Радиоэлектронные системы Основы построения и теория. Справочник . Под ред. Я.Д. Ширмана (2007) (1151789), страница 205
Текст из файла (страница 205)
Справедлива теорема разложения определителя по элементам произвольной ~'-й строки (Ьго столбца): (а~= 2 аеАе =~~~ аеАм »=1 ~=1 (26.12) где Аи — атгебраическое дополнение эл«мента ань Алгебраическим дополнением элемента матрицы а,у, называют значение определителя матрицы размера (т — 1)х(т — 1), получаемой путем вычеркивания /-и строки н; и к-го столбца матрицы а, умноженное на ( — 1) Если т = 2, после вычеркивания остается всего один пя элемент; его произведение на ( — 1) и служит алгеб- раическим дополнением, Например, согласно (26.12) определители 2х2: ЗЗ!З ~13 =3 6-3 3=9; 3 6 ' 1 6 !! 3 Пример разложения определителя матрицы Зхз по элементам первой строки приводится с использованием предыдущих результатов: 1 1 2 3 3 1 3 6 =1 9-! Зч-2 0=6.
Хотя процедуру (26.12) часто используют для последовательного вычисления определителей, существуют и более простые процедуры. Так, матрицу можно свести к треугольной, определитель которой равен произведению диагональных элементов. Вычитая первую строку исходной матрицы нз второй и третьей, а затем вторую из третьей, получим 1 1 2 О 2 1 О 2 4 1 ! 2 1 3 3 1 3 6 1 1 2 О 2 1=12 3=6.
О О 3 26.3.2. Присоединенная матрица Матрицей, присоединенной к матрице а, называют транспонированную матрицу ее алгебраических дополнений: !~А, Г =1~Аь!!. Произведение матрицы а и присоединенной к ней матрицы не зависит от порядка сомножителей н Равно- диагональной матрице с элементами, равными определителю ! а ! исходной матрицы а: ((А!л!(~а=а((А!л!! =1)а(. (26.13) 26.3.3. Обратная матрица -! Это матрица а, которая при перемножении в любом порядке с исходной а дает единичную матрицу: а а=аа =1.
(26.14) -! Матрица а существует, если матрица а неособенная, т.е. если ! а ! а О. Тогда, поделив обе части равенства (26.13) на ! а ) и сопоставив результат с (26.14), можно убедиться, что а ! = '1АД / ! а ) = ))Аа / ! а ( ~( . (26.15) Примеры вычисления обратных матриц. Продолжают примеры разд. 26.3.1: 3 6 -3 3 — 1/3 1/3 3/2 -1/2 0 Вычисления не закончены, чтобы четче показать характер операций.
Определители взаимно обратных матриц. Взаимно обратны. Произведение двух взаимообратных матриц равно определителю единичной матрицы, равному единице. 26.3.4. Использование обратных матриц при решении неоднородных систем уравнений При н = т соотношение (26.5) определяет систему линейных неоднородных уравнений для неизвестных и; и известных хл (!, /г = 1, 2, ..., т).
Систему называзот неоднородной, если не все величины хл равны нулю. Можно ввести эквивалентное (26.5) матричное равенство а и = х, где х и 0. Умножая обе части этого равенства слева на матрицу а, в соответствии с (26.14) получают решение а=а х.
(26.16) 26.3.6. Обращение произведения матриц Если обратные матрицы сомножителей произведения а ! аг ... а! ! а! = а существуют, то а ! =а! а! ! ...аг а! . (26.17) Поскольку соотношение (26.14) выполняется для сомножителей матриц, оно выполняется и для их произведений. 26.4. Собственные значения и собственные векторы квадратных матриц Собственные значения матрицы.
Собственными значениями (собственными числами) матрицы а называют значения скалярного параметра г„для которых однородное уравнение (а-).1) и=О имеет отличные от нуля решения. 466 Условие (26.18) означает, что линейное преобразование а а вектора ц сводится лишь к его растяжению или сжатию 2. н (без какого-либо поворота). Выполнение равенства (26.18) для отличных от нуля и возможно в силу (26.15), (26.17), если определитель ! а — 2.1( равен нулю а! ! -г~ а!г ... а!т ! аг ! агг 2.... агт а-2.1~ = =О.
(26.19) ОЫ "т2 " "тт Решая уравнения, находим, что н! = !11 — / (~~ е/ч' /зГ2, нг = )! - / 1 !!~ е/ч' /~Г2, где е/чц и е/~' — произвольные фазовые множители. Уравнение (26.19) называется характеристическим. Его левая часть сводится к многочлену от параметра 2. степени т. Характеристический многочлен имеет вещественные или комплексные корни 2/ (/ = 1, 2, ...., т), называемые собственными значениями матрицы а. Сумма собственных значений равна коэффициенту при (- Х) и сводится к сумме диагональных элементов т — 1 матрицы а. Эта сумма называется следом матрицы а (по англ.
— !гасе, по нем. — зрш) — — ал. = !г а = зр а . у / Произведение собственных значений равно свободному члену уравнения, совпадающему с определителем (детерминантом) матрицы а: Пг. = ! а ~ = де! а. / Собственные значения, следы и определители матриц при их транспонировании не изменяются. Собственные значения треугольных (диагональных, в том числе) матриц равны их диагональным элементам.
