставляя выражения (3.73) и (3.76) в формулу (3 75), получаем 144 где з(с,ср) — полезный сигнал, у которого все параметры, за исключением начальной фазы ср, известны. Начальная фаза ср рассматривается как случайная величина с известным распределением. При отсутствии информации об априорном распределении начальной фазы вполне естественно считать это распределение равномерным: 3.3. Обнаружение сигналов ( Я'1 2н ( 2 т 11 ! (и) =ехр — ~ ) ехр — ~иЯЯсоз(вот+ р)й~ — сир. (3.77) 1 М,3, ~2л Преобразуем сначала корреляционный интеграл: 2 т 2 т з = — ) иЯЯ соя(вот+ тр) й = — ') иЯЯ(соя(вот) соз р — з(п(вфзш ф)й = ""о о )9о о т = — совр ~и(т 1о соя(в 1)й— "о о — — япср~и(~)Яяп(вот)й= — (г, созср — г, ялмар), )11о о и'о т т где е, = ~и(г)Ясов(во~)й, гз — — ~и(г)аяп(вот)й.
о о Введем обозначение г. = ~(е, + ез', тогда 2 е= — 2~ — сезар — — яп(р . Ф~ ~У У Отношения г~/У и зз/У можно рассматривать соответственно как соя О и яп О. Поэтому 22 22 е = — (созОсоз<р — яшОя(п<р) = — соя(О+ у). (3.78) ~о и'о Подставляя выражение (3.78) в формулу (3.77), находим (3.79) Интеграл в правой части выражения (3.79) является модифицированной функцией Бесселя нулевого порядка с аргументом 22/ Юо.
Таким образом, (3,80) 1(и) = ехр — — 1о —, и алгоритм работы оптимального обнаружителя сигнала со случайной начальной фазой имеет вил 145 3. Основы нзеории обнаружения и различения сигналов и, 1(и) =ехр — — 1 — ~ 1е или 1п1 — ~ ~~ 1п1 + — =г . М и Ю О о (3.81) Учитывая, что функция 1 (У) монотонна, алгоритм (3.81) можно за- менить равносильным; и, 2~(С, ио (3.82) где порог С выбирается из обеспечения требуемой вероятности ложной тревоги г„. Таким образом, существенной операцией, которую необходимо выполнить при решении задачи обнаружения сигнала со случайной начальной фазой, является вычисление величины Г2 2 У =чзэс, +22 = (3.83) Оптимальный обнаружитель (рис.
3.9), построенный в соответствии с формулами (3.82) и (3.83), представляет собой схему с двумя квадратурными каналами, в каждом из которых осуществляются операции умножения, интегрирования и возведения в квадрат. Опорные напряжения в каналах сдвинуты по фазе относительно друг друга на 90'. Наличие двух квадратурных каналов позволяет получить результат обработки 2, не зависящий от истинного значения начальной фазы. Учитывая, что величина 2 является значением огибающей сигнала на Рнс. 3.9. Структурная схема корреляционного обнаружнтеля сигнала со случайной начальной фазой 14б 3.3.
Обнаружение сигналов 2 ( 2'') и(2 ~Нв) = — ехр~- — ~, и(2~Н,) = — ехр — 1в (3.84) (3.85) где и = Е Нв/2 — дисперсия шума на выходе согласованного фильтра. 2 На практике удобно пользоваться распределениями нормированной величины и = 2/и. При этом „г') иЯНв) = иехр~- — ~, н(и(Н,) = иехр — 1в (3.86) (3.87) Используя распределения (3.86) и (3.87), найдем показатели качества обнаружения: р — ") и,яН,)<Ь = ) иехр( — »'/2)а~и = ехр( — С„/2), с„ с„ а= 1 ~.~н,~».= 1.
р(- ')н(,/ — )»". н (3.88) (3.89) где С„= С/о — нормированный порог. 147 выходе приемника, вычисляющего кор- т реляционный интеграл ) и(т)в (б»Р)»й~, о возможна другая схема реализации Рис. 3.10. Структурнаа схема фнльтоптимального обнаружителя (рис. 3.10) Рового обнаРУжителЯ сигнала со слуОна включает согласованный фильтр (СФ), детектор огибающей (ДО) и пороговое устройство (ПУ). Решение принимается в момент т = Т.
Определим показатели качества обнаружения. Для этого надо знать законы распределения н»ЯНв) и и (2~Н,). Поскольку колебание на выходе согласованного фильтра представляет собой узкополосный гауссовский процесс, его огибающая будет распределена по закону Рэлея при гипотезе Нд и по закону Райса при альтернативе Нь Соответственно, распределения величины 2 при гипотезах Нв и Н~ будут определяться формулами 3. Основы теории обнаружения и различения сигналов 3.3.4. Обнаружение сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой на фоне белого шума Пусть обнаруживаемый сигнал имеет вид в(1, а, д) = асов(азот — д), (3.90) где а и ~р — случайные амплитуда и начальная фаза. На практике обычно величины а и д статистически независимы и имеют соответственно рэлеев- ское и равномерное распределения: а ( а 1 н(а)= —,ехр — —,, а ~ 0; о, ~ 2о~ 1 и((р) = —, 0 ( ф < 2я.
