Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 111
Текст из файла (страница 111)
Например, шумы наблюдения и (или) сообщения могут быть негауссовскими (некоррелированными или коррелированнымн) с неизвестными спектральными плотностями, модель полезного сообщения может не принадлежать к рассматриваемому классу и др. В подобных случаях следует обращаться к методам синтеза робастных фильтров Калмана. 13.3. О РОБАСТНЫХ МЕТОДАХ ОБРАБОТКИ Идейной основой робастного подхода к синтезу устройств обработки является использование минимаксного критерия типа (13.! .1), т. е.
выбора для синтеза таких моделей входных воздействий, при которых синтезированное оптимальное для нее устройство обеспечивает наименьшее значение риска при наихудших (в классе допустимых) воздействиях на ее вход. В 8 13.! в качестве наиболее простого рассматривался случай параметрической неопределенности входных воздействий (сигнала и шума), когда неопределенность сводится к неизвестности значения некоторого параметра !х или совокупности таких параметров. Хотя любая неопределенность в принципе сколь угодно точно может быть описана некоторой параметрической неопределенностью, в робастных методах часто применяется непарометричеенал неонрег)еленноеть. Из-за разнообразия методов описания неопределенности невозможно указать единую универсальную процедуру применения этого подхода для получения робастных алгоритмов применительно к различным задачам. Поэтому приведем результаты рассмотрения нескольких характерных примеров, позволяющих составить представление как о характере задач, так и о робастных методах их решения.
Материал по робастным оптимальным фильтрам изложен в 8 4.4, п. 3. Расмотрим полезную задачу, связанную с предыдущим примером 13.2.1. Пример 13.3.1. Рвбастиый фильтр Калмаиа. Пусть в задаче линейной фильтрации матрица априорных дисперсий Й(0) и матрицы шумов Х,(!) и Хе(!) известны не точно, а заключены в интервалах К,„<К(0)<Й „, Хл ы<Хл(!)< < Х, „„, Х... < Х,(!) < Х„„Требуется получить фильтр Калмана еж, обеспечивающий минимальные ошибки оценки ь(!) при любых Й(0), Хл(!) и Хэе(!) из указанных диапазонов неопределенности, т.
е. У =лшп ' шах М(е'к)=пап ' шах и л!К,(!)), й!Е), йг, КЗ й!е), н,, я. где гг,'К,) — след матрицы К,, Для заданных К(0), Хл(!) и Х,(!) структура фильтра Калмана определяется однозначно. Определение фильтра Р эквивалентно поиску условий К(0), Х„(!) 586 и Х,(!) для синтеза фильтра.
Введем обозначения а*=(К(0), Х,(!), Хе(!)) и а=(Й(0), Хл(!), Хс(!)). Тогда по аналогии с (13.1.1.) имеем а'=гпш ' пшх)г К,(а ! а'). (13.3.!) Согласно результату. привеленному в 6!3.2, фильтр, синтезированный для условий ач при входном возлсйстяии с лучшими параметрами а<а* (т. е. Й(0)<К(0), Хл(!)<Хл(!), Хе(!)<Хс(!)), имеет меныпую дисперсию ошибки К,(а)ач), чем при входнол! воздействии с параметрами а'.
К, (а ! а*) < К, (и* ! а*), а < а*. Кроме того, при входном воздействии с худ!ними параметрами дисперсия ошибки больше прсдполагавшейсж К,(а(а*)>К,(а*) а'), а>а*. Этот результат физически очевиден. 1)апрнмер, если Х„(!)>Хе(!), то это значит, что к предполагавшемуся шуму наблюдения прибавляется лополвительный БГП1 с матрицей ЛХ«(!)=Хе(!) — Хс(!)>О. Лналогл!чное пояснение относится к Хл(!) и К(0). Отсюда также следует, что для всех и' <а справедливо неравенство К.(а ! ач) > ВК,(ал) а*). ПОСКОЛЬКУ дваПаЗОН ИЗМЕНЕНИЯ а ОГраНПЧЕН а<а,„=(К,„, Х „), то минимум по а* достигается на границе диапазона а*=а,„и рааса пйп плах и К,(а ! а') = !г К, (а„,„, ! а„„„), Таким образом, решением задачи синтеза робастного алгоритма линейной фильтрации прн неопрслеленных порождающем шуме, шуме наблюдения и ап- риорной дисперсии процесса является фнльтр Калмана, рассчитанный на наиболь- шие значения Хл(!)=Х,„„,.
Х (!)=Х .„„, К(0)=К,„. Пример 13.3.2. О робастноч обнаружении сигнала. При обнаружении детер- минированного сигнала на фоне шума по независимой выборке Ц опплмальное правило (6.5.26) сводится к сравнению о!ношения правдоподобия )(ч«1) нли его логарифма с некоторым порогом н, !и!(01)= Е ь(с) <> )ь ! Ф=)пр(чс .х))р(;). (1 3.3.2) — ы, Если ) 2(ь) 1 . неогранн !синая функция г,.
