Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем (2004) (1151791), страница 113
Текст из файла (страница 113)
Успехи в приложениях теории вероятностей к различным практическим задачам подтверждают правильность такого подхода. Задачи адаптации не являются исключением. Конечно, чаще всего к адаптивным относят задачи с большой априорной неопределенностью. Однако смысловое содержание байесовского подхода вовсе не определяется объемом имею1цихся априорных знаний.
Степень полноты этих знаний влияет только на характеристики оценок информационных параметров. Ухудшение качества приема, связанное с неопределенностью параметров а, в адаптивных задачах может оказаться значительным. В ряде случаев оценки (даже оптимальные) информационных параметров при малом времени наблюдения настолько плохи, что являются практически бесполезными. С увеличением времени наблюдения оценки неинформационных параметров стремятся к истинным значениям а, а качество оценок информационных параметров улучшается, стремясь к качеству оценок при полностью известных статистических характеристиках. Обоснованности байесовского подхода способствует закхсе то, что при несущественных для практики ограничениях байссовские правила решения образуют полный класс. Это означает, что все самые хорошие (оптимальные) правила принятия решения 593 Рис.
!3.6. Соитии~пенис между гдсгнсстями вепоятпссти пгн адаптивном приеме нли ил~ори>мы обработки информации обязательно принадлежат к полному классу, т. е. могут бы гь получены с помощью байесовского подхода при некоторых априорных п. в. рр„(Х) и ря,, (а), Таким образом, нет необходимости рассматривать а.~порчтмы, пе являющиеся байесовскими правилами решения, нбо заведомо существуют некоторые другие (байесовские) ал1орнгмы, обладщощие лучшимн характеристиками. Указанная выше априорная трудность при синтезе в адаптивных задачах является существенной прежде всего в теоретическом опюшепнн.
в смысле обоснованности байесовского подхода. При решении практических задач синтеза существенно облегчает дело относительная аснмптотическая нечувствительность адаптивных задач к априорной и. в. Э>о означает, что изменение априорной и. в. р,„(а) начинает мало влиять на вид апостериорной и.
в. р(а ~ «~) при увеличении объема наолюдепий. Эту нечувствительность можно обосноваг> исходя нз формулы Байеса р(а ! «с) =-йр„,(а) р(Ц / а), lс = — сопка (а). (1 3.4.8) Рисунок 13.б иллюстрирует соотношение между двумя сомножителями в правой час~и этого выражения. При реальных значениях времени наблюдения 1 условная п.
в. р(«с ~ а) как функция а в окрестности истинного значения а значительно уже априорной п. в. р„„(а). Последнюю естественно задавать медленно и плавно меняющсися функцией от а„так как какие-то резкие изменения р „(а) предполагают существенное предпочтение одних значений а другим на основе априорных знаний, что чагце всего не имеет места.
Однако для адаптивных задач характерно соотношение, когда количество информации, содержащееся в наблюдении «с, существенно прсвышаег объем априорной информации об а. Это находит свое отражение в том, что п. в. р(«с ~ а), представляющая информации> за счет наблюдения как функцию а, значительно уже, чем р„„(а). Поэтому основное влияние на формирование р(а ~ «с) оказывает именно р(«с ~ а). Изменения р,„(а) в значительных пределах (пока опа остается медленно меняющейся функцией по сравнению с р(«' ) а)) незначительно влияют на р(а ~ Ц).
Обучение и самообучение. В адаптивных задачах различают «предварительное обучение» и «самообучение». Содержание этих 594 а*=шах ' (р(«с / а)). а (13.4.! 1) 595 терминов следующее. Самообучение имеет место тогда, когда неизвестные параметры а определяются одновременно с приемом информации о ).. Предвиригпепьное обучение — когда режиму приема основнои информации предшествует период приема специальных вспомогательных сигналов, несущих информацию только об а, а не о ).. Такие специальные сигналы должны позволять по возможности быстро и точно оценивать а. Например, в синхронных системах связи для реализации квазикогерентного приема радиосигналов предварительно (до приема информации) посылаются специальные сигналы синхронизации, которые принято называть еинхронреамбулой.
В предыдущем рассмотрении мы ориентировались на режим «самообучения», поскольку предполагалось, что в принимаемой реализации «(г) содержатся сведения как об информационном параметре Ц~), так и об а(г). С точки зрения синтеза режим предварительного обучения не имеет принципиальных особенностей. В этом случае по наблюдению реализации, содержащей информацию об а(~), нужно составить уравнение для апостериорной п. в. р(г, а) сопровождающих параметров а. Это делается обычным образом. Полученное решение для апостериорной п.