2я (3.91) Для рассматриваемого случая отношение правдоподобия (3.46) можно представить выражением юзе 1(и) = ) ) 1(и1а, ср)зе(а)и (ср)Жри(а. (3.92) оо Условное отношение правдоподобия 1(и1а,д) находим по формуле (3.54) при замене в(Г) на в(1, а, д): ~2т)т еч~ч~= Р~ — 1чо*о..ые=1'о, ч)е~ 1Уо о р1о о Интегрируя правую часть выражения (3.92) по переменной ф, находим отношение правдоподобия 1 (и) = )техр~ — — '~1о '( — )ь(а) '1а. (3.93) 148 Интеграл (3.89) нельзя выразить через элементарные функции. Поэтому вычисление вероятности правильного обнаружения производится численными методами. Используя выражения (3.88) и (3.89), можно найти характеристики обнаружения сигнала (на рис.
3.7 они изображены штриховыми линиями). Сравнение их с характеристиками обнаружения детерминированного сигнала показывает, что незнание начальной фазы приводит к ухудшению показателей качества обнаружения, т. е. требует несколько большее пороговое отношение сигнал — шум.
3.3. Обииружение сигналов где Е1 — энергия полезного сигнала при а =1, У, = У!'а — величина, определяемая формулой (3.83) при Я = 1 (значение огибающей сигнала на выходе оптимального приемника, настроенного на прием сигнала с амплитудой, равной 1). Подставляя в формулу (3.93) выражение (3.91) и учитывая, что г,)г ') )хехр( — ах )1в(13х)с(х = — ехр —, 2а ~4а! (3.94) окончательно получаем 1Чо ~ 2а,'2, !(и) = ехр Н,+Е ~Н,(Н,~Е) ' (3.95) где Е=М(а Е,~ =Е1М(а ~ =Е, 2аг (3.9б) У, ~~Си (3.97) Из выражения (3.97) следует, что существенной операцией, которую необходимо выполнить при решении задачи обнаружения сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой, является вычисление огибающей сигнала на выходе оптимального приемника, настроенного на прием сигнала с амплитудой, равной 1.
Структурные схемы обнаружителя будут подобны схемам, изображенным на рис. 3,9 и 3.10. Оценим показатели качества обнаружителя. При гипотезе Н, распределение величины 21 будет рэлеевским: ж(У, ~Нв ) = — „ехр —, 2, ( г,г') а, ~ 2а~ г где а, = Е, Фв/2. Вероятность ложной тревоги находится следующим образом: Г = ) и(21)Нв)е!2, = ) — „' ехр — — '„Ж;, = ехр — — 1„~. (3.98) 149 — средняя энергия сигнала.
Поскольку отношение правдоподобия ! (и) является монотонной функцией Уь алгоритм работы оптимального обнаружителя можно представить в виде неравенств 3. Основы теории обнаружения и различения сигналов Ю те(2~ !Н~ ) = ~те(Л~ ~Н„а)те(а)йа, о (3.99) где те(2,1Н,,а)= — 'ехр —, + Е, 1 У,аЕ~ 2У, У,~+а Е, 22,а (3.100) Подставляя выражения (3.91) и (3.100) в формулу (3.99) и используя значение интеграла (3.94), находим 22, ( 2,' Вероятность правильного обнаружения определяется выражением Р= ~те(2,)Н,)сЫ, = ехр~ — ', .
(3.102) с Л~оЕ,(1+2о, Е1/Но)) Используя выражения (3.98) и (3.102), можно найти характеристики обнаружения сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой. Сравнение их с характеристиками обнаружения нефлуктуирующего радиосигнала необходимо проводить при равенстве средней энергии флуктуирующего сигнала и энергии нефлуктуирующего сигнала. Если принять амплитудный коэффициент нефлуктунрующего сигнала а равным 1, то, как видно из формулы (3.96), необходимо положить о~ = 1/2. При этом с учетом выражений (3.98) и (3.102) имеем р р ~'0+в ~но) лт (3.103) Зависимость (3,103) показана на рис.
3.7 штрих-пунктирными линиями. Из характеристик, изображенных на рис. 3.7, видно, что для обнаружения сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой требуется значительно большее пороговое отношение сигнал — шум (при Р ~ 0,8) по сравнению с обнаружением сигнала с известной амплитудой. 150 Для определения вероятности правильного обнаружения необходимо знать распределение 3.3.
Обнаружение сигналов Таким образом, незнание амплитуды и начальной фазы сигнала приводит к существенному ухудшению показателей качества обнаружения. Для обеспечения заданных показателей необходимо увеличить энергию сигнала. Заметим, что в ряде случаев в схемах рассмотренных обнаружителей вместо согласованных фильтров применяют более простые так называемые квазиолтимаяьные фильтры, у которых полоса пропускания выбирается из условия достижения как можно большего отношения сигнал — шум на выходе. При этом, конечно, помехоустойчивость обнаружителей уменьшается, так как квазиоптимальные фильтры лишь частично согласованы с полезным сигналом, Однако при использовании простых сигналов, например одиночных радиоимпульсов без внугриимпульсной частотной или фазовой модуляции, это уменьшение незначительно (энергетические потери ие превышают 17 вУч).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
