Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 114
Текст из файла (страница 114)
Поэтому неопределенность относительно Ф эквивалентна незнанию дисперсии процесса 27<=%14<<. Непосредственным применением уравнений расширенного фильтра Калмана к данному примеру получаем алгоритм фильтрации векторного процесса (7<, М): уравнения для оценок г! х(й= — а!<+(2(Х ) Яхх(~ — Х), (13.4.14) се%/й=(2/7<1 ) Них(Р,— А) (13.4.15) и уравнения для корреляционной матрицы ошибок 597 (А,,к)/))) =-:(7П!2) — 2пА„- (2/ Л о) А в, (13,4.16) е! Акд/г!1=- — (2/Л)о) Акв А„, )!Адв /)(1 = — (2)Л)о) А„'д. (134.17) Последнее уравнение в (!7) можно опус)ить, поскольку А д не вхолгп нн в какое другое уравнение системы. Начальными условиями для (!4)...(17) являются априорные математические ожидания (Х(0), Л)(0), 'и корреляционная матрица априорного распределения ))к(0) с элементами (А,;(0), Акд(0), Ад„(0)).
Естесгвенно считать, что условное априорное распределение ))„„() ! Л)) симметрично относительно нуля при любом Л). При эгом ) (0)=-0 н А„„(0)=0. Действительно, из симметрии р„„(). ( Л)) непосредственно следует равенство в.(0)=) ) р „().! Л)) г(),=0, используя которое получаем А) д(0)= М ([Х вЂ” Х(0)) (Л) — Л[(ОЦ) =~ (). ~Л) — Л)(0)1 х д к «д )К в)кк ~в=) [в- В)0))км)к) ))хг )1)в)кк)ни=о при любом априорном распределении р„„(Л)).
грормальное решение уравнений (!4)...(17) дает оценки ) (г) и Ф(г). Получающаяся при применении локального гауссовского приближения оценка информационного параметра ).(1) является оптимальной по критерию минимума среднего квадрата апостериорпого распределения и.. Приближенный адаптивный алгоритм оценки, основанный на применении гауссовской аппроксимации, оказывается достаточно простым.
Неработоспособность алгоритмов гауссовского приближения. В большинстве случаев характеристики адаптивных алгоритмов, полученных в гауссовском приближении, близки к оптимальным. Однако имеются задачи адаптации, для которых применение гауссовского приближения приводит к неработоспособным алгоритмам. В частности, это нмеез место для приведенного примера адаптивной фильтрации процесса с неизвестным коэффициентом диффузии (! 3). Действительно, проанализируем алгоритм (14) ...
(17). Обри гнмся к первому уравнению (17). Начальным условном для него является А-„(0)=0. Нетрудно убедиться„что при этом уравнение (17) нмссг решение А ([)=О для всех 1>0. Однако из (15) видно, что в таком случае к(Л[)ей=0 и, следовательно, Л)(г) =Л)(0), г. е. оценка коэффициента диффузии не изменяется в результате наб)подення )";(1) и остается равной априорной оценке. Ошибка фнльтр.щиь может быть далека от оптимальной. Поэтому применение гауссовской агшроксимации в данном примере приводит к неудовлетворительному адаптивному алгоритму (14)...(17). Определить, работоспособен илн нет адаптивный алгоритм, полученный в гауссовском приближении, без моделирования его 59В на ЭВМ затруднительно. Например, относительно фильтрации процесса Х(1), заданного уравнением (13), в котором спектральная плотность Л[ шума н() ) известна, а параметр с) неизвестен, в литературе встречаются противоположные мнения.
Приведем для этого случая результаты моделирования алгоритма расширенного фильтра Калмана в дискретном времени: Р,=в.,+по„, Х,=ехр( — о[Л)в.к,+и, (13.4.18) Здесь Л вЂ” шаг дискретизации по времени; 䄄— дискретный БГШ с дисперсией 73о,=М(по,)=Л) )'2Л.