в. в конце интервала обучения используется затем в качестве априорной для режима приема информации. Вариант максимального правдоподобия. Отмеченную выше нечувствительность к априорному распределению р „(а) можно считать основой распространенности методов решения адаптивных задач, в которых априорная информация об а игнорируется. Для обоснования этих методов распишем выражение (3) для апостериорной и. в. информационного параметра: Р(7 $ «'с)=-(Р().„а) «с) г(а=(Р().1«с, а)Р(а ~ Ц'с) сна. а Если р(а ) «'с) узкая, так что ее при интегрировании можно приближенно принять за дельта-функцию р(а ~ «с)жо(а — а*), то из (9) имеем р().~с,с) р(Х~«с, а').
(13.4. 10) Таким образом, апостериорная и. в. информационного параметра в адаптивной задаче с неизвестным а равна апостериорной и. в. информационно> о параметра в задаче с извес> ным а, в качестве которого используется оценочное значение а*. Остается вопрос о методе определения а*. Чтобы не привлекать априорную п. в. рр„(а), считая, например, а неслучайной величиной, вычисление а* мохсно выполнять по критерию максимального правдоподобия: Оценка максимального правдоподобич обладает такими свойствами, как песмещенность, эффективность и др. Различные подходы, не требующие знания априорного распределения р „(с<), по сути дела, основываются на соотношениях (1О), (11), которые совместно с (4) берутся в качестве исходных.
Этп методика, альтернативная строго байесовской методике, в ряде случаев приводит к хорошим результатам. Однако иногда из пее следуют алгоритмы с неудовлетворительными характеристиками именно из-за неточного определения <и вследствие неучета априорных сведений. Равномерно наилучшие реигаюшие правила. Встречаются задачи, в которых сопутствующий параметр неизвестен, однако его незнание несущественно при выбранном критерии качества.
Последнее очень важно, так как при другом критерии это незнание в той же задаче может оказаться существенным. В последнем случае сопутствующий параметр а придется определять, а характеристики приема информации окажутся хуже, чем при известном <г. Например, пусть по критерию минимума суммарной вероятности ошибки решается задача приема сигналов с амплитудной манипуляцией по наблюдению вида (9.3.1); <',(<)=ОА сох(оуог+<Р)+ло(г).
В данном примере знание амплитуды является весьма существенным, гак хак от нее зависит значение порога в оптимальном приемнике. Другой случай имеем при решении задачи различения априорно равновероязных противоположных си~валов по наблюдению Г,(1)=-ОА сов(пзо<+<р)+(1 — О)( — А) сов(озпг 1-<Р)+но(1), (13.4.12) При применении кригерия минимума суммарной вероятноспл ошибки порог в оптимальном приемнике равен нулю при любом значении амплитуды. Это свидетельствует о том, что при равновсроятных сигналах оптимальный приемник (с нулевым пор<и-ом) реализует равномерно наиболее мо<цное правило различения противоположных сигналов с неизвестной амплитудой для критерия минимума вероятности полной ошибки.
Существование равномерно наилучших правил решения можно ожидать в исключительных случаях. Однако сам факт их наличия делает целесообразной при решении задач синтеза в условиях априорной неопределенности проверку, является ли неопределенность параметра е< в данной задаче существенной. Если это не так, т, е, равномерно наилучшее решение существует„то применение описанного выше байесовского подхода при произвольном априорном распределении параметра а все равно приведет к оптимальному приемнику. Однако его структура может оказагься сложнее с точки зрения технической реализации, чем это 596 Рис.
13.7. Схема адаптивного приемника радиосигнала с нсиавесгпой амп- лигудоя возможно. Например, для задачи (12) различения равновероятных противоположных сигналов с неизвестной амплитудой оптимальный адаптивный приемник, синтезированный стандартным байесовским методом, имеет структуру рис. 13.7. Но при нулевом пороге умножение на положительное число можно опустить, так как оно не влияет на принятие решения. Следовательно, блок оценки амплитуды А является лишним с точки зрения оценки информационного параметра 0. ?"ауссовское приближение. До сих пор речь шла об уравнениях нелинейной фильтрации вида (5), (7) с выбранными начальными условиями как о полном решении задачи адаптивной фильтрации. Это действительно так, если иметь в виду полное извлечение информации о параметре 7<.
Однако точные решения уравнения нелинейной фильтрации можно получить лишь в частных случаях (гл. 9). В большинстве задач не удается получить аналитическое решение, а непосредственная техническая реализация алгоритмов (5), (7) очень сложна. Возникает задача нахождения приближенных алгоритмов решения уравнений вида (5), (7), которые можно было бы реализовать аппаратурно. Для этого естественно обратиться к различным приближенным методам (гл.
10), в частности к методам гауссовского приближения. Их применение к адаптивным задачам не имеет существенных особенностей. Рассмотрим следующий конкретный пример: г,(1)=х(г)+по(г), п<х(й= — с<х+н(г). (!3.4.13) Допустим, что для гауссовского марковского процесса 7< (7) неизвестен постоянный во времени коэффициент диффузии Ж: <7Ж1<71=0. Ширину спектра <х процесса Х(7) будем считать пока известной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
