Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 107
Текст из файла (страница 107)
импульсы с выхода Улз запускают формирователь импульсов з(у — гп,). В блоке вычислителя опенки по т„ш, и и формируется оценка т(у). Результаты моделирования показывают, что дисперсии оценки задержки радиосиг нала длв исходной и вспомогательной задач точно совпадают в стационарном режиме работы СОС и на большей части переходного режима. На рис.
11.23 представггсны зависимости нормированной дисперсии ошибки оценки бг=-Уг„угг от безразмернага времеви г(Т при отношении сигнал-шум в импульсе п=2Е,'гуы т„— длитегьность импульса, Т вЂ” -период следования импульсов в пачке. Крнвах 1 относится к СОС, а кривая 2 — к системе аценивания задержки только по огибающей радиосигнала. Видно, что диснерсин оценки временной задержки СОС на несколько порядков меньше, чем длв системы слежения за задержкой только па огибающей. Результаты на рис.!1.23 характеризуют преимущества СОС при больших отнашснинх сигнал-шум, когда ФАП работает в основном в линейном режиме. При уменьшении отношения сигнал-шум из-за перескоков фазы в ФАП компенсацин Ат осуществляется неточно. Улучшение работы СОС в этих условиях достигается увеличением коэффициента усиления (Уг„— Л, ) в ССЗО.
Результаты сравнения СОС со схемой синхронизации только по огибающей сигнала представлены на рнс. 11.24 зависимостью отношения дисперсий ошибок систем р от Ф Они получены математическим моделированием работы СОС (при оптимально подобранном коэффициенте усилении ССЗО). 562 Глава 12. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ СООБЩЕНИЙ В задаче интерполяции (сглаживания) информационного сообщения л(1) по наблюдению с (1) =в(1, )ь(1))+уго(1) на интервале (О, 11 нужно получить апосгериорную п. в.
для»,(т), тб ) 0„1 ) или соответствующую оптимальную оценку )ь(т), т. е. оценка сообщения отыскивается в момент времени, предшествующий текугцему моменту наблюдения. Различают три вида интерполяции (сглаживания): 1) инпгерполяция на фиксированном интервале (обралгноя интерполяция)--интервал наблюдения фиксирован (1 — постоянная величина), а т изменяется от 0 до 1; 2) интерполяция в фиксированной точке (прямая инуперполяция) — фиксирован момент т, в который должна быть получена оценка, и 1>т — влекущее время; 3) инпгерполяция прл фиксированной задержке — 1 и т изменяются так, что 1 — т=сопа! — постоянное время задержки. Ниже для этих трех видов интерполяции получены алгоритмы оптимального сглаживания в дискретном времени, затем предельным переходом — в непрерывном времени и, наконец, с использованием методов гауссовской аппроксимации получены квазиоптимальные алгоритмы.
Как частный случай рассмотрена линейная задача сглаживания. 12.1. ОПТИМАЛЬНАЯ ИНТЕРПО»!ЯЦИЯ В ДИСКРЕТНОМ ВРЕМЕНИ Пусть наблюдаемый процесс есть сумма полезного сигнала з(1„, ».„) и дискретного белого шума па,. с„=с,(1„)=-з(1„, ».„)+па„, У=0, 1, 2, (12 1 1) где».„— -марковский процесс в дискретном времени, заданный п. в. перехода р(».,„г ~)с„) и начальной п. в. р() ). Оптимальную обработку в задаче интерполяции определяет апостериорная и, в. ру (».„) р(~!1а) (12.1.2) 563 Однако мы получим рекуррентные соотношения не для р,,„, а для двумерной и.
