Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 110
Текст из файла (страница 110)
ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ АЛГОРИТМОВ ФИЛЬТРАЦИИ Рассмотрим чувствительность алгоритмов фильтрации к отклонениям параметров в рамках принятой модели. Начнем с задачи линейной фильтрации, Пусть предполагаемые (принятые при синтезе) модели наблюдения и сообщения заданы соответственно выражениями (8.1.57) и (8.1.59): 1(Е) = Н(Е)7. (Е)+п„(Е). (1 3.2.1) еЕеЕ е(Е = А (Е) 7. + пл (Е ), (13.2.2) Оптимальный алгоритм (фильтр) для данной задачи был получен ранее и дается выражениями (8.1.б1): л(7.,9Ее = А (е) х+ К (е) [це) — Н (е) х(, (13.2.3) К(Е)=п(Е)Н (Е)~о (Е). (! 3.2.4) е71Е(ЙЕ=~, (Е)+Ай+%А' — КН'Хо Н11. (1 3.2.5) Х(0) =М (Х(0)), К(0) =М ([!л(0) — М (Х(ОЦ [Х(0) — М (!л(0)Ц').
(13.2.6) Пусть вид моделей сохраняется, т. е. реальные (истинные) наблюдение и сообщение (они обозначены тильдой сверху) имеют вид 580 ~ (Е) = Н (Е) Ел (Е) + йо (Е), (13.2.7) е(!л~й = А (Е) ! + йл(Е), (1 3.2.8) где й (е) и й (е) — БГШ с матрицами спектральных плотностей Я (е) и Я (е) того же размера, что и в (3), (5). Применительно к действительной модели мгновенная ошибка фильтрации теперь равна в(е) =Х(е)-Х(е), (13.2.9) Гдс ПОд !л(Е) тЕПЕрЬ СЛЕдуЕт ПОНИМатЬ ОцЕНКу ОПтИМаЛЬНОГО фильтра (3) при воздействии на него реального наблюдения г,(е): Л.~ ЕЕ=А(Е)7.+К(Е) [$(Е) — Н(Е)Ц= =А(Е)е.+К(Е) [Й(Е) — Н(Е))+К(Е)йо(Е). Продифференцировав равенство (9) по времени, с учетом (8) и (10) для ошибки получим уравнение ей/е(е = [А (е) — К (е) Н (е)(е+ [ЛА — К (е) ЛН] Х+ йл(е) К (е)'ло (е) (! 3.2.! !) где ЛА=А(Е) — А(Е); ЛН=Й(Е) — Н(Е).
Если ЛА(Е) и ЛН(Е) не равны тождественно нулю, то ошибка е(е) не образует марковский процесс. Введем векторные процессы х(Е)=, п(Е)= Составной процесс х(Е) удовлетворяет. векторному дифференциальному уравнению, объединяющему (8) и (11); е(х(еЕЕ=Р(Е)х+О(Е)н(Е), (13.2. 12) где 0 А * () 1 0 ' " 0 Х (13.2.13) где 1„— единичная (и х п)-матрица.
Согласно теореме Дуба составной процесс х (е) является марковским и кроме этого гауссовским. Используя последний факт, по известным правилам записываем уравнения для м. о. пе,(е) и корреляционной матрицы векторного процесса х(е): л(еп„(е) = Р (е) пл, (е), (13.2. 14) ЕВ„(Е)Е ЕЕ=В(Е)К,(Е)+К„(Е)Р'(е)+С(Е)Х.С'(Е).
(13.2.!5) Укажем начальные условия для этих уравнений: 58( !п„'(0)=(М (Л(0)) — М (Л(0)), М (Л(0))); поскольку Л(0)=М(Л(0)), то „, (К,(О) К,(О)1 *() '(К,(О) К,(О))" Кх(0) = М ф~ (0) — М (Л (0)Д ~Л (0) — М (Л(ОЩ'. В уравнения (14) и (!5) входят векторы и матрицы удвоенной размерности 2п. Обычно их расписывают в виде системы уравнений для векторов и матриц размерности и. Для этого воспользуемся представлением () е() К () е() м() (13.2.16) (хп,(сЦ' * (Км(!) Кх(!) ) ' где пз,(г) — искомое м. о. ошибки к(г); пх„(г) — м. о.
