Радиоэлектронные системы Основы построения и теория. Справочник . Под ред. Я.Д. Ширмана (2007) (1151789), страница 208
Текст из файла (страница 208)
Нормировка к единице (27.14) сохраняется. Обозначения н трактовка плотностей вероятности в физико-технических приложениях. Индексы случайных величин Ч исключают обычно из обозначений плотностей рч (у) и элементов рч (у)4 вероятности. Вместо индекса 11 часто ставят знак условия (см. разд. 13 — 25 Справочника). Распределение вероятности р(у) вдоль прямой у часто уподобляют распределению массы с определенной плотностью. Поскольку элемент вероятности р(у)4 — величина безразмерная, плотности вероятности р(у) придается размерность, обратную размерности у. 27.2.2. Функциональные преобразования одномерных случайных величин Плотности вероятноегм монотонных функций одномерных случайных величин. Монотонно возрастающие и монототонно-убывающие функции Р, =х (т)) непрерывной случайной величины т) играют заметную роль в теории вероятностей.
Полагаем, что обратные функции Ч =у (ь) в каждом из этих случаев существуют. Попадание случайной величины ~ в некоторый интервал х < Р < х+а".к, где сй > О, произойдет тогда и только тогда, когда величина О попадает в интервал: ° определяемый неравенствами у > Ч < у+ ф, где 4 4(х) > О, при монотонном возрастании (рис. 27.6,а); ° определяемый неравенствами у < Ч > у+ ~ф, где 4 = 4 (х) < О, при монотонном убывании (рис. 27.6,6).
В обоих случаях рт (х) ( Ой ~ = рч (у) ~ 4 ~. в) а) б) Рне. 27.6 Таким образом, р4 (х) = рч (у) ~ = рч[у (х)] ~ — -~ . (27.15) Например, при преобразовании случайной величины ~ =х(Ч)~' преобразующая функция х(у)=у~, у>0, а обрат- 1 ная ей функция у(х)= ОГх . Тогда р((х) †. рЧ (ОГх) . гчх Плотности вероятности немонотонных функций одномерных случайных величин. Немонотонность функций х= х(у) может вести к ряду пересечений прямой х =сопят и возрастающей или убывающей кривой х=х(у), в окрестностях которых вводятся обратные функции уи =уи (х), )т =1, 2, ...(рис.
27.6,в). Произведение в правой части равенства (27.15) заменяется в этом случае суммой произведений, соответствующих точкам пересечения 1 =1, 2, ..., т.е. рг (х) = ч арчи „(х)] —" — -: . (27.16) 4'я( ): ~й 27.2.3. Характеристики одномерных случайных величин Моменты распределений одномерных случайны* велнчмн. Моментом первого лорядка называют математическое ожидание (среднее значение) случайной величины Ч О М[Ч]= ]ирч(и)аи. (27.17) Моментом к-го нарядна (к =0,1,2,...) называют математическое ожидание (среднее значение) случайной величины Ч~ О М[Ч~] = ]и~рч(и)аи .
(27.18) Момент нулевого порядка представляет собой площадь под графиком плотности вероятности, равную единице согласно (27.14). Центральные моменты одномерной случайной величины. Центральным моментом/с-го порядка (к = =2,3,...) одномерной случайной величины Ч называют математическое ожидание (среднее значение) величины [Ч вЂ” М (Ч)]". Иначе, это 1т-й момент центрированной 463 На участках постоянства функции х(у) формула (27.16) выражается через дельта-функции.
Для функции произвольного вида у(х) плотность вероятности рт. (х) определяется выражением сО р~(х) = ] рч(х)8[х — у(х)]Ой. случайной величины Ч вЂ” М(Ч), т.е, величины, имеющей нулевое среднее значение, Ю М([с)-М[с)]]" ] = ](и-М[ц])" рч(и)сси . (27.19) Дисперсия н стандартное отклоненяе. Наиболее часто используют центральный момент второго порядка (й=2). Его называют дисперсией и обозначают Р= оэ. Корень квадратный с из дисперсии называют средне- квадратическим (стандартнын) отклонением. Дисперсия 33= оз и среднеквадратическое отклонение (СКО) с характеризуют разброс произвольной случайной величины с) вокруг ее математического ожидания М (ц).
Характеристическая функция одномерной случайной величины. Для случайных величин э) вводят также характеристические функции. Так называют математическое ожидание (среднее значение) экспонеициальной функции ехр(рч)), где г — вещественный параметр, 0 М[ехр()и~)] = ~рч(и)ехр(1чи)сйс =ВЧ()ч). (27.20) Характеристическая функция ВЧ( р ) является функцией введенного параметра г, полностью характеризующей плотность вероятности рч (у). Она представляет собой преобразование Фурье (спектр) плотности вероятности. В силу (27.14) значение 6„(0)=1. Следовательно, плотность вероятности рч (у) может быть восстановлена путем обратного преобразования Фурье характеристической функции вч(р ): , „(у) = — ]Вч()г)ехр(-,) )Ь. (27.21) 1 27.2.4.
Примеры моделей распределения и их характеристик (табл. 27Л) Таблица 27.1. Примеры моделей распределения одномерных непрерывных случайных величин н их характеристик Гамма- распределение (эксповепциапьпсе при а=1) Нормальное (гауссовское) распределение Модель распределения 1)а — х ей" Г(а) (х>0) Плотность вероятности р(х) (х-а) 1 е 20 ,('2яО арактеристическ функция 6(ч) ехр(сач- — ч ) 2 2 (1 — Я3 ч) " Математическое ожидание М[х] = а/[3 М[х] =а Дисперсия Р и стандартное отклонение о 0= о'= а/[3 Ряд моделей дополнительно приведен в разд.