в. (»» ) (»» ! ~л~) (12.!.3) При этом уравнения интерполяции получаются несколько проще и единообразнее, а интересующая апостериорная п. в. находи~ся из извес~ного условия согласованности п. в. р„л„(».„) = ) р „(»чп, ».„) с(».. При выводе уравнений оптимальной интерполяции воспользуемся соотношением р(».,!»и, Ц~п)=р(».„!».„, Ц ') для всех 0<»<)><т, (12.1.5) которос следует из равенств р(».,!».„, 1о)=р(».„!».„, (,8-', 1„)= р(»» со-.> ~ >! (», ~п — > ст) =Р (»»и по )Р(гп»»>~)!Р (» > спи )Р(1~' !»сп) =Р (»с !»> пе ) Рассмотрим последовательно указанные три вида оптимальной интерполяции.
Интерполяция в фиксированной точке. В этой задаче по известной п. в. Р(».м, ».„!Ро) требуется получить р(».„„ „ ».,! Щ> >). Решение задачи дается обычным алгоритмом оптимальнои фильтрации для вектора (»., ».„) с текущим т: 1>(»т». »,!со)=)Р(»~. »и! со)Р(» и>> !»п)с>»сп, (12.! .6) р(».„>, »„!Цо~')=с...>р(» . >, »„)~о)р(Ц >!». +>).
(12.1.7) Итак, рекуррентиый алгоритм (б), (7) решает задачу оптимальной интерполяции с фиксированной точкой. Уравнения (6), (7) необходимо дополнить очевидным начальным условием р(»,пп»., ! Р, ) ! „, „= р (»,„) б (» — Х,). (12.1.8) На рис. 12.1 представлена схема алгоритма, реализующего оптимальное сглаживание в фиксированной точке.
До момента т+!п р наблюдение поступает на оптимальный фильтр (ОФ), вычисляющий р(».„„>). В момент т+1и н на выходе главного вычислителя, работан>щего согласно выражениям (б), (7), устанавливается начальное условие (8). Далее реализуется алгоритм (6), (7). Интерполяция иа фиксированном интервале. Здесь по известной п. в. Р(»., »,„> ! Ц) требуется получить р(».„, »,„! Р,'о).
Решение задачи обратной интерполяции дается формулой р(»... ».,!Ро) — р(»с,) ~ —," Р(». ». >!Ро)с(»..+ (12.19) 564 Рнс. 12.1, Алгоритм ннтерполнцнн в фнкснрованной точке Эта формула получается следующим образом: Р(~., »,!1:)=(Р(»., »„».,+>)1;)!»„>= =) Р(~,!»,+>, », ~о)р(», » )~о) 7». Но согласно (5) имеем Р(»,!»" >» 1а)=Р(»'!» > 1о)пп = Р (~, ! 1о) Р (».„„!».„) >Р (».„„! ~ о), что и доказывает (9). Рекуррентный алгоритм (9) следует дополнить начальным условием Р(»., »,.> !Ео)=Р(»;.)8(».— »'~>) (1 2.1.
10) Полный процесс обработки реализации ~о может осуществить вычислитель, схема которого представлена на рис. 12.2. Он включает в себя три основных устройства: оптимальный фильтр (ОФ), блок памяти (БП) и оптимальный интерполятор (ОИ), работающий в соответствии с (9). Перед началом работы в БП заносят набор априорных переходных вероятностей р(».„,, !»,,), »=О, т — 1. «Просмотр» реализации ~о в прямом времени сопровождается рекуррентным вычислением в ОФ апостериорной п. в.
Р(».„) и «экстраполированных» плотностей р(».„.» ! ~о) (по обычному алгоритму оптимальной фильтрации) и записью их в БП. После просмотра устанавливается н+1=т, начальное условие (10) и начинается работа второй ветви схемы в обратном времени. Наиболее сложным устройством этой схемы является, по-видимому, БП; оп должен запоминать «целые кривые», соответствующие априорным и апосгериорным п. в.. либо заменяющие их наборы статистик.