Л(!); К,(!) — корреляционная матрица ошибки к(!); Кх(г) — корреляционная матрица процесса Л(г); К„(г) — взаимная корреляционная матрица: К (!)=М(Я(!)- (!И Гк(!)- .(!)У) Подставив (16) и (13) в (14) и (15), получим йп, / й = (А — КН) !п, + (ЬА — К АН) шм (13.2.17) с(пз /«/!=Апзх; /К,/ /г=(А-КН)К,+(АА — КАН)К„.+К,(А-КН) + +К(,(АА КЬН)+1%х+КХоК" (13.2 18) ЫК,./,/!=АКм+К,.(А-КН) +Кх(АА-КАН).+14х; (13.2.19) Жх/И!=АК„+К„А'+Х .
(13.2.20) Начальное условие для уравнений (18)... (20) одинаково: К,(0)=Кх,(0)=К (0). Можно убедиться, что прн А=А, Н=Й, Х,=)ч(„и Хо=Хо получаем К,(г)=К„(г)=К(!). Решение системы уравнений (17) и (18)... (20) позволяет определить м. о.
ш,(!) и корреляционную матрицу К,(!1 ошибки фильтра (3)...(6) при воздействии на него реальных найлюдения (7) н сообщения (8). П наедем здесь следующий важный результат '. Если К«О) > > К(0 и для всех г>0 выполняются условия )Ч,(!) > )х(х(т) и (х(о /)>)чо(!), а другие параметры предполагаемых и действительных процессов одинаковы, то К,(!)<К(!) для всех !>О. ' Сейлж Э„Меле Дм. Теория опснивания н ес применение в связи и управлении: Пер. с англ.!Под ред. Б, Р. Левина.--Мл Связь, 1976.-- 496 с. кокс Р. М.«МорД.
Б. 1 раницы качественных показателей при адаптивном оценивании// ТЙИЭР.— 1976. — Т. 64. «зй 8.— С. 28- 36. 582 (13.2.23) (13.2.24) Смысл этого результата состоит в том, что если у действуюшего на входе фильтра сообщения диффузия и (или) спектральная плотность шума наблюдения и (или) дисперсия в начальный момент времени меньше, чем аналогичные характеристики процессов, принятых при синтезе фильтра, то дисперсия ошибки слежения будет меньше, чем расчетная. Важность этого результата следует из того, что, выбирая для синтеза наиболыпие возможные значения Хо, )ч, и К(0) из диапазона априорной неопределенности, мы будем гарантированы, что дисперсия действительной ошибки ограничена известным пределом К(/).
Уравнения (17)...(20) можно использовать в задачах нелинейной фильтрации, если, например, рассматривать (3) ... (6) как уравнения расширенного фильтра Калмана, в которых А(/)=дй(/, Л)/д)', Н(/)=да(г, Л)/дЛ', (ь)„=)ч)„(г, Л). (13.2.21) При воздействии действительного наблюдения на вход такого расширенного фильтра Калмана м. о. и дисперсия ошибки определяются уравнениями (17)...(20), в которых теперь А(/)=дй(/, Л)/дЛ', Й(т)=дй(т, Л)/дЛ. Разумеется, что это справедливо лишь при допустимости линейной аппроксимации всех функций, входящих в предполагаемые и действительные уравнения наблюдения и сообшения.
В данном случае это означает, что действительная ошибка, характеризуемая дисперсией К,(т), должна находиться в пределах линейного участка характеристики дискриминатора. Заметим, что при этом приближенно справедлива замена па Л в аргументах функций А, А, Н, Й, )ч)„например А = дй(/, Л)/дЛ'х дЯ(т, Л)/дЛ'. (13.2.22) При таком приближении проще выполняется анализ чувствительности к отклонениям. Пример !3.2.!. Параметрическая и структурная чувствительность фильтра Калмаиа. Пусть заданы скалярное наблюдение «(г)=«(г)ч-л,(«) и сообщение «6/«/г=е(«), «/е/«/г= — ае(г)оа(г), 4а/4« = — ()а (г) ч- л„(«).
