Радиоэлектронные системы Основы построения и теория. Справочник . Под ред. Я.Д. Ширмана (2007) (1151789), страница 210
Текст из файла (страница 210)
Однако (27.42) рассчитано на усреднение отсчетов только одной достаточно продолжительной стационарной случайной последовательности. Возможность же замены усреднения по реализациям усреднением по времени (номерам отсчетов) часто также существует и называется свойством их эргадичности. Для стационарных в широком смысле случайных последовательностей свойство эргодичности справедливо для математических ожиданий н ковариаций.
Стационарные векторные н стационарно-связанные скалярные последовательности. Пусть векторная последовательность разбивается иа несколько скалярных. Для ее стационарности в некотором смысле необходима стационарность скалярных последовательностей в соответствующем смысле. Необходима, кроме того, стационарность связи между скалярными последовательностями. Соотношение (27.44) должно выполняться, в частности, если некоторый случайный элемент т' принадлежит первой скалярной последовательности, а элементт'- второй. 27.3.2. Случайные процессы с непрерывным временем Случайные процессы с непрерывным временем описываются по определению непрерывными случайными функциями т)(г). Для описания свойств функций т)(г) выбирают ряд моментов времени б, т=1,2,..., в которых функция приобретает случайные значения т)(г,) = т1,.
На этой основе вводятся все характеристики непрерывных случайных процессов, рассмотренные для случайных последовательностей, например, математическое ожидание М[т)(Г,)) = М[т)(г)) и коваРиации тР тт=тР (т „Г,). Стационарные случайные процессы с непрерывным временем. Обозначим через у(т) реализацию случайного процесса т1(г) с непрерывным временем и введем реализации случайных отсчетов в произвольных точках у, = у( т,). Условие стационарности вещественного процесса в узком смысле (27.41) преобразуется тогда к виду Рч[у(Г~) У(тт) " У(ть)1 = = р„[у(г, +г),у(г, +г),...,у(ты .ьг)], (27.45) где т — произвольный сдвиг во времени, заменяющий в (27.41) дискретный временной на произвольное число интервалов дискретизации )г. Условия стационарности вещественного в широком смысле процесса (27.42) и (27.43) или (27.44) принимают вид М(п(т,)) = М(п(т н,)) = М(п), (27.47) Чз(т;,т ) В)(ГО+и) тб;-Ь)) или у (т;,т ) = у(т; - т ) = р(т), (27.48) где т =т; — г .
Свойства эргодичности стационарных случайных процессов в широком смысле принимают вид 1 тю М(тД = )пп — ) ц(т)аг, (27.49) т~ Т тзз 1 т~! р(т) = 1пп — ! (О(т) — М(г)1 (т)(г — т) — М(т)](т . (27.50) т Т(2 ! з)(т)ехр(-)2крт)ат -Т/2 1 Яо(г) = 11ш — М Т-ьь Т (27.53) Теорема Винера-Хинчина.
Утверждает, что спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса (27.53) сводится к преобразованию Фурье его корреляционной (ковариационной) функции (27.51): оо(г) =о(г). (27.54) Корреляционную функция ~р(т) и спектр мощности 5о(Р) стационарного случайного процесса (27.53) оказываются парой взаимных преобразований Фурье. 27.4. Потоки случайных событий Потоком случайных событий (случайным потоком) называют процесс, зависящий от произвольного параметра а (скалярного нли векторного) и характеризующий число точек Ю(а), случайно выпавших в некоторых пределах между аь < а и а.
Преобразование Фурье корреляционной (ковариационной) функции стационарного случайного процесса. Определяется интегралом Фурье Я(Р) = ~ р(т) ехр(-)2хГт'у!т, (27.51) откуда корреляционная (ковариационная) функция ~р(т) = ) Б(Р)ехр()2хрт)т(Г . (27.52) — в Спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса. Как и неслучайная функция, реализация з) (т) случайного стационарного в широком смысле процесса может быть подвергнута преобразованию Фурье на интервале — Т) 2 < т < Т/ 2.
