Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 108
Текст из файла (страница 108)
Р(Х,„.а! Х,)-8(Х„а — Х,)+Ьо (8(2„,а — Х,)) А, (12.2.7) р(Х, а~Х,)шб(2„а — Х,)+1,„,(8(Х„а — Х,)) А, (12.2.8) а также справедливое для любых / и гр равенство (/(А)Е„(гр(ус)) с(а,=) 1р(Х)1,ьо (/(Х)) с/Х. (12.2.9) Кроме этого будет также использовано приближенное равенство, следующее из (7.3.5); Р(д,„(2.„)=с[1+Г(1„, 2.,)А), Г(Ь ))= — /Уо ' [д,— з(Ь Х)Д'. (12.2.1()) Интерполяция в фиксированной точке. Введем обозначения Р = ~+Л, ».' = »,„, », = ».„подс7 авим в (12.1.12) вместо р(»«'!») выражение (7), заменим функционал правдоподобия согласно (10) и используем (9). Выполнив интегрирование с дельтафупкцией, получим Р«' ° (» ° »«)=с(77«.«(»»«)+Е7'(Р« «(»«»««)) Л+Р(Р, »«)Р«,«(»»««)Л). Вычислив нормировочный коэффициент с и перейдя затем к пределу Л вЂ” 70, придем к нужному результату дро,(Х„»,,)|д!=Е, 7Р, „(».„»,,))+(Р(д».,) — Р(!)1Р«,(хо».,), (12.2.1 1) где Р(~)=1«.~(П ~)Р« «(»., ».,) 77»х7~ „ Начальное условие для (1!) является аналогом (12.1.8): р,,(»«, ».,)),...,=Р,(».,)б(»о — ».,).
(! 2.2.12) Видно, что уравнение (! 1) фактически является уравнением оптимальной фильтрации Стратоновича для рас7пиренного вектора (»«, »,,) и поэтому его вь7вод полностью аналогичен выводу основного уравнения фильтрации (7.3.8). Интерполяция па фиксированном интервале. Введем обозначения 7« .. =- т' =- т+ Л, (, = т, ».„7 =- »,', » „= »«, = »., ».,„= »«. Нодставим в (12.1.9) выражение Р(».') Ч из (8), а и. в. Р(».' ~ со) заменим решением 11): Р(»-')1о)=17,(»')+Е.
(Р,(»')) Л Гогда Воспользовавшись (9) и приближением (1+х) ' =1 — х+о(х), о результате предельного перехода Л- 0 получим —,-Р«,«(»„»«)= — Р«(».,)Е~х —" — -' — ''- + — " ' -Ех (Р,(»ч)!7. (12.2.13) Это УРавпение описывает эволюцию и. в. Ро,(».„».,) пРи изменении т от ! ло О. Начальное условие для него имеет вид 17«, (Л,, »; ) ), —.« =-77, (»о) 8 (»« — ».,) (12.2. 14) Интерполяция при фиксированной задержке. Учитывая, что т =сопзц введем обозначения 1ю -7=! ° ! +7=7 — т»т+7=»« ° !„=7» =»»««-7=Р» =Р.
Подставим в (12.1.11), (12.1.12) р()7')!7) из (8) и р(Х')Х) из (7), воспользуемся (9) и (1+х) '=1 — х+о(х). Выполнив предельный переход Л- О, получим 5бв др« 7 .)д~=1 (Рь..)+(Ро..»р, „)Е„(77,,)— — Р—,Ел,,(ро -*|Р - )+Р,л,— Р1Р« -* (! 2.2.15) где для краткости обозначено Р...=Р... (»„, »,,); Р,, =Р,,(Х,,); Ро, =Л»„7 [с„— к(0»;)1 ~; Р« =) Р« Х Р«,7-«д» «д»«-« Для «вывода на режим» ре1пения уравнения (15) необходимо использовать (11).
Укажем, что для векторных Х, и с» в уравнениях оптимальной интерполяции необходимо брать соответствующие операторы Е( ) и Е*( ), а также функционал Г(О»,,). 12.3. КВАЗИОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЪ| ИНТЕРПОЛЯЦИИ В НЕПРЕРЫВНОМ ВРЕМГНИ Полученные выше уравнения оптимальной интерполяции являются слишком сложными для реализации в реальной аппаратуре. Для их упрощения могут бьггь использованы различные методы аппроксимации, в частности, рассмотренные в гл. ! О. Ниже приведены квазиоптимальные алгоритмы интерполяции в гауссовском приближении при интегральной и локальной аппроксимации.
Ради простоты вывод дается для скалярного случая интерполяции при постоянной задержке, для векторного приведены окончательные алгоритмы. Укажем вспомогательные формулы, которые будут использованы в дальней7нем. Если р(».)--нормальная п. в. А7(7ио, Яо), го для любой дифференцируемои достаточное число раз функции »(Х) справедливы равенства М(Х7'(Х)) —— л7оМ(|')+7|оМ(д7' д».)7 (12.3.1) М ((»,— 7н) зФ)) =7|оМ (Х)+1!озМ (д'7)д»,'), (12З.2) Обе этн формулы доказываются интегрированием по частям. Имеют место также следующие соотношения: (Е(Х) Е, (Р(~)) д»,=)Р(Х) Е,*, (7(~)) (».=М (Е;, (7(~))), (!2 3 3) д1пр(Х)~д = — (».— л7о)/7|о. (! 2З.4) Формула (3) следует из !2.2.9), а (4) — очевидна.
