Радиоэлектронные системы Основы построения и теория. Справочник . Под ред. Я.Д. Ширмана (2007) (1151789), страница 206
Текст из файла (страница 206)
(26.25) Они называются унитарными (уннтарными комплексными), если исходные матрицы а эрмитовы, и ортоговатьными (унитарными вещественными), если они симметрические. В силу (26.2!) !) 1) =1, ЛИа' =( дЬ '/д)х) '. е' '"' "=е =е сс(а) + р(а). др'(а) Ыа'(а) Ыа с/а (26.38) В частности, д(п ч)/г/н =ч, с/(и ч)/с/ч= п. (26.39) (26.40) — (и ао) = 2ав ~т дв (26.42) д т ба ба "'да 458 Выражение (26.31) позволяет вводить разнообразные функции от матриц, если для соответствующих функций /(Х,) скалярных аргументов Х, (/=1,2,...,т) известны разложения в ряд.
Матричные экспонента (экспоненциал) и логарифм. Согласно (26.31) матричная экспонента (экспоненциал) определяется выражением Ь=е =()йа8[е ',е ',...,е )!) . (26.32) Матричный натуральный логарифм — функция, обратная экспоненциалу: !и Ь= а. Равенство логарифма определителя матрицы следу ее логарифма. Применяя второе из соотношений (26.30) к (26.32), можно получись де! Ь = де! (а!ай [с~',е ' ...,е'"']). Вычисляя определитель диагональной матрицы и используя первое из соотношений (26.30), получим откуда следует формула 1п бес Ь= 1п ) Ь ! =сг!п Ь. (26.33) Она используется в Справочнике в разд. 13.7 и 21.8.
Корень квадратный из матрицы. Это такая матри- ца Ь рассматриваемого класса, для которой ЬЬ=а или ЬЬ =а, где а = !) йа8 () с, Хг, ..., Хт) (à — заданнаЯ матРица, например: Ь=!)Йаб[,/Кс»Гг "., /Г )!) '. (26.34) Обращение матриц рассматриваемого вида. Сводится к процедуре Ь = !) Йаб(Х/',Хг', ..., Х,„)!) . (26.35) где Хс, Хг, ..., Х~ — собственные числа, а !) -унитарная матрица. 26.7. Векторно-матричное дифференцирование Производная матрицы по скалярному параметру. Это матрица, составленная из производных элементов матрицы а = 11 а,я !! по скалярному параметру; ;с/а / с/су = !! г/ам/ ту 11. Производные скалярного параметра по векторному. Производная скаляра с!» по вектору а называют градиентот су, который в литературе представляется в виде строчного или столбцового вектора.
В Справочнике производная скаляра по векторстолбцу а представляется вектор-столбцом: — — (26.36) т производная же по вектор-строке а — вектор-строкой: Производная вектор-строки по вектор-столбцу. Пусть задана 1хт вектор-строка Ь' = 11 Ь! Ьг ... Ьт 11, являющийся функцией пх! вектор-столбца а =1!1 а! аг ... а„!! . Производные с/Ь, /о!» скалярных составляющих Ь, вектора Ь' — это вектор-столбцы типа (26.36). Производная всей строки Ь' по вектор-столбцу а сводится к блочной вектор-строке градиентов или матрице пхт частных производных аЬ'/с/сс = !! с/Ь,Ыа !! = '!! дЬ,/да !!. (26.37) Производная Иа~/Ыа = ! является единичной матрицей.
Производная вектор-столбца по вектор - строке. Сводится к транспонированной матрице (26.37) Производная от скалярного произведения двух вещественных векторов по вектор-столбцу: — й '(а)Ч(а)3= — )ц'(а)р(а)[= — Е. р (а)9 (а) = Производная вещественной квадратичной формы с симметрической матрицей. Согласно (26.40) »/, ! д асс~ »/(а ) — (в ап) = ~ами,ие = — ап+ и = ~/и ~ди/, с ' ' е/в дп =1 а и + ! а п = (а + а ) в =2 ~ амик = 2 а и. (26,41). Производная комплексной квадратичной формы с эрмитовой матрицей. Комплексную квадратичную форму обычно сводят к вещественной квадратичной форме удвоенной размерности (26.11а). Результат (26.4! ) распространяется после этого на заданную комплексную квадратичную форму: Вторая производная скаляра по вектору.