Затем ° модуль фурье-преобразования реализации т1(т) возводится в квадрат, усредняется по множеству реализаций и делится на интервал наблюдения Т; ° интервал Т устремляется к бесконечности. Спектральная плотность мощности стационарного случайного процесса (энергетический спектр) это: ность совершения ровно т со- бытий за время т определяется законом Пуассона (27.10). За- меняя ).=2<т, имеем т=4 Рис. 27.7 Р„,(т) =().ьт) е ""!т1, (27. 55) Здесь 2< — интенсивность потока событий, т.е. среднее их число за единицу времени; т! = 1.2 ...
т(т > 1),О! = !. Наложения простейших потоков создает простейший поток с суммарной интенсивностью ).,х . Плотность вероятности распределения интервалов между событиямн в простейшем потоке. Элементарная вероятность события (рис. 27.8) р(Т)т)! = Рд(Т)Р!(Я. (27.56) В левую часп выражения (27.56) входит искомая плотность верояпюсти р(Т) и интервал сй, в Рис. 27.8 правую — вероятности отсутствия собьггия Ро(Т) на интервале Т и появления Р!(т)г) на интервале й.
Используя (27.55) при т = О, т = Т и при т = 1, т = Ыт, пренебрегая малыми высшего порядка и сокращая обе части равенства на с(г, приводим (27.56) к виду Случайные потоки принадлежат к случайным процессам с дискретным множеством состояний. По существу, случайный поток — это обобщенная форма случайного процесса с двумя состояниями (да, нет или О, 1) и, в общем случае, со случайной дискретизацией.
К числу обьектов, образующих случайные потоки во времени, относятся потоки фотонов (см. разд. 13, 17), вызовов телефонных станций (см. разд. 12), неисправностей (см. разд, 12) и т.д. Потоки целей и помех в радиолокации (см. разд. 23, 26) могут рассматриваться не только как временные, но и как пространственно- временные потоки. Модели случайных потоков. Этш ° стационарные и нестационариые потоки; ° ординарные и неординарные потоки; ° потоки без и с последействнем.
В модели стационарного потока вероятность наступления некоторого числа событий за интервал времени ьт = 22 — П и порядок их появления определяются только Тзт, а от моментов г! и т2 не зависит. Если это условие ие выполнено, поток называют нестационариым. Поток называют ординарным, если, упрощенно, события появляются поодиночке, а не парами нли тройками. Точнее, вероятность появления двух событий за малый интервал времени дт является величиной высшего порядка малости по отношению к вероятности появления одного события.
В неординарных потоках это требование не выполняется (потоки пусков нескольких ракет по каждой из целей). Возможны потоки с последействием и бвз после- действия. Последействием называют влияние конкретного события на появление последующих событий. Простейший поток событий. Это стационарный и ординарный поток без последействия (стационарный пуассонавский патон). Отсутствие последействия позволяет считать цепь интервалов между событиями марковской (см. разд. 13.7.7, 13.8 и 223, 22.5). Модель потока схематически изображена на рис.
27.7. Вероят- 4ЕВ Р(7') — )„е ~с (27.57) что соответствует экспоненциальному закону плотности вероятности интервалов Т между событиями. Математическое ожидание Т, и дисперсия ог интервалов Т 2 между появлением событий соответствуют выражениям Т, =1/2,, о»2 =1/Х~ . (27.58) Среднее число событий й, произошедших за определенное время т, определяется выражением л =2. т. е Плотность вероятности моментов»ь»ь ..., /„при условии появления ровно л независимых событий сводится к произведениям одномерных плотностей Р(Г» /2 ".А л) =ПР(/»).
»=» Плотность вероятности р(0) пропорциональна интенсивности 2.,(т) потока событий в момент наблюдения»;, т.е. Р(»,)= к2,, где й = 1/й . Тогда (27.60) записывается в упрощенном виде р(/»,/2,...,/„~п)= Х",/й" . (27.61) Другие рассматриваемые потоки событий: ° потоки Эрланга (см.
