Радиоэлектронные системы Основы построения и теория. Справочник . Под ред. Я.Д. Ширмана (2007) (1151789), страница 204
Текст из файла (страница 204)
Их конструктивно и компактно объединяют с активными и пассивными компонентами: лазерными излучателями, фотоприемниками, линзами, дифракционными решетками и пр. [9.34]. Функциональные возможности устройств интЕгральной оптики сходны с функциональными возможностями СВЧ устройств. Элементы дифракциоиной оптики. Это дифракционные структуры решетчатого вида, используемые в интегральной оптике: ° светоделнтельные (дифракционные решетки), ° фокусирующие (дифракционные линзы), ° корректирующие (дифракционные асферики). ЧАСТЬ СЕДЬМАЯ ПРИЛОЖЕНИЯ а! ! а!2 ...
а|„ «|21 '|22 — а2п (26.!) ат! ат2 ... апт « 1 2 3 4 5 6 а =~, (а) 12 4 6 (26.2) а = !! аа !! = ( аа ), а|1 а!2 ) аш а21 '|22 ~ '|23 Ь!, Ь!2 Ь21 Ь22 '|31 «|32 ! «|ЗЗ 453 26. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАТРИЦ Широко используются в разд. 13 — 25 Справочника. 26.1. Общие сведения Матрица — это многомерная (тк и -мерная) вечичина, т.е. соовокупность тк п элементов некоторого числового поля (см. разд.
28)„представленная в виде прямоугольной таблицы: Матрицу характеризуют числом строк т, числом столбцов и, размером (размерностью) тхп. Используются и более краткие обозначения матриц где «=1,2, ...,т,а к=1,2, ...,и. Матрицы размером тх| и 1хп называют соответственно вектор-столбцом и вектор - строкой Матрицы с размерами т > 1, и > 1 при тип называют прячаугольны.чи. Матрицы с только нулевыми элементами называют нулевыми. Последние, в отличие от других матриц, полужирным шрифтом обычно не выделяют.
В матрицах можно выделить диагонали, идущие сверху вниз направо (« — К = сопя!) и сверху вниз налево («+ к = сопя!). Матрицы с одинаковыми диагональными элементами аа = а, к называют теп!ичевыми [0.44, 6.67, 6,72, 6.73). Квадратные матрицы. Имеют одинаковое число строк и столбцов (т = и); а также главную, наибольшую диагональ, идущую сверху вниз направо, и наибольшую побочную диагональ, идушую сверху вниз налево. Если это не вызывает разночтений, главную диагональ матрицы кратко называют диагональю. Квадратные матрицы а с нулевыми элементами вне главной диагонали (аа = 0 при («' ч к) называют диаганазьнь«ми и обозначают а = о!ай (а!1, а22, ..., ал«ь«). Диагональную матрицу с единичными элементами называют единичнои и обозначают 1 = гйа8 (1, 1, ..., 1).
Квадратную матрицу с нулевыми элементами ниже главной диагонали называют верхней треугольной, а с нулевыми элементами выше ее — нижней п|реугольной. Квадратную вешествениую матрицу с одинаковыми элементами а, 3 =ад«, симметрично расположенными относительно главной диагонали, называют симметричной (симметрической) матрицей. Квадратную вещественную матрицу с одинаковыми элементами а, =аы ь! ь«««.1, симметрично расположенными относительно наибольшей побочной диагонали называют персичметричнай. Квадратную комплексную матрицу с комплексно сопряженными элементами а,, = а',, симметрично рас- положенные относительно главной диагонали называют эрмитовай матрицей.
Квадратную матрицу, состоящую из нулей и единиц, умножение которой на вектор-столбец (см. ниже), переставляет его элементы, называют перестанавочной. Транспонирование матриц. Состоит в том, что матрица а = !! аа |( размера тхп преобразуется в матрицу а' = !! аа !! размера пхт, причем строки матриц переходят в ее столбцы, а столбцы в строки. Транспонирование вектор-столбца порождает вектор-строку, транспонирование вектор-строки — вектор-столбец. Повторное транспонирование возвращает матрицу к первоначальному виду.
Например, Транспонирование сохраняет симметрию, эрмитовость, персимметрию и диагональный характер квадратной матрицы. Нижняя треугольная матрица переходит при транспонировании в верхнюю треугольную„ и наоборот. Эрмитова матрица при транспонировании переходит в эрмитову с комплексно сопряженными элет т ° ментами а = !! аа (! = |! а а !! = а . Совмещения операций комплексного сопряжения и транспонирования воз*т вращает матрицу к первоначальному виду а = а. Знак ь обозначает в Справочнике комплексное сопряжение без транспонирования. В последнее время в "т и литературе используют обозначение а = а".