Пусть Х'=(», ».7) и Р~») — нормальная п. в. Л7(л7, 1!), Р,(».,) — нормальная п. в. Ж(л7„л7). Если Р(Х) удовлетворяет уравнению др|дт=(Р|р7) Е1 (р,) — Р7Е~~ (р(р7), (12.3.5) где Е и Е" — операторы, определенные (12.2.3) и (12.2.4), то, положив 5б9 Л, Я, Я, (!2З.9) 7= М (/(Л)) =)/(Л) р(Л) дЛ, получим следующее дифференциальное уравнение для 7': — =М вЂ” +М ЬЯ, '(Л,— п1л) — — М вЂ” — — -М Ь вЂ”, (12.3.6) Действительно, умножим обе части (5) на /'(Л) и проинтегрируем по Л; ду р ( ) . 1л Е.(р,)1 — !.(р,э) ! Г ь/ др гь гр г'у ) 1 — ар,— — — 2Ь вЂ” — +2р,— — '+Ьр,—, рл/Л= 3"1' ~ ° ' ° ° '4 =М а — „' — Ь вЂ” — ~ — '+ — -- — +-Ь вЂ”, рдЛ. Отсюда с использованием (4) придем к (6). Заметим, что фактически (5) есть уравнение интерполяции на фиксированном интервале.
Полагая в (6) /=Л, или /'=(Л, — Л,)л, можно получить уравнения для интерполяционной оценки йли ее дисперсии при интегральной гауссовской аппроксимации. Интерполяция в фиксированной точке. Уравнение (12.2.11) представляет собой уравнение оптимальной фильтрации вектора Л'=(Л„Л,), где Л,=сонэк Поэтому коэффициенты сноса и диффузии для векторного процесса Л имеют вид .(, )= '(",), ь(,л)= '('„')„'.
Умножив (12.2.11) на Л и проинтегрировав обе части по Л, с учетом (1) и (3) получим аЛ/л/1 = М (а) + ЯМ (лй/о/Л), (12.3.7) где Л = ~Лро „(Л„ Л,)а1Л, 71 = )(Л вЂ” Л)(Л вЂ” Л)'р,, (Л„ Л,)о/Л. Если (12.2.11) умножить на (1 — Л)(Л вЂ” Л)' и проинтегрировать по Л, то с учетом (2) и (3) придем к уравнению л/И/й= М ((Л вЂ” Л)а')+М (а(Л вЂ” Л)')+М (Ь) — КМ (Р,) И, (12.3.8) где Г,= — — Р(1, Л,). Уравнения (7), (8) определяют оценку интерполяции в фиксированной точке.
Если оценка оптимальной фильтрации в точке т есть Л„а ее дисперсия Я„то начальные условия для фильтра имеют вид 570 Уравнения, соответствующие локальной гауссовской аппрок- симации, можно получить из (7), )8) путем разложения функций др7дЛ, а(1, Л), Ь(1, Л) и д~Р(1, Л)/дЛ в ряд Тейлора в окрестности точки Л=Л с учетом линейных членов. При этом получим г/Л/г/! = а (1, Л)+ КдР~/дЛ, (12.3.10) ,'л т аль (12З.11? Систему уравнений (10), (11) следует решать при условии (9).
Если Л, и ~,— векторы, то (7), (8) и (10), (11) описывают векторный вариант соответствующих квазиоптимальных алго- ритмов. Приведем уравнения для линейной задачи: — — =АЛ+ил(1)= ' + ', (12.3.12) Ц1) = ИЛ(1)+по(1), (12.3.13) где Н= (Ь 0). Алгоритм линейной интерполяции в фиксированной точке имеет вид ,1л ) а(1)Л(1) 1 ( Ь'1э'о ЕР,(1) — Ь(1)Л,1 1л '( О 0 и к ~ И ИА +АК+ л КН Хо |НИ (12.3.15) 1О О! или дЛ,/д1=а(1)Л,+К„Ь 14 Д,— ЬЛ,), (12.3.! 6) Лт» Кап™о (8~ Ь~у) ако/а1 = — ако+ Коа'+ Х~ — Коь'Хо Ько, 1/К„/Й=к„~а' — Ь'(чо Ьк, ) (12.3.17) л(К„/л/1= — И„ь'Х, ' ЬК„. Пусть система работает в стационарном режиме и К„=К =сопхк Тогда нз второго уравнения (17) следует, что К„(1) = К„, ехр ((а' — Ь'?ч о 'Ьк„)(1 — т)), а из третьего имеем с к„(1)=к,,— ) к,,ь')а!о 'ьк„г/1.
