Радиоэлектронные системы Основы построения и теория. Справочник . Под ред. Я.Д. Ширмана (2007) (1151789), страница 207
Текст из файла (страница 207)
Условная вероятность Р(А ) В] трактуется как отношение площади перекрытия областей А и В (рис. 27.!) к площади, соответствующей области В, т.е. Р(А ) В] =21 8= 11 4. Аналогично, Р(В ) А)=2! 4= 1/ 2. Рис. 27.1 27.1.2. Основные привили теории вероятностей Правила теории вероятностей обосновываются: ° на физическом уровне строгости; ° на основе теории множеств и аксиоматики А.Н.
Колмогорова. В первом случае дают геометрические пояснения, вводя события «равновозможного попадания» в обьединяемые и пересекающиеся двумерные области, во втором случае сводят эти понятия к теории множеств. Правило сложения вероятностей несовместимых событий. Вероятность осуществления какого-либо из произвольного числа и несовместимых событий А ь А,,..., А„, равна сумме вероятностей этих событий Р(А]=Р(А~~-~Аз~-/" Ак) =~'„,Р[А») (271) К=1 Знак н используется в смысле так называемого объединения событий, передаваемого обычно словом ИДИ.
По существу, это правило использовалось уже при геометрической трактовке вероятности составных событий А и В на рис 27.1. Правило умножения вероятностей. Вероятность совместного осуществления двух взаимозависимых случайных событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, 460 т.е.
вероятность этого появления, вычисленную в пред- положении, что первое событие совершилось, Р[АгсВ] = Р[А ] Р[В )А) = Р[В) Р[А /В). (27.2) Знак гс используется в смысле так называемого пе- ресечения событий, обычно передаваемого словом И. В частном случае независимых событий Р[В)А] = Р[В) и Р[А )В] = Р[А), так что Р[Аг В] = Р[А ] Р[В ] = Р[В] Р[А ]. (27.3) Геометрическое пояснение правила умножения вероятностей для случая независимых событий (рис. 27.2).
Области, соответствующие событиям А и В в данном случае не перекрываются, причем, как и на рис. 27.1, Р(В)=8Л2 =2/3, но в данном случае Р(А)=2/12 = 1/ 6. Рне. 27.2 Из 144 равновозможных комбинаций совмещения собьпий й,(1 =1,...,12) и ь2,(/ =1,...,12) только 16 комбинаций принадлежит совмещениям событий А, (с' =1,2) и В, (/ =1,...,8). Вероятность Р[АгсВс= 16/ 144=1/9, что согласуется с (27.3). Геометрическое пояснение правила умножения вероятностей для случая взаимозависимых событий (рис. 27.1). Пусть событие А свершилось. Из 144 равновозможных комбинаций совмещения событий 12, (1= = 1,...,12) н ь2 с (/ =1,...,12) отпадают комбинации не только такие как «ни А и ни Вс>, но и такие как «не А, но В», Тогда Р[Аг В) = Р[А ] Р[В ]А]=(1/ 3)(1/ 2)=1/6.
Аналогично Р[АгВ] = Р[В] Р[А /В]=(2/3)(1/4) =!/6. 27.1.3. Формула полной вероятности Эта формула относится к случаю, когда события Вс, Вь...,В„несовместимы, охватывают все множество й элементарных событий, исчерпывают результаты эксперимента, т.е. (27.4) » Р[А гс В/с], /с=! (27.5) что поясняется геометрическим построением рис. 27.2. и взаимозависимы с интересующим нас событием А. Это значит, что существуют пересечения событий (АгсВс), (АлВ!) ..., (АгсВ„), при том несовместимые.
Из правила сложения вероятностей несовместимых событий следует Р[А] = Р[(АгсВ!) ч/ (АгсВ !) .э... (Аг В,)] = Применяя к слагаемым суммы правило умножения вероятностей, находим формулу полной вероятности. » Р[А] = ~ Р[А ) Вс )Р[В» ) .
/с=! (27.6) 27.1.4. Формула Байеса Эта формула относится к случаю, когда события Вс, Вз,..., В„, взаимосвязаны с событием А, несовместимы и охватывают все множество ь) элементарных событий, так что справедливо равенство (27.6). Используя двоякую запись правила умножения вероятностей (27.2), находим Р[В, (А)= ' ', (277) Р[А] Подставляя значение знаменателя (27.7) из формулы полной вероятности (27.6), находим формулу Байеса Р[В, 1А)= Р[А ( В,)Р[В, ] ~ Р[А] Вв]Р[Вс ] /с — — ! (27.8) С" = т]/'(и - и)! и! .
(27.8а) Используя правило сложения вероятностей, можно прийти к распределению Бернулли Формула Байеса позволяет сопоставить послеопытные (апостериориые) вероятности гипотез о событиях В, при условии, что событие А осуществилось на опыте. При этом учитываются: ° доопытные (априорные) вероятности гипотез Р(В); ° информация о связях появления события А прн различных условиях В» определяемая условными вероятностями Р[А ! В,). Безусловную Р[А] и условные Р[А ] В,) вероятности события А называют прямыми вероятностями, а условную вероятность Р[В,! А] — обратной вероятностью.