13. Кумулянты (семиннварнанты). См. в разд. 13.7. 27.2.$. Функции распределения и плотности вероятностей мноаомерных случайных величин К числу многомерных случайных величин относятся случайные векторы, а также случайные матрицы. Пока ограничимся рассмотрением случайных векторов, задаваемых в форме вектор-столбцов, Примеры плотностей вероятности, центрнрованвых моментов н характеристической функции одномерных случайных велячнв.
Для нормальной (гауссовской) случайной величины у имеем: Р рч(у)= ~ е 2, вч(ч)=еу ~" ', (27.22) ; 2яо центрированные моменты М([с)-а] ) =(2й-1)о~", Р=п~. Ряд примеров приведен в разд. 13. Связь характеристических фуякцнй н моментов как характеристик распределений случайных величии. Дифференцируя выражение (27.20) я раз и полагая затем г = О, можно выразить момент й-го порядка через производную /с-го порядка характеристической функции при нулевом значении ее аргумента с И Вч(г) М[ц']= —," „~ Ю)" В свою очередь, если известны моменты произвольного порядка, то согласно (27.23) можно найти производные характеристической функции и восстановить ее в виде ряда Маклорена. Поскольку 6„(0) =1, то В (ч)=1+М[ц](р)+М[с)'] — — +... (2723а) 2 ОУ)' ч 2 Функция распределения Рч(у) вещественной многомерной случайной величины.
Так называют вероятность события, состоящего в том, что каждая случайная составляющая многомерной случайной величины !!с)1 62 ... с) !! ~ не превышает соответствующей составляющей вектора пороговых значений [Ус У2 ... Ум!! =У. ФУнкциЯ РаспРеделениЯ имеет вид (у)=р[г) ' с) —. '".'ц ау ). Плотность вероятности рч(у) вещественной многомерной случайной величины. Определяется как частная производная т-го порядка от функции распределения по всей совокупности пороговых значений (27.24) Как и для одномерной плотности, интеграл от многомерной плотности вероятности по всей области гт) опРеделениЯ слУчайных составлЯющих с)ь э)ь ..., э)а равен единице.
Две возможные записи этого факта представлены ниже Ю Э О ~ ~- ~рч('» -'у-) ~ »-.~-= ~рч(» У=1 О О О (27.25) Во введенной записи 12у = 12у1 102,...,ф„, Напомним равноправность обозначений переменных ингегрированияу, или«, или и ит.д. Плотность вероятности многомерной случайной величины с иезавнсимымм составляющими. Если события, состоящие в появлении составляющих многомерной случайной величины, независимы, то Рч(У)=Рч (У1)Рчг(У2)-Рч (У ) ' (272о) 27.2.6. Функциональные преобразования мноаомерных случайных величин Плотности вероятности функций многомерных случайных величин. Пусть многомерная величина Р, яВЛяЕтСя МОНОтОННОй фуНКцИЕй Рч ~ (21) НЕПрЕрЫВНОй СЛуЧайНОИ ВЕЛИЧИНЫ 21 И ОбратНая фуНКцИя Ч =у (Рч) существует.
Не повторяя рассуждения, проведенного для одномерного случая, приведем аналогичный (27.15) результат для важного случая одинаковой размерности Фи«: рг (х) = рч[у(х)] ]У(х)~. (27.27) Здесь |.У(х)! - модуль якобиана преобразования .У(х) = = бег представляющего собой определитель матрицы частных производных ду1 дх1 .У(х) = 27.2.7. Характеристики мноаомерных случайных величин Моменты распределений многомерных случайных величин. Пусть заданы целые неотрицательные числа Л1 к О, 22 с О, ..., Лм с О. Моментом (л, + в2+...
+ в )-го порядка распределения многомерной случайной величины Ч называют математическое ожидание (среднее значение) произведения степеней ее составляющих М[Ч1 Чз -.Чт ]= /и1чизч-м "рч(и)1(п =Мч(я) г„ (27.28) где з =]]л1 22 л ~ — вектор-строка. Различают моменты первого, второго и высших порядков.
Моментами первого порядка являются математические ожидания отдельных составляющих многомерной случайной величины М[«1] = ]«1р(«)д«, 1=1,2,...,т, (27.29) совокупность которых образует вектор математическо- го ожидания случайной величины Ч: М(ЧРе М(Ч,.
) ]]' (27.30) Моментамн второго порядка являются математические ожидания попарных произведений составляющих многомерной случайной величины ] ц1 ц р(«)а«, 1', 1=1,2, ..., т уч (27.31) Центральные моменты многомерных случайных величин второго порядка. Центральными моментами случайной величины Ч называют моменты разности Ч вЂ” М(21), т.е. <р17= ][ц; — М(ц;)][ц -М(ц )]р(«)св).
(2732) кч К числу центральных моментов второго порядка отНОСятСя дИСПЕрСИИ СОСтаВЛяЮщИХ 1ря и.01= О. И ПОПар- 2 ! ные ковариации (корреляционные моменты, корреляции) составляющих 1и 1, где 1, /=1,2,...,т. Применительно к величинам с нулевым математическим ажиданием, используемым в Справочнике, терминам корреляция и ковариация придается одинаковый смысл.
Те же термины используют в литературе и для нецентральных моментов, но в одних источниках их называют ковариациями, а в других корреляциями. Корреляция (коварнация) двух независимых случайных величин с нулевым математяческмм ожиданием. Равна нулю, что можно проследить, используя (27.32), (27.26) и (27.14).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