Параметр )х считается равномерно распределенным в интервале (О, а,„). При М (п;1 = = [! — ехр( — 2о[Л)1 Л))4е) н Л- 0 задача переходит в свой непрерйвный аналог (13). За критерий качества адаптации фильтра Калмана принято среднее значение квадрата ошибки оценки е[, нормированной к и „, полученное осреднением по множеству реализаций. Колйчество реализаций определялось достижением точности получаемых оценок 10...
!5%. Непрерывные кривые рис. ! 3.8 показывают зависимость М((и — й) )х „) от нормированного времени. Результаты зависят от шага Л незначительно, и уже при Л)х,„= 0,5 они близки к предельным (Л- 0). )в) (( -ек/ее в )~) а,пв п,аг а,п п,ап апг п,п) [пп ппп зпп впа ппп-~,„е Рис. 13.8. Средний кввдрвт нормированной ошибки адаптивной оденки пврвмекрв процессе 599 Если в (18) положить М(п„-') =(аЛ1/4) [1 — ехр( — 2иЛ)), то при Л- О непрерывным аналогом будет уравнение г/Х/й= — а).+ал(!). При таком незначительном изменении уравнения сообщения харакгеристики расширенно~о фильтра Калмана для адаптивной задачи резко изменяются (они представлены штриховыми кривыми).
При больших Ла,„-1 средний квадрат оп1ибки оценки а данным фильтром уменьшается, однако ье до нуля, а до некоторого предела, зависящего от Л. При Л-+0 (переход к задаче в непрерывном времени) фильтр оказывается неработоспособным. Используя гауссовское приближение для п. в. р((, Ца) и р(1, а) в (3) порознь, можно получить работоспособный алгоритм (27). Алгоритм разделения.
Вернемся к вопросу о приближенных методах решения, равнений адаптивной фильтрации (5), (7). Рассмотрим случай, когда неизвестный сопровождающий параметр и постоянен во времени: !/и/г/1=О. Уравнение (5) примет внд Рр(!, З.. а)/0! = !., 1р((, )., и)) + (1Г(г, Х)— — ~ р(!, х.)/1(1, )., и),/х !/и р(!, х, а). (13.4.19) Для получения одного технически реализуемого приближенного :.л оритма представим апостериорную п, в. /1П, ~., а) в виде !1(1, х, а) =р(1, ) !и)р(1, а). (1 3.4.
201 Подставив !20) в (19) и проинтегрировав обе части 1'19) .ш 11ОЛУЧИМ Ор(1, ))!р! =. 1(Р'„(1) — ~ г„(! )р((, и) 1/и1 р(!. а), (13 '1 21) гле е'„(! ) =- ! р(г, х) /! (г, ). ! и) 1/ ) (13.4.22) Уравп пие (2!) имеет решение с~Р1! 1;(111!1, 'Р„„(е) р(1, и! ( ! 3.4.23) (хлр 1( Р„(1) 411р„,(а1~!я О В жом можно убеди. 1."я непосредственной,п1дстаповкой (23) в !21).
Уравнение ччя р(!. Х!а) получается подстановкой (20), (211 в !!9). ! (!. /1 ! и) = /-1 ', Р („Х ! а) ! + ( Р(!, Л) — Р1 (! )) Р (1, Х ! и). (! 3 4 24) ения !23) и (24) являются основой для получения приближе пьг, алгоритмов адаптивной фильтрации. Для этого область в1: можпых значений параметра и дискретизируется, т. е. считается, что а может принимать множество значений а„„ я=1, М, из зной области.
Например, если областью возможных значений а является интервал (О, 1), то можно выбрать с! =т/М. 600 В этом случае необходимо вычислять р (О а) и р (1, Х ! а) только в конечном числе точек и . Решение (23) переходит в выражение (13.4.26) $ схр((Р (1)1!1)р„(а ) р(ба )= „ (1 3.4.25) 2„ехр (( Р (1) гГх) р„(а„) а Для вычисления р (1, х ! а) из уравнения (24) применяется метод гауссовской аппроксимации. Подчеркнем, что гауссовская аппроксимация применяется не для совместной плотности р(!, ),а), а только для условной плотности ~1(1, Х!и) при фиксированном а.