равд. 12.2.2); ° отрицательно-биномиальные потоки (см. равд. 13.8.4); ° потоки Бозе-Эйнштейна (см. равд. 13.8.4). 27.8. Статистика выборочных нормальных распределений Выборки из совокупностей случайных величин позволяют выносить заключения о неизвестных параметрах распределений. Применимосп модели нормального распределения для оценивания параметров проверяют по критерию согласия, на чем не останавливаемся.
При недостаточном объеме данных инженеры привлекают доопьггные (априорные) сведения (см. Рвзд. 20-25). Распределение хн-квадрат с п степенями свободы. Относится здесь к условной плотности вероятности р(в ! О) или элементу р(в ! Г»)»/в условной вероятности случайной суммы квадратов независимых гауссовс- ких величин у» с нулевым математическим ожиданием и известной дисперсией Вл в=Ху» =Х .
2 2 »=» Плотность вероятности»)=уз в силу (27.15) и табл. 27.1 равна у -» 2 ч р(»)) 1)~ к -4 Гъ (Ч 0)' Характеристическая функция распределения») согласно (27.20) равна Оч(/н)=(1-2р~Р)н ', а распределения у в силу (27.34) тогда составит 0„2(/н())= [О„(/»)]"' = (1-2/н(у) "'~. Плотность вероятности р(в ) П) в области в > 0 согласно обратного фурье-преобразования (27.21) будет: р(в/(у) = - в»" 2»не '2о. (27.62) 2"' 13"' Г(л/2) Здесь Г(и) = (и-1) Г(и-1) -гамма функция, равная (и-1)! для целых и и ~/к для полуцелого и=1/2. При 0=1 Р(в!1) 1 в("/~)»е '/2 (в > О).
(27.63) 2«/21 (л/2) Распределения (27.52), (27.63) относятся к классу гамма распределений (табл. 27. 1). Распределение Уншарта дли вещественных корреляционных матриц. Пусть из некоторой нормальной совокупности т -мерных векторов у =1у;~~ с известной симметрической квадратной тх т корреляционной матрицей»р =М(уу )=~р;;~, »,/=1,2,...,т и из них составляется выборочная корреляционная матрица в= ~~~„у( )(у ) =~в; ~, в;;= )~~у( )у() (лат). яи Ь» Свойства ее как многомерной случайной величины описываются элементами условной вероятности Р(в ~ »У)»/в = Р(вп Уы*" в„„~ б»)»гв»»»/в»2,.»»в„„, с условными плотностями вероятности р(в(ф). Последняя является многомерным обобщением плотности вероятности (27.62) для скалярного случая и составляет ~-~-1 »р " ~в! 2 ехр~--п»ф в)~ Р(в! ф) = ~2~ .
(27.64) Здесь )ф (=де»ф, )в(=де» в — детерминанты матриц ф, в, и( ) — след матрицы (произведения матриц). При т=1 формула (27.64) сводится к (27.62). Обоснования (27.64) содержатся в (6.51, 6.54, 6.56, 6.58, 6.59], относительно более простое (6.54] связано с введением характеристической функции, как и при т=1. Выборочные средние значения и оценки дисперсий н корреляционных матриц. Упомянутые выборочные средние определяются выражениями Пвыб Еу» и фвыб = с~ у 1у / л;» пв» Они совпадают с точечными оценками дисперсий 6 и корреляционных матриц ф по максимуму функций правдоподобия, так называемыми в настоящее время МП оценками (см.
рвзд. 20). Функциями правдоподобия являются приведенные выше р(в ~ П) и р(в ~ »р). В асимптотике больших п МП оценки (выборочные средние) 6~ 13« б и ф = ф,„в, как и в ряде других случаев (равд. 20-21), полностью отвечают своему назначению. При малых л возникает проблема мань»х выборок. Имеется' возмвкность оценивать П и ф по байесовскому критерию минимума среднего риска (см. равд. 20), а именно, по «центру тяжеспо> послеопытиых плотностей вероятности р(13 ) в), р(»р ! в), вводя разумные доопытные плотности вероятности р(13) и р(ф) (см. равд. 25).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