Формулу Байеса называют поэтому формулой обратной вероятности. Она широко используется для синтеза алгоритмов обработки сигналов (разд. 15, 16, 20, 22, 23). 27.1.В. Последовательности независимых испытаний Схема Бернулли. Сводится к т независимым повтаренияи эксперииента, в которых с вероятностью Р совершается событие А и с вероятностью Д = 1 — Р ему противоположное А . Изучается вероятность и-кратного появления события А, а значит (т — п)-кратного противоположного ему события А . Вначале задаются вероятностью, удовлетворяющей требованиям задачи при каком-то выбранном порядке следования исходов эксперимента, например, ААААААА ....
Вероятность данного исхода по правилу умножения вероятностей составляет Р О Р Р д Р»О»с-» Но и другой порядок следования исходов, например, АААААА... при повторении условий задачи дает Р Р Р Р Р»О»с-» Число вариантов порядка следования исходов определяется известным числом сочетаний изт поп 461 0 25 о. 015 О1 ОО5 Рис. 27.3 Е„( 0)=0, р»(с)=1. ч(у) 05 05 03 0.25 0.2 015 О.! 0.05 О Рч(У) О а) О б) Рнс. 27.5 Рис. 27.4 4б2 Р (н)=С Р Д (27. 9) Вероятности Р (н) исходов для Р = 0,5, а т = 1О и т=50, представлены на рис.
27.3. Их сумма сводится к биному Ньютона (Р4«Я"'=!. Распределение Бернулли называют поэтому бинамиальным. Наиболее вероятны средние значения н= Р„; — 1 0 5 10 15 '0 «5 ЗО 35 40 45 50 Распределение Пуассона. Соответствует эксперименту по схеме Бернулли для редких событий А применительно к каждому испытанию при заданном среднем их числе Х для большого числа испытаний т» 1. «Редкость» события определяется малой вероятностью Р=2.
/ т появления события А в каждом испытании. Подобные ситуации часто встречаются на практике: ° мала вероятность Р отказа серийной РЭС на протяжении ! ч ее работы, однако на протяжении ! г. ожидается некоторое число Х отказов; ° мала вероятность Р вызова районной АТС отдельным абонентом в текущую минуту, однако от абонентов района ожидается некоторое число Л вызовов; ° при слабом световом потоке вероятность Р поступления кванта на фотоприемник за малый интервал времени мала.
Эффект приема соответствует поступления в среднем 2. квантов в единицу времени. В указанных случаях используют асимптотику (27.9) при т -+ ьа — распределение Пуассона )» Р(н) = Р (и) = — ехр(-Л) . (27.10) л! Расчет вероятностей Р(и)исходов испытаний для 2=0,5 и 2=15 представлен на рис. 27.4.
О 5 1О 15 20 25 30 Обоснование асимптотикн Пуассона. Сомножителя (27.9) С" Р" и Д " переходят при т-+~с и конечных значений ив Х ~н! и ехр(-Х). Так, выражение С" Р" при этом переходит в Вводя число М= ! ! Р = т ! Х, замечая, что значение (! — 1/М) -+е при М вЂ” ь«5, н используя правило м возведения степени в степень, далее получают дь' " = 1- — = 1- — 1- — - ыехр(-Х). 27.2.
Случайные величины Случайными нтывают.математические всвичины, наяквяющився в рвзульта»1е случайных событий (разд. 27.1). Ниже приводятся сведения об одномерных и многомерных случайных величинах, а также о многократном суммировании случайных величин, часто приводящем к нормализации законов распределения. 27.2.1.
Функции распределения и плотности вероятностей одномерных случайных величин Функция распределения вероятностей. Функцией распределения вещественной одномерной случайной величины 5) называют зависимость вероятности события, состоящего в том, что эта величина не превышает некоторого порогового значения у: Еч(у)=Р(г! ~у).
(27.11) Как характеристика случайных величин, функция распределения удобна для описания как дискретных, так и непрерывных величин. В обоих случаях она является неубывающей функцией, изменяющейся от нуля до единицы: Рис, 27.5,а соответствует вещественной случайной величине гь имеющей дискретные значения у!'1, ! = = 1,2...,Мс вероятностями Рг Рис. 27.5,б соответствует вещественной случайной величине, принимающей непрерывные значения у с плотностью вероятности р„(у). Плотность вероятности одномерной непрерывной случайной величины.
Определяется как предел отношения приращения функции раснредтения Рч (у ) к приращению Лу порогового значения у при стремлении Лу к нулю, т.е. как производная функции распределения по пороговому значению (рис. 27.5„в) Р„(у+ йу) — Р„(у) дР„(у) р (у)= й " " " . (27,12) ах-ОО йу 4~ Можно также определить плотность вероятности случайной величины, не вводя функции распределения, 1ш У-Ч у+ р„у = пп В силу (27.11) определения (27.12) и (27.13) эквивалентны. При любом определении вероятность попадания случайной величины Ч в малый интервал ~ф > О (рис. 27.5,6) составляет рч Ы4' Площадь под графиком плотности вероятности соответствует значению Гч ( с) = 1 и равна единице: О 1рч (и)~" Обобщенме понятия плотности вероятности на дискретные случайные величины.
При использовании обобщенных функций (дельта — функций) определения (27.12), (27.13) распространяются на дискретные величины. Выражение плотности вероятности дискретной случайной величины Ч, принимающей значения ут с вероятностями Рл, имеет вид ,ич Ы=ХРаЮ(у-у( )). Условная плотность вероятмостн. Определяется из соотношения (27.13) или пары соотношений (27.11), (27.12), если вероятность РЫ заменяется на условную Рч (у~ В).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