т 571 Из двух последних соотношений ясно, что время, в течение которого есце происходит улучшение характеристик интерполяцн- онной оценки, определяется постоянной времени, равной мак- симальному собственному числу матрицы а' — Ь'Хо 'ЬК Интерполяция на фиксированном интервале. Выше указывалось, что уравнение (б) прн подстановке в него вместо 1 соответст- вующих функций позволяет получить квазноптимальный алгоритм интерполяции на фиксированном интервале: б„„Ф ™( (т, 3;))+М(Ь(т! );))( ().,— 3;))- (!2З.18) — М (дЬ(т, ),,)/дХ,), с(йп,(с!т=М (2а(т, Х,)(Х,— Х,д))+ +М (2Ь(т, Х,)(3.,— ).,д)((, 1(х,— Х,))— (1 2.3. 19) — М (2(Х,— Х,д)ВЬ(т, Х,)(дХ,) — М (Ь(т, Х,)). Если разложить функции а(т, Х,) и Ь(т, 2.,) в ряды Тейлора в окрестности точки Х,=Х„, и ограничиться первым приближе- нием, то получим алгоритмы при локальной гауссовской ап- проксимации: сб„д — — а(т, а,д)+Ь(т, а,д))т, '(Х,д — Х,) — с)Ь(т, Р„д)(дЪ„д, (12.3.20) г!гс,л(с(т= 2 (да(т, Хд),'В.,л)Я,я+2Ь(т, ).,д)Я; ! ггп,— Ь(с, Хл).
(12.3.21) Прн выводе последнего уравнения учтено, что М(()„-3. )(Ь вЂ” )„д)) = М ((). — 3. д)з) =)(д. В линейном случае а=а(т)3, Ь=Ь(т). Поэтому с(гчд — — а(т))„л+Ь(т)К, (Х,д — Х,), (12.3.22) с(Кп,(с(т=2а(т) Кп,+2Ь(т)Я, гЯ,„— Ь(т). (12.3.23) Все три приведенные системы уравнений решаются в обратном времени с начальными условиями Я!1! —— Я!. (12.3.24) Предварительно необходимо решить задачу текущей фильтрации в прямом времени и запомнить нее а., и А,. Приведем векторный вариант уравнений (18), (19): с().,л(с!т= М (а(т, )ч))+М (Ь(т, )с,)К, ' (Х вЂ” )ч)) — М (дЬ(т, Х,)/дХ,), (12.3. 25) дИл(с(т=М ()а')+М са) ')+М(ЬК, гХ,Х')+М (ХХ'К, 'Ь)— — М (Ь) — М ().дЬ(с, Х)/дЦ вЂ” М ((дЬ(с, Х)(д))'Х').
(12.3.2б) Прн локальной гауссовской аппроксимации будем иметь 572 Рис. 12.3. Алгоритм линейной интерполяции в фикси- рованной точке а0ь,д/с!т=а(т, Х,д)+Ь(т, )„д)гс, (),,д — 3.,), с(Ич,(с!т = К,~, да" (д)чд+ (да'|д)я,1'К... + +Ь(т, 3„д)К, 'К,д+К,~,К, 'Ь(т, Х,~,) — Ь(т, ).,д). (123.28) Применительно к линейной задаче (а=А(т)Х,„Ь=Ь(т)) имеем А„(с(т= А(т)Хя!+Ь(т)К, ()п! — 3,,), (12.3.29) Ж,д!!с(т=И,~,А(т)+А(т)К,д+Ь(т)К, 'Ич.+Кя,К, 'Ь(т) — Ь(т). (12.3.30) Пример 12.3.1. Линейная интерполяция в фиксированной точке гауссовско-мар. ковского процесса.
Рассмотрим случай ((!)=Ц!);и,(!), !(Х/!(1= — иььгч(г1. Применительно к этому примеру уравнения (14), (15) примут вид г( Х, — и)ч йад!с'(Ь вЂ” 1„) гад!(! = — 2ия„+ Ч2 — 2Я~! гз, !тк г/4(г — — и(т„— 2А'0 г(,Д,! !(К,(!тР= — 2А!а гсгс На рис. 12.3 представлена схема устройства оптимального интерполирования в фиксированной точке. Гго составной частью является оптимальный фильтр. Алгоритм сглаживания на фиксированном интервале для данного примера следует из (22), (23) и имеет вид г(Х,а (г(т = — и2 „+((У„(2)й, ' (Хо, — У„), г(й„,(г(т = — 2иЯк Ч-А!ьй, ' йк — 1т! 2.
На рис. 12Л приведены зависимости относительной ошибки интерполяции на фиксированном интервале от длительности наблюдения г и времени интерполяции (б,=йд(з, бм —— (Сод!Э, где (Э=АЦ4и). Видно, что ошибка интерполяция достигает минимума в середине интервала наблюдения; на краях интервала ошибка одинакова и равна установившейся ошибке фильтрации. Интерполяция с фиксированной задержкой. Поскольку оператор в правой части (12,2.15) является комбинацией правых частей (12.2.11) и (12.2.13), получение квазноптимальвых алгоритмов„соответствующих (12.2.15), не содержит новых особенностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