Полагаем, что первой производной скаляра у по вектору а является вектор-столбец. Ь =д!!»Яа Чтобы прийти к квадратной матрице Якоби — Гессе, определяем вторую производную о у/да как Н(с/Чг с/а) На . Тогда с/ с!»/г/сс =дЬЫа =!1д у/да,да !!. (26.43) Используется в разд. ! 4.3.4 и! 7.10.2. Производные степеней и логарифмов матриц по этим матрицам. Определяются матричными соотношениями, аналогичными соответствующим скалярным: с/а" /На=па ', Ы1ла/На=а'.
(26.44) 26.6. Особенности организации матричных вычислений К матричным вычислениям (см. разд. 17 и 25) можно отнести решение систем линейных уравнений, вычисление обратных матриц, функций от матриц [6.72, 6.73). Организуя матричные вычисления, добиваются их экономичностью и разрядностью, необходимой для достижения требуемой точности результата. Организация матричных вычислений существенна не только при программировании для серийньгх ЭВМ, но и построении специализированных вычислителей, устройств адаптации в особенности. Так, обращение матрицы на основе присоединенной (см.
разд, 26.3) неэкономно при 2 больших размерах тхт, требует проведения т! т операций умножения-деления. Сокращение числа операций до 3 величин порядка т связано с факторизацией обратной матрицы (ее разложением на матрицы-сомножители) и обиулением элементов последних. В разд. 25 некоторая матрица а умножается слева на матричные множители Рь Р2, ..., Рь так что недиагональные элементы произведений обнуляются, а элементы на главной диагонали — обращаются в единицу. Произведение приводится к единичной матрице Р1 ... Р2 Р1 а = 1, т.е. обратная матрица принимает вид а = Рг ...
Р2 Рь (26.45) Ниже рассматривается приведение матрицы а к треугольной, что также используется в разд. 25. Метод исключения Гаусса. Пусть задана система т линейных уравнений для скалярных неизвестных г,;. гь ...г,„, аПГ, Ьа|2Г2+з. ЬаЬНГЫ =и,, аз|У~ ьа22Гз.ь...+аз У =нз, (26.46) а 1У1-ьа зуз+...Га Г =и Она равносильная матричному уравнению аг=о По методу Гаусса первая переменная исключается из всех уравнений кроме первого, вторая — из всех уравнений кроме первого и второго и т.д. Предварительно первое уравнение умножается иа -! а|~ .
Последующие уравнения умножаются иа значения ан (1 = 2, 3, ..., т) и вычитаются соответственно из второго, третьего и т.д. уравнения, что обеспечивает исключение переменной гь Аналогично обеспечиваются исключения переменных г2, гз, ... из соответствующих уравнений. Система уравнений (26.46) переходит в равносильную: Г1 +1цзг2+ - +)сыгы г2 + ... + 62тг,„= .Г2 ° (26,47) Описанную процедуру называют нрячыч ходам .четода Гаусса.
В результате прямого хода сразу определяется искомое значение гль Обратный ход метода Гаусса позволяет найти искомые значения гы и ..., гь Значение г„, 1 находится из предпоследнего уравнения (26.47), поскольку значение Гт Ужс ИЗВЕСТНО. ЗНаЧЕНИЕ Гы 2 НаХОДИтСЯ ИЗ тРЕтЬЕГО снизу уравнения (26.47) и т.д. Векторно-матричная интерпретация метода Гаусса. При прямом ходе Гаусса исходная система уравнений а г = и преобразуется в промежуточную систему Ь г= 1, (26.48) где Ь вЂ” верхняя треугольная матрица.
-! В результате прямого и обратного хода матрица а сводится к нроазведению двух треугольных матриц— нижней и верхней. Для удобства расчета треугольные матрицы формируют с единичными элементами на главных диагоналях. В этом случае между треугольными сомножителями вводят промежуточные диагональные матрицы. О вариантах факторизации, включая (26.45), см. в разд. 25.5. 26.9. Обращение матриц специального вида Часто приходится обращать матрицы вида Р =К+ЛБА т, (26.49) где Р и К вЂ” тх т матрицы, Я- ахн матрица, а Л вЂ” тх н матрицы, Умножив (26.49) на матрицу К' слева и на матрицу Р справа, получим К = Р +К Л(ЯЛ ~Р ) . (26.50) Искомая матрица Р' входит в (26.50) как непосредственно, так и в составе произведения ЯЛ* Р .
