Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Из-за громоздкости формул опустим вариант интегральной гауссовской аппроксимации и приведем векторные 5/3 хе=о ЬО 08 07 05 го 50 700 гоо 500 0 Рис, 12.6. Зависимость квадрата отпосительпой ошибки интерполяции с постоянной задержкой от отношения сигнал-шум Рас. 12.5. Схема ФАП с постоянаой задержкой Схема ФАП, реализующая алгоритм (35), иредставлеяа иа рис.
!2,5, а зависимость б'=Л„,'Л от отношения сигиал-шум д, вычисленная по формулам (37), привалова иа рис. 12.6. Оиа характеризует выигрыш, достигаемый за счет интерполяции с постоянной залержкой, Видно, что выигрыш по дисперсии ошибки достигает двух раз. Разумеется, что оценка ф, м установится (станет соответствовать стационарной дисперсии )2„) вс сразу. Длительность переходного процесса уменьшится, если к и л, изменить в соответствии с (36) и дополнить схему блоком прямой интерполяции. 12.4. ДВУСТОРОННИЙ АЛГОРИТМ ИНТЕРПОЛЯЦИИ Приведем модернизированный алгорнтзн интерполлз)игй в котором обработка наблюдаемого процесса осуществляется е разных концов фиксированного временного интервала навстречу друг другу. Такой подход позволяет лучше понять процесс интерполяции н оценить потенциальную точность, достигаемую при интерполяции.
Пусть на интервале времени О -1-- Т наблюдается ел. пр. Р„= Р (1), зависящий от информационного сообщения )ч =). (1). Процессы (Я„)ч) и )ч предполагаются марковскими. Апостериорную п. в. всегдя можно представить в виде Р(),)го)=СР(г,оРо»»~, )т)Р().о,)м, ) т) г) ог) т)РДо) (1241) Распишем и. в., фигурирующие иод интегралом. При этом учтем, что в наблюдении присутствует аддитивный ВГШ и рассматриваемые процессы являются марковскими. Поэтому 576 Р(гО~Х,, Х„)т)=Р(с; С)о,)„)т, О)Рй0120 ) )т)= =Р(Р~ 1лт )"т)Р(1о))со 2з).
Р() ., 2„Лт) =Р().) Р()Ро)Р().,Р4. Подставив эти выражения в (1), получим Р(),с~')=1Р(Р,')) о. ).,)Р();))') )) о~Р(1о)1 г к . (Р().,)) -'(Р(~,')3.„) т)Р()т)).,)Р(),)(Лт = (1 2.4.2) -сро(),йо)Р(Ч~, ))Р().,) где с=р(со)Р(Р. )/Р(бо). Из формулы (2) видно, что решение задачи интерполяции включает три операции; 1) определение аиостериорной п. в. р (2., ~ с о) ири начальном условии р () ) — это задача обычной текущей оптимальной фильтрации; 2) определение аиостериорной и.
в. Р() Дг) ири начальном условии Р(~,,)=(Р() 12о)Р(~.,)гг)о— это задача фильтрации в обратном времени и 3) вычисление Р().,)=) Р(Ч) )Р().о)с()- . Если существуег стационарная п. в. Рк()ч~ и Р(2. )=Рк()о), то рк()ч)=(р(Х,))о)рк,()о)Л, . При этом Р(Х,)Ц, ) можно получить как решение обычного уравнения Стратоиовича, заменив 1 на — л Просто выглядит в этом случае решение линейной задачи сгла- живания для иолубееконечного интервала наблюдения ( — со, Т]. Пример 12.4.1. Иктерполяция гаусеовско-марковского процесса.
Приведем реше- ние задачи лвустороиией интерполяции процесса )ч иа интервале (-ю, Т), когда г(г) )'ю ' ЯО(з)' ~~)т)0! а)з тли(~)' гле ле(!) и л,(!) — независимые БГШ со спектральными плотиостями Ле и Л',. Поскольку-залача линейная, то все п. в. входящие в (2), аормальиые, причем дисперсия п. в. 0()ч)г' „) й„=2)З,)(1-Ь,„~ 1-~-д), О,=Л',)4и, 0=4гтпаМо, дисперсия п.
в. р()„)гот) 2)3, 1+Лехр( — 2тт) 7).Ь0 — ! л(т) = ,, л = , уг а ~1+ц, т=Т вЂ” Ь 1+ ~1+ 1 — Л'ехр( — 2ут)' /)+0+1 и дисперсия и. в. О()ч) равна 27,. В соозветствии с (2) лля дисперсии Л,(т) сглажеиной оценки в точке з имеем к„'(т)=й;, '+л '(т) — гз,' Отсюда получим Ч ехр (- 2тт) Я„(т) = 27„ —;~-,—. („~тзг. з Максимальный выигрыш за счет двусторонней интерполяции (т=. со) но сравнению с обычной фильтрацией (т=б) 577 20--2247 Л„(0) 2 лг1 -~ д =2 — — — —— Яа(О) 1+ 71+д 1+ 1+а э ая аааа а" а' аа тах мах 579 зависит от отношсння сигнал-шум а и стремится к двум при д-г со.