где л,(г) — БГШ с односгоронней спектральной плотностью /«'„/2. Такое сообщение часто используют в качестве одной из моделей движения летательного аппарата на плоскости, причем под «(г) понимают рассзояние до аппарата, е(1) и а(г) — его скорость и ускорение. В данном примере вектор сообщения является трехкомпонентным ь'(1)=(«(г), и(«), а(г)1. Пусть параметры модели сообщения )3 и 2«'. фиксированы (()=О,! с ', Х«./2=1555,8 м'с '), а параметр и моне~ принимать четыре значения: а=0; О,1; 0,285 н 0,5 с ))гг( 2Ггазг 2)гхг /Ргоя г 2 Ф!с«гlр 2 ./сг гп 1,5 гп йгяг япгз( 2 и!з и!» 10' ВП го 10 ВП !па ГП' Га+ г(г(й=с(г), г(е!гй= — пе-Ьл„(!), Нг/пг=л„(Г), (13.2.25) (13.2.26) 585 Рис. 13.2. Относительная дисперсия фильтрации неоптимальными фильтрами Обозначим дисперсию ошибки фильтрации г(г) оптимальными фильтрами Калмана с указанными значениями параметров в стационарном состоянии через 23„„.
На эти чстыре фильтра подавалось сообгненис (24) со значением параметра 6=0,285 с '. и вычислялись дисперсии ошибки фильтрации г(!) в стационарном состоянии 21„„. Зависимость ()„„/()„«от отношения сигнал-шум 4=[2Р,(Т) х х Т)г!«)пз, 1= 50 с, представлена на рис. 13 2. Здесь (З, дисперсия нестационарного продесса г(!), заданного уравнением (24). Видно, что точность фильтрации г(!) в стационарном состоянии не очень сильно зависит от отклонения параметра сообщения и от его оптимального значения, а при больших отношениях сигнал-шум (д>10') она практически исчезает.
Об этом же свидетельствуют результаты рнс. 13.3, на котором для нескольких отношений сигнал-шум приведены зависимости (1„,(Р„„„от отклонений параметров и и М„ от оптимальных значений. Приведем теперь количесгвсннью результаты, характеризующие структурную чуне~витальность фильтра Калмава. Пусть наблюдение остается прежним (23), а модели сообщения имеют три разных вида: одна задана уравнением (24), а две другие уравнениями где п„(г) и л,(г) — белые гауссовские шумы с односторонними спектральными интенсивностями У, и У, соответственно. Для получения сопоставимых характеристик дисперсий ошибок фильтрации )згя сообщения г(!) в установивпгемся рахиме работы параметры разных моделей сообщений согласовывались подбором спектральных интенсивностей белых шумов, обеспечивающих одинаковые дисперсии набега на единицу времени (Т=50 с).
Рис. !3.3. Чувствительность фильтра Рис. 13.4. Идлюстрация структурной Калмана л отклонениям параметров чувствительности фильтра Калмана и н Л~, Очитались заданными значения следующих параметров: а=0,285 с ', ))=0,1 с Ррз = 300 м(с и (Зп~ = 88.2 м!сз. Отсюда для модели (24) находим У,/2 ==20(З„= 1555,8 Мх/СЗ; дпя МОдЕЛя (25) 1«'„/2 = 2и(З„= 62!54 М'(С' И дпя МОдспн (26) У„/2=-108900 мз/с.
На рис. 13.4 показаны зависимости нормированных дисперсий ошибок фИЛЬтрацни (Зю В уетаНОВИВШЕМСя режИМЕ От ОтНОШЕНИя СИГНап-ШуМ я, КОГЛа на вход оптимальных фильтров для сообщений г(г), описываемых уравнениями (24), (25) и (26), воздействует наблюдение (23) с сообщением (24). Потенциальную точность даег случай г(!)=г(г) оптимального фильтра (кривая т'). Несколько большую ошибку (примерно в лва раза) лает двумерный филю.р (кривая 2) и наихудшими характеристиками обладает одномерный фильтр (кривая 3). Из графиков следует, что если возникает необходимость упрощения фильтра, то прн некотором ухудшении качества фильтрации можно применять модели сообщения, бодее грубо описывающие истинное сообщение. На рис.
13 4 также предсгавлены резулыаты для случая, когда иа более сложный трехмерный оптимальный фильтр, настроенный на сообщение (24), воздействует наблюдение (23) с более «грубыми» сообщениями (25) — кривая 4 и (26) — кривая 5. В этих случаях дисперсии ошибок возрастают значительно. Из сравнения кривых (, 2, 3 и 4, 5 можно сделать вывол, что в условиях неопределенности лучше ориентироваться на более «грубые» модечи. Таким образом, фильтр Калмана не очень чувствителен к разбросу параметров сообщения. Однако структурные изменения фильтра и входного сигнала приволят к существенному ухудшению качества фильтрации. Конечно, приведенными примерами не исчерпываются все варианты априорных неопределенностей, которые могут возникнуть при практическом использовании линейных фильтров Калмана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