Рнс. 12.2. Алгоритм интерполяции на фиксированном интервале 565 Интерполяция при фиксированной задержке. Теперь по р (Х„, Х„1д о) нужно вычислить р(2 г, ).„„~ д о "). Требуемые соотношения можно получить из (9), (6) и (7). Ясно, что теперь (9) следует рассматривать как интегРальное УРавнение с неизвестной Р(Л, Х„ь,1г,о): р(2,,2.„~ГД)=р(2.,) ~~~ "'И „"~р(2,„,)„„!до)Л.„.гг. (12.1.11) Выражения (6), (7) удобно обьединить в одно уравнение Р(хмтг 2",з ~со' )= =см,р(с„,„,1Х г)) р()ча, Х„,, ) ~о)р()м,1л.
)г/Х . (12.!.12) Итак, задача интерполяции при фиксированной задержке может быть решена, если использовать уравнение обратной интерполяции (11), рассматриваемое в прямом времени, и уравнение прямой интерполяции (12). Для «вывода на режим» алгоритма (11), (12) необходимо предварительно вычислить р()гм-гг 2О! 1О '). Прощс ВСЕГО Это Можпо Сдсдатв, ИСПОЛЬЗуя алгоритм (6), (7) сглаживания в фиксированной точке.
Алгоритм оптимальной интерполяции с постоянным запаздыванием (пт — тг=й=сопзт) может иметь следующий вид: 1. Установить (, »=1, гп=/с+1. 2. /=!+1, пока /<т, находить р(Х„2.„~ Ц), используя алгоритм сглаживания в фиксированной точке (6), (7). 3. Решить (11) и найти р()., Х„тг ~ до). 4. Вычислить р(2. „2.„, г ~ д о+ г) согласно (12).
5. Установить »=»+1, пз=т+1 и перейти к и. 3. Пример 12.!.1. Оптимальная иптсрволяцня с постоянным запаздываниям на один шаг. Так как в данном случае тч 1=-т, то Р (х... 1„,11„") =-1з (ум) 8(х„„— 1.) н достаточно решить (12). Имссм р(Х„, „, Х„19„'')=г,РД„„))г„ом)Р()г )Р()г„„, )).„,). Отсюда Р() 1го )=с гр(Ь )(Р(9 +г1ь.,~г)Р(ь.,+~14 )ггь,. г (12.1.13) Зто соотношснис опрсдсчяст алгоритм оптимальной интерполяции с постоянным запаздыванием на один шаг.
12.2. ОПТИМАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ В НЕПРЕРЫВНОМ ВРЕМЕНИ Уравнения оптимальной интерполяции в непрерывном времени для всех трех случаев можно получить из соответствующих уравнений в дискретном времени путем предельного перехода, полагая 1 =-д )„=-т, )„г ==т+А. 566 (12.2.2) (12.2.4) (12.2.6) ' Парасв Ю. И. Ввсдснис в статистнчсскую динамику процессов управления и фильтрации,— Мл Сов. радио, 1976.— !84 с.
567 Если Х,=ь(1) — марковский диффузионный процесс, то усло- вная п. в. Р(2ч~Х,) удовлетворяет уравнению ФПК др(2„/)с,)/дт=Е (р()ь,!Х,)), т>л (12.2.1) н обратному уравнению Колмогорова — др(Х,!Х)/дУ=Еь (Р()с,~Х)), т>л, где Ьь( ) =- — 'п(~г 1)( )+-,— з»() гт)( ) (! 2.2.3) п(~ 1)дХ( )+261 1)зз( а()с, 1) — коэффициент сноса; Ь(), 1) — коэффициент диффузии. Если Х, — векторный диффузионный процесс, то операторы (3) и (4) имеют вид 1 1«( )= — уа(7",1)(.)+2 1,, уЬ(2,1)/ )( ), (1225) Ь*( )=а'(2,1),—.,(.)+-,Бр Ь() ') Б где а(1, 1) — вектор коэффициентов сноса; Ь()., 1) — матрица ко- эффициентов диффузии; Бр †сл матрицы; Конечное н начальное условия для (1) и (2) задаются следующими соотношениями (8): (2;(;)~.=.= (.— .) Р().М( =.= (.— .) В дальнейшем нам потребуются вытекающие нз (1) и (2) приближения'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