Блочная (клеточная) матрица. Отличается объединением скалярных элементов матриц вида (26.!) в матричные блоки, например, где Ь!1= " ',Ь12 = ' ~,Ь21=1««аЗ! а32«!1, Ь22 =«1аЗЗ«!! 1««21 ««221 1а233 Разновидностью представления прямоугольной матрицы (26.1) является сведение ее к блочной вектор- строке, составленной из вектор-столбцов а =!! Ь|Ьз Ь„[), Ь,=!|а!«а2! ... ал«,)) . 26.2. Операции сложения и умножения матриц Операции сложения и умножения матриц исторически вводятся для описания разнообразных линейных преобразований и квадратичных форм.
26.2.1. Определения и свойства операций сложения и умножения Операция алгебраического сложения матриц.. Матрица с = а + Ь называется алгебраической суммой тз 122!ит + аззиз аз»» » се = ~ акау» у=! (26.3) х=ап а=!!аут!! (26.6) (26.7) т» (26.9а) 464 матриц а н Ь одинакового размера тхп, если она составлена нз соответствующих элементов се= ам+ Ь,в Соблюдаются переместнтельный а + Ь = Ь + а н сочетательный (а + Ь) + с = а + (Ь + с) законы сложения (коммутатнвность н ассоциативность сложения). Операция умножения матрицы на скаляр. Коммутатнвна н ассоциативна н сводится к умножению на этот скаляр каждого элемента матрицы: а а = а а, а(() а) = (аб) а. Операция умножения матриц. Операция с = а Ь вводится в предположении, что число столбцов матрнцы а равно числу строк матрицы Ь.
Элемент се матрнцы-пронзведення с, расположенный на пересечении ее ~'-й строки н й-го столбца, определяется выражением Он сводится к сумме попарных произведений элемента у-й строки первого матричного сомножителя на соот- ветствующнй по порядку элемент Уг-го столбца второго матричного сомножителя. Например: 1 2 0 2 11+20 11+22 1 5 Как видим, умножение матриц может не подчиняться переместнтельному (коммутатнвному) закону, т.е. а Ь не обязательно равно Ь а.
Зато справедливы законы ассоцнатнвный а (Ь с) = (а Ь) с умножения н распределительный (а + Ь)'с = а с + Ь с умножения н сложения. Умножение матрицы тхп на матрнпу рх9 прн п е р смысла не имеет. Умножение матрицы тхп на матрнпу пх9 дает матрицу тхту. Умножение вектор-столбца тх! на вектор строку !хту дает прямоугольную матрицу тх9.
Умножение вектор-строкн !хп на вектор столбец пх! дает скаляр 1х!— скалярное произведение, см.(26.8). Умножение любой матрицы на еднннчную коммутатнвно н ее не меняет. Умножение на нулевую матрицу сводит произвольную матрицу к нулевой. Транспонярованне произведения матриц. Согласно (26.3) сводится к умножению транспоннрованных сомножителей прн обратном порядке нх следования (а Ь) = Ь а . (26.4) Сведение пронзведення чисел в комплексной области к произведению матрнц в вещественной области. Произведение чисел и =Ке и еу 1в и н и = = Ке и +) 1в и сводится к двухкомпонентному вектору и и =(Ке и еу 1в и) (Ке и + у 1ш и) = = (Ке и Ке и - 1ш и Ьп т )е у (Ке и 1в и + 1ш и К.е и).
Тот же вектор можно найти на основе матричных операций умножения в вещественной области не»нет — 1ви!вт Кеи 1 — 1 Кет т» (26.4 а) Кеи!вт+1виКет 1ви ! ! 1в 26.22. Использование операций умножения матриц для описения линейных преобразоеа- ний и квадратичных форм Матричное описание лянейяого преобразования. Линейное преобразование и-мерной величины и1, и„..., и„В т-МЕРНУЮ ВЕЛНЧННУ Х1, Х2, ..., Хт НМЕЕт ВНД: х, =а„и, +а!2и2+...+ами„, х =в„'пи, +а„,зиз+2.
ьа „тт„. Примерами лннейных преьбразованнй являются: ° формнрованне т характеристик направленности пэлементной антенной решетки (коэффнцненты преобразовання в этоМ случае коМплексные); ° формирование напряженнй с помощью фильтра на линиях задержки; ° пересчет координат прн повороте осей прямоугольной коордннатной системы н т.д.