то отдельное значение „'„для которо~о (1 (Г„.)) велико, может настолько сильно влиять на логарифм отношения правдоподобия, ч!о превысил суммарный вклад другил наблюдений в !и )(е",) и будет опрелелять выбор между гипотезами П„и Н!. Сам по с«бс этот эффект ие вьпывает беспокойства, если модель для п. в. шума верна. Однако такой эффект или может возникну!ь при случайном ошибочном измерении, или может быть слелствием неправильного выбора п.
в. шума р!л). В общем случае п. в. р(л) задает только приближенную исходную модель, т. е, в реальной снтуации возможны отклонения от гринятой модели. Чтобы уменьшить нежелательную чувствительность критерия, базирующсгося на отношении правлоподобия )(41), ц«лссообразно вместо функции Ь(й). со- 587 ответствующей исходной модели, использовать ограниченную ее модификацию й«(ь) 'п>да ~.(Ц)>Ь, 1,(~)- Ь'(;), -а<й(Ц)<7>, — и, Ь(г) < — л, !!з.з.з) (13.3.4) зк (,с .
) >,1, (! с,)рв.ьеу» 7=0 Злесь рс — исходная п. в. для гипотезы Н,; с;е[0, 1)- — максимальный уровень загрязнения для ра; Ь .. произвольная функция и. в. Таким образом, задача заключается в выборе одной яз двух >ипотсз: Н, наблюдения 9, описываются общей одномерной и.
в. ре из класса лк„; Н, --наблюдения 5> описываю>ох об>пей олномерной п. в. р, из класса вк>. Сформулированная задача имеет следующее решение: для непересекающихся классов .я «и лг, существует наименее благоприятная гара п. в. 9„н д„ определяемая выражениями (1- .) л,"(8) р~("»)~7д,'('ь) <'" 9. (9)= (1 — вс)Р>(чх))г" в пРотиваом слУчае; (13.3.5а) ~(1 — с, ) рв('„), с' <7> > (9))р~~(Ц), (с'(1 — е,)р8(Ц) в противном случае, (13<85б! где с'<г" — неотрицательные числа, такис, что д, и г1> являются п. в. Отноп>ение пРавдоподобна 7,(Я=9>(С>)79с(8,) длЯ единичного наблюдениЯ и наименее благо- приятной пары имеет вид (31: где а и /> — иосгоянные.
Можно ожидать, что при справедливости заданной модели и не слишком малых значениях и и Ь эффективность критерия будет падать гальке на краях области изменения 9. С другой стороны, ограниченное>ь й г>8) влечет за собой нечувствительность (робастность) к влиянию небольшого о( числа ложных наблюдений. Изменяя ллину интервала ( — а, Ь ), можно добиться компромисса между степенью робастности н сни;кением эффективности ш>я принятой модели. Такой алгоритм можно обосновать теоретически в рамках робасзного подхода.
Приведем в формализованном виде один из возможных вариантов формулировки задачи робасгного обнаружения сигнала. Пусть Ь,">.--вектор независимых и одинаково распределенных наблюдений 9,. Обгцая одномерная и. в. наба>олени>3 прн пулевой гипотезе Н сеть р (8). а при альтернативной гипотезе Н, есть р>(8!. Требуется построить основанный на наблюдениях Ц критерий проверки гипотезы Н, прн альтернаэ иве Н,, когда и. в. Рв(Ц и р,(5) неизвестны. Прежде всего возникает вопрос о классе допустимых п. в. при нулевой н альтери,пивной гипотезах.
Онн должны выбпраться с учетом возможности последующего аналитического решения задачи. Можно выбира>ь щи классы как окрестное>и некоторых исходных функций п. в. Одной нз часто используемых моделей таких классов в робастных методах является пара классов с г-залу>лзвепие»>, которые для Нп 7=-0, 1, определяются так. Ьс", г" < 1с(с„), 1,(Ц,)=- Ь1.(~,),, (1.'(Ц,').с, Ьг', lя(с,)<с', (!З.з.б) .д. Ь=(1-а,)!(1-еа) я 1«(х,)=7>я>(~))р,'(~).
Известны' решения робастных задач обнаружения (найдены наименее благоприятные пары) и для других моделей неопределенностей п. в., соответствующих гипотезам Н„и Н,. Пример 13.3.3. Робастная коррекция канала. Во многих практических приложениях !связь, локация, обработка изображений, сейсмология и др.) приходится вмсть дело с молелями линейяых каналов, обусловливающих искажения иля «уширения» головного сигнала при его прохождении через каяал. В простейшем случае линейного канала с постоянными параметрами такую ситуацию можно описать с помгяцью модели наблюдения »«(г) = ( й(г — т) з (т) >уз+ л (г), — со < г < ю, (13.3.71 где 8(г)- импульсная характеристика канала, з(г) и п(г)--вецгествснпые, центрированные, независимые, стационарные в широком смысле сл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