Чтобы найти это произведение, умножим (26.50) на БЛ ': ВЛ' К 1=(1+9Л' К ~Л)ВЛ' Р ~, (2651) так что: БЛ ГР =(1+БА ГК А) ЯЛ ГК . (26.52) Подставляя произведение (26.52) в (26.50), окончательно находим: р-' =К '-К 'Л (1+9Л"К 'Л) 'ВЛ"'К '. (26.53) Обращение вида (26.49)-(26.53) широко используется в разя.
17, 18, 22, 25 Справочника. 469 27. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Используются в разд. 12-13 и 15-25 Справочника. Предметом теории вероятностей являются закономерности, проявляемые в случайных явлениях, обладающих статистической устойчивостью (повторяемостью). Объектами изучения являются: ° случайные события; ° случайные величины; ° случайные процессы и поля; ° потоки случайных событий; ° статистика выборочных распределений. 27.1. Случайные события Случайным сабытиеч называют непрвдсказуечый, но повторяющийся результат эксперимента. Специально выделяют случай достоверных и несоачестичых событий.
Достоверное событие происходит при каждом испытании. События называют несавместичылчи, если появление одного из них исключает появление другого. 27.1.1. Определения вероятности и условной вероятности Основные определения вероятности. На физическом уровне строгости вводится частота появления не«отирала сабыпшя А.
Так называют отношение числа появлений события А к числу проведенных экспериментов. При достаточно большом числе экспериментов частота появления становится обычно устойчивой, т.е. несущественно изменяется при дальнейшем увеличении этого числа. В этом случае говорят, что частота появления переходит в вероятность Р(А] события А. Вероятность (как и частота появления) реализаций всех исходов эксперичента равна единице (какое- либо событие обязательно произойдет!). Вероятность (как и частота появления) какого-либо из двух несавместичых событий (т.е не могущих произойти одновременно) равна сумме вероятностей осуществления каждого из этих собьпий. В абстрактной математике отвлекаются от экспериментальной основы знаний, как в геометрии, например.
Вместо понятия «результат экспервчента» вводят понятие «элементарное событие», несовместимое с другими элементарными событиями. Вместо понятия множества «результатов эксперимента» вводят понятие «множество элементарных событий й». Понятие частоты появления результата эксперимента исключается. Вероятность и ее свойства определяются тогда аксиомами А.Н.Колмогорова, подобными аксиомам Евклида в геометрии и сформулированными на языке теории множеств. В элементарном изложении суть этих аксиом соответствует данным эксперимента и заключается для практики в следуклцем (6.63): ° каждому событию А соответствует вероятность Р[А) события А, причем 0 < Р(А] ь1; ° вероятность достоверного события й равна единице: Р(й) =1; ° вероятность осуществления какого либо из двух несовместимых элементарных событий равна сумме вероятностей каждого из событий.
Геометрическое пояснение понятия вероятности. Пусть совокупность множества элементарных событий (вероятностное пространство й) состоит из 12 равно- возможных взаимоислючающих событий с вероятностью каждого Рь-П12 (рис.27.1). Составные события А и В объединяют соответственно 4 и 8 равновозможных событий. Вероятности их осуществления определяются отношениями плошадей, соответствующих составному событию А (или В) и всей совокупности событий й, т.е. Р(А)=4)12=113 и Р[В)=8Л2=2!3. Еще возможно событие «ни А, ни В» с вероятностью появления 2/12=1!6.
Понятие условной вероятности. Относится к взаимазависичы.ч сабытикч, например А и В, т.е. к случаям, когда вероятность события А зависит ат того, произошло ли событие В или нет. Пользуясь понятием частоты появления или же используя строгую аксиоматику, можно ввести; ° вероятность Р(А ) В) события А при условии, что произошло событие В; ° вероятность Р(В ) А] события В при условии, что произошло событие А. Геометрическое пояснение понятия условной вероятности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