Согласно (26.3) й (26.4) линейные преобразовання можно представлено в виде: преобразования вектор-столбца в преобразовання вектор строки пт х' = в' а', а = )( аь !!. Запись (26.6) используется в разд. 13, 17, 20-24 Спра- вочника, запись (26.7) — в разд. 24, Матрнчное опнсанне' бнлннейного преобразова- ння.
Бнлннейным называют преобразованне двух век- торов в скалярную велнчнну, лннейно завнсяшую от каждого нз ннх, Простейшее бнлннейное ьреобразованне — это ска- лярное праиэведе»ие двух векторов з = э эх =(".,х, =х~т. (26.8) ~»! т Здесь: т — вектор-строка размера !хт; х — вектор- столбец размера тх1. Более общий случай билинейного преобразования векторов т н и связан с заменой х в (26.8) согласно (26.6): т т т э=и во=н а т= 2 ~ аах,ие.
(=!»=1 Матрнчное оннсанне квадратичной формы. Квадратичная форма получается нз билинейной (26.9а) прнт=п н т=п: э=в ап= 2амтт,ие. (26.96) ьях! 2 Прн а = ! значеннез-это квадрат модуля ~ п ~ вектора и. В зависимости от значения параметра п квадратнчной формы уравнения з = сопи определяют кривые (п = 2) н поверхности (п 3) второго порядка. 26.2.3. Разновидности операций сложения и умножения матриц Операции сложення н умножения блочных матрнц. Аналогичны операциям сложения н умножения матриц со скалярными элементами. Так, операция умножения (263) переходит в п се — - ~ адЬгл, г=! (26.
1О) где матричные блоки аьч Ьгг сами перемножаются согласно (26.3). Операция перемножения матриц в виде блочной вектор-строки ат = )~ а,! ап ... а, !! и блочного вектор- столбца Ьл = !! Ьы Ьгк ... Ьмл ~1! представляешься в виде се =а,Ьк т а х Ь=!! ажЬ|!. (26.11) Размеры т, х и, матрицы а возрастают в результате до та тв х пя пь. Используется в быстрых алгоритмах цифровой свертки (разд. 19.9.4), в алгоритмах дискретной пространственно-времеиной обработки, двумерного и многомерного преобразований Фурье (разд.
23. ! 2). Наряду с принятой в Справочнике записью (26.11) так называемого «правого» кронекеровского произведения используется [8.28] запись а х Ь = 11 а Ь»х !1 «левого» кронекеровского произведения. При этом а х Ь (правое) = Ь х а (левое). Блочно-матричное описание эрмитовой квадратичной формы. Рассматривается комплекснал квадратичная форма г = и'таи с векторной переменной в = Кеи+у!ти и эрмнтовой матрицей а = Кея+)1та. Как можно проверить, она идентична (нзоморфна) вещественной квадратичной форме в вида т т ' т Кеи Кеа (1та) Кеи Кеи Кеа — 1та~~йеи 1ти !та Кеа 1ти 1ти 1та Кеа фтв (26.11а) с блочными переменой /!Кеи 1ти/! и симметричной матрицей, вдвое большего размера.
Матричный блок 1ш а, как н блок (- 1ш а)=(1ш а)', соответствует мнимой части эрмитовой матрицы а и имеет нулевую главную диагональ. В одномерном случае при а=1 матричное представление квадратичной формы (26,11а ) дает ее значение в=Ке ич-1тп и=!и!', такое же, как ее комплексное представление л = и'и . 26.3. Операция обращения неособой матрицы Неособой называют квадратную матрицу, определитель которой отличен от нуля. 26.3.7. Определитель (детерминент) квадратной матрицы Так называют алгебраическую сумму, каждое слагаемое которой представляет собой произведение т элементов матрицы тхт, взятых по одному из каждой строки (столбца): )а) =де!а = г ~-ага а!р ...амт =~~~ +аа! арг" атз.
Кронекеровское умножение матриц. При умножении а х Ь каждый элемент ае матрицы а заменяется матричным блоком аоЬ, т.е. Суммирование проводится для всех т! перестановок а, Р,..., у исходной последовательности чисел 1, 2, ..., т Перестановки делятся на четные и нечетные по числу попарных инверсий исходной последовательности, Знак плюс берется для четных, а знак минус - для нечетных перестановок. Определитель не меняется: ° при транспонировании матрицы; ° при прибавлении к элементам строки (столбца) элементов другой строки (столбца), умноженных на произвольный множитель. Для любой треугольной матрицы он сводится только к произведению элементов ее главной диагонали. Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц сомножителей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