Пример. Пусть 12 — ~1 г г а=1 ~, (а-)~1)=(2 — 2.) — 1=2. — 42.+3=0. 2~' Корни уравнения 2.! = 1, 2.2 = 3 являются собственными числами матрицы а, их сумма равна ее следу !г а = 1+ 3, их произведение -определителю ! а ( = 4 — 1 = 3. Собственные векторы матрицы. Собственным вектором (здесь вектор-столбцом) матрицы а, соответствующим собственному значению гзч называют вектор ц = н/, удовлетворяющий уравнению (26.18) при 2. = гр Собственные векторы обычно нормируются: ~н.~ =ив'н =1.
Пример. Найдем собственные векторы матрицы предыдущего примера. Поочередно подставляя в (26.18), (26.20) значения г.! = 1, и! = !! ц!! цг! !! и Хг = 3, вг = !! н!2 н22 )1, приходим к системам уравнений для составляющих собственных векторов и! и нг (2-1)и!! — /иг! =О, (2-3)иш -!игг = О, !и!! =(2 1)иг! =0 !и!2 + (2-3)игг — — О, 1и!! ! +!иг!! =1 2 2 )и!2 ~ +~игг ~ =1. г г Собственные векторы в1 и нз взаимоортогональны ~т в! п2 =О.
Случай пучка (пары) квадратных матриц. Под пучком [6.72, 6.73) понимается пара тхе матриц а, Ь, одна из которых Ь, по крайней мере, положительно определенная (разд. 26.5). Собственные значения и собственные векторы пучка вводятся нз видоизмененного уравнения (26.18): (а — Л Ь) в=О. Понятие пучка матриц используют в теории моно- импульсной пеленгации источников излучений на основе двух гл-элементных антенных решеток или подрешеток (разд. 25.6.4). 26.6.
Ортогональное представление и диагоналиэацин эрмитовых и симметрических вещественных матриц Ортогональное представление матриц рассматриваемого вида. Для этих матриц (определения см, в разд. 26.1): ° собственные значения вещественны; ° собственные векторы, соответствующие различным и собственным значениям, взаимоортогонапьны; ° собственнь!е векторы, соответствующие одинаковым собственным значениям, могут быть ортогонализированы.
Можно ввести поэтому систему гл векторов, удовлетворяющих условию ортонормироваиности: если /=1, цтв (О, если унй Справедливо ортогональное представление матрицы тхе через ее собственные векторы н, и собственные значения ЛН и а=~ Л,ц,п,т. (26.22) ~=1 Подставив (26.22) в левую часть соотношения (26.18), можно убедиться в соблюдении (26.18) для всех пар Л = Лл в = вл если соблюдается (26.21).
Последнее справедливо для рассматриваемых классов матриц. Знак сопряжения * в (26.21), (26.22) для вещественных матриц выпадает. Приведение квадратичных форм к простейшему виду. Имеются в виду квадратичные формы на основе матриц, для которых справедливы соотношения (26.21)-(26.22). Для эрмитовых матриц п тая=~ Л,(ц тц,) =~Л,)в,)~. (2623) ~=! ю=! 'т где Л = н в, — комплексное число, ! в, ) — его модуль. Для симметрических вещественных матриц п ац=~Л,в,, (26.24) г=! т где а = п п,— вещественное число.
Квадратичные формы (26.23), (26.24) положительны (положительно определенные) при всех отличных от нуля векторных аргументах и, если все собственные (26.26) знак сопряжения в случае ортогональных матриц опускается. Определитель произведения 1) 1) равен Йе! (1) 1)) = 1; Из (26.! 4) н (26.26) следует 1) =ТГ. (26.27) Диагонализацня эрмнтовых и симметрических матриц. Сводится к представлению их в форме а=!)Л!1 =!)Л!Г, (26.28) где Л вЂ” диагональная матрица собственных значений: Л= сйа8(Л!, Лгь ..., Лм). (26.29) Выражения (26.28) и (26.22) эквивалентны.
В этом можно убедиться, используя правило перемножения блочных матриц (26.10), в данном случае - матриц вида (26.25) и диагональной матрицы (26.29), и условия ортонормированности собственных векторов (26.2 ! ). След и определитель матрицы являются илвариавтаии диагонализации: !г Л = !г а, бе! Л = сне! а. (26.30) Примеры использования см.
в разд. 8.2.4, 25.3, 27.5. 26.6. Функции от неособых эрмитовых и симметрических матриц Степенные функции. Используя (26.29) и (26.21), можно представить квадрат матрицы а в виде а2 = и Л !) ! 1) Л Ц ! = 1) Л (1) ~1)) Л 1) ! = Ц Л2 П !. 3 4 Аналогично, а „а ... и произвольную целую степень матрицы аа можно представить в виде аН = !) ЛН 1) !, где Л! — !11а8 ( Лн Лн Лн ) Матричные многочлены н ряды. По аналогии с многочленом (рядом) от скалярной переменной 2 Яв) = со + с!в + сзв можно составить матричный многочлен (ряд) 2 Яа) = со + с! а + 42 а + ... В развитие предыдуших результатов Яа) = !) сйа8 !Г(Л!),ЯЛ2), ...,ЯЛ )) 1Г . (26.31) 467 значения матрицы а положительны.
Аналогично вводятся отрицательно и неотрицательно определенные квадратичные формы. Унитарные н ортогональные матрицы. Сводятся к блочным вектор-строкам, составленным из собственных вектор-столбцов исходной матрицы а: !2 =11ц! ц2 ... в~в!1, н = )( и, 11. (1,)'= 1,2, т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