В результате вычисляется ). (а) и Ях(а) для а=и, т=1, М. Оценка Х, например, по критерию минимума средйего квадрата ошибки находится на основании (4), где интегрирование по а заменяется суммированием: м 1(!)= ~ 1(а )р(1, и„). ю=! Адаптивный приемник представляет собой многофильтровую схему, в которой каждый т-й фильтр осуществляет квазиоптимальную фильтрацию процесса Х(1) в предположении, что вектор параметров а(!) равен а . Каждый фильтр настроен на свое значение параметров помехи. Выходы фильтров обьединяются с весами р(0 а ), также определяемыми самой схемой. За счет этого выход фильтра, для которого апостериорная вероятность больше, берется с ббльшим весом. В пределе при больших временах наблюдения ! вероятность р (1, а )- 1 для фильтра, у которого а наиболее близко к истийному значению а, и р(1, а )-+0 для других фильтров. Поэтому при больших временах наблюдения характеристики адаптивной фильтрации становятся близки к характеристикам фильтрации при полностью известных параметрах процесса Х(!).
Возможно некоторое упрощение алгоритма разделения, если в (20) аппроксимировать нормальной п. в, не только р(1, Х!и), но и р (1, а). Это неэквивалентно гауссовской аппроксимации совместной п. в. р(1, Х, а). Чтобы совместная п. в. р(1, Х, и) была нормальной, нужно, чтобы р(1, Х!и) и р(1, и) были порознь нормальными и параметр а входил линейно в условное м.
о. т1(и)=М().!а). Использование гауссовской аппроксимации в уравнении (21) дает (1 3.4. 27) Подстановка сюда выражения для Р,(!) позволяет получить для частных задач замкнутую систему уравнений'. Для упрощения 601 реализации получающихся алгоритмов полезно производные по и заменить конечными разностями. Выбрав достаточно малое с, можно обеспечить сколь угодно точное приближение лля производных от е„(1) а<'„(<) 1:...(<)-Г„,(<) ро эс Г з с'„(<) 1"„,(<) — 21'.(<)-'; 6;,(! ) с«' ь (13.4.28) Первачен С.
В., Перов А. И. Многомерный алгоритм скользящего адаптивного приема 71Автоматика и телемехаиика.—.1977.— № 6,--С. 14 — 18. 602 Рабоэоспособносз ь адаптивного фильтра для 7 (1), реализующего алгоригм разделения с гауссовской аппроксимацией как )>(1, Х(и), так и р(1, с<), применительно к задаче (18) с непрерывным аналогом <<А<<11= — с<),+пп(1), проверена путем статистического молелирования на ЭВМ. Результаты приведены на рис. 13.8 (пунктирные кривые). Вилно, что средний квадрат ошибки по а спадает до пуля с асимптотикой, близкой к гиперболической. Скорость сходимости по а увеличивается с уменьшением шага по времени А.
В алгоритме «разлеления» наглядно видно усложнение адаптивных приемников по сравнению с приемниками при полностью извест>7ых характеристиках обрабатываемых процессов. Так, вместо олного фильтра, настроенного на известное значение параметра сх принимаемого процесса, адаптивный приемник должен включать целый набор таких адаптивных фильтров. Алгориз.мы гауссовской аппроксимации в ада!пивных задачах также приводят к существенно усложненным по сравнению со случаем известного сх приемникам. Кроме этого характеристики оценки информационных параметров в адаптивных алгоритмах уступают соответствующим характерисгикам алгоритмов обработки сигналов с известными характеристиками и лишь по прошествии некоторого времени, затрачиваемого фактически на оценку неизвестных параметров, стремя.гся к ним. Алгоритм «разделения» в технической реализации обычно сложнее алгоритмов, получающихся непосредственным применением метода гауссовской аппроксимации к уравнениям адаптивной нелинейной фильтрации типа (5), (7), (19).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