Выигрыш за счет интсрполяции может повышаться, осли сглаживанию поллсжит компонента векторного процссса. Г л а В а 13. АДАПТИВНЫЙ ПРИЕМ СИГНАЛОВ 13.1. МЕТОДЫ УЧЕТА АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ До сих пор решение различных задач оптимальной фильтрации базировалось на допущении, что в принимаемом колебании с(1) вида (7.1.1) илн (7.1.б) как функциональные зависимости в правой части, так и необходимые вероятностные характеристики фигурирующих там сл. пр, (полезных сигналов, сообщений и помех) известны априорно точно.
Однако в практических приложениях такой исчерпывающий объем априорных сведений часто отсутствует и неизбежны те или иные отклонения от принятой идеальной модели. Эффективность функционирования оптимальных устройств и систем, реализующих алгоритмы для идеальной модели, зависит. от значения таких отклонений. Рассмотрим пока случай парпягегнричеекой неопределенности, когда априорная неопределенное.гь относится к параметру ст, ог которого зависит наблюдение с(1). Эффективность функционирования системы будем характеризовать величиной Я(а)иа)-- средним риском (6.3.2) для наблюдения с о с параметром и, полученным при использовании решающего правила 7(ео).
Это правило предполагается оптимальным, когда в наблюдении параметр равен гта. В зависимости от объема и надежности априорных сведений о принятом колебании условно можно различать трн случая. В первом случае отклонения параметров сигнала и помех от значений, принятых при синтезе, во всем диапазоне априорной неопределенности не приводят к существенному ухудшению характеристик эффективности синтезированной системы. Пусть (а'ы, о1г,„) — диапазон неопределенности параметра сс и аа,— выбранное при синтезе значение параметра.
Естественно, его целесообразно взять наиболее правдоподобным для располагаемых априорных сведений, т. е. па,=гпах 'рр„(п). Зависимость среднего риска Я(ст)аа) от и показана на рис. !3.1 (кривая 1). Величина Я(а)ааг) остается меньше максимально 578 Рис. 13.1. Влиянис отклонсний Я(а)а) парамстров иа срсдний риск допустимого риска Я при отклонении а и а*„в пределах (а" ш, а'„). В данном случае представляет интерес исследование чувствительности синтезированного алгоритма к отклонению а от маг, т. е.
определению Я(п)ааг) 6 13.2). Во втором случае алгоритмы более чувствительны к отклонению реальных условий от предполагаемых или диапазон неопределенности (азам аз,„) больше (сг'ш, а'„), в результате чего риск Я(а)ааг) алгоритмов, полученных для наиболее правдоподобного значениЯ иза, может пРевышать допУстимУю величинУ Я„ЛлЯ некоторых а из (азы„сг,„). Однако при этом может оказаться, что если синтезировать алгоритм для некоторых других значений из ~аз, то риск Я(а)а$) будет меньше Я„для всего диапазона (аз;„, аз,„). Такое положение поясняет кривая 2 рис. 13.1. для которой Я(а)сгз)<Я для всех ан(сг'ш, а',„), что можно записать иначе: шах Я (о.) и з ) ( Я„г При таком подходе, гарантирующем а, необходимую эффективность даже для наихудших условий, естественно выбирагь пз из критерия аз=пил 'шахЯ(п)пз), (13.1.1) а, называемого минижакенылг.
Он обеспсчивает наименьшее значение риска для наихудших условий. Кривые 1 и 2 показывают, что, хотя наихудшее значение гпах Я(гт)сгза) лля йривой 2 меньше, чем гпах Я(гк)маг) лля кривой 7, а а в наиболее правдоподобных условиях (а = а *,) минимаксный подход дает худшие результаты, так как Я (а = и 1.) и ~ ) > > Я (с1 = ск 7) и а). Мннимаксный подход является основой интенсивно развивающихся в последнее время робастных алгоритмов, хотя в ннх чаще используют не параметрическое, а более сложное описание неопределенности условий задачи (9 133).
Наконец, может оказаться, что даже при выбранном из критерия (1) значении се* риск Я (ех~ и ~~) превышает Е! при некоторых и из диапазона (и~,„, и~,,„). В этом третьем случае применяют адаптивные алгоритмы. Принципиальное отличие адаптивных методов от двух предыдущих заключается в том, что в них„кроме априорных сведений, используется также наблюдение с(Е) для оценивания не только Х(Е), но и ге 6 13.4). Разумеется, алгоритм совместного текущего оценивания параметров (Х(е), и) оказывается более сложным, чем в первом (когда учитываются только априорные сведения о ое) и во втором (ориентированном на наихудшие условия) случаях.
Однако адаптивные алгоритмы обеспечивают лучшие характеристики оценки и, чем неадаптивные. В адаптивных алгоритмах и* =ел, т. е. риск адаптивной системы (1 (ел~ и*) в Я (и(ех). Кривая 3 рис. ! 3.1 иллюстрирует этот результат. Она везде проходит ниже кривых 1 и 2 и касается их в точках о(*, и ое~ соответственно. Это свидетельствует о том, что только адаптивные алгоритмы являются оптимальными. Такой результат объясняется полным использованием в них всей доступной информации (как априорной, так и содержащейся в наблюдении) для уменыпения неопределенности исходных условий. 13.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
