Радиоэлектронные системы Основы построения и теория. Справочник . Под ред. Я.Д. Ширмана (2007) (1151789), страница 209

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 209)

Дисперсия суммы двух независимых случайных велмчмн. Определяется выражениями М[[«1+«2 — М[«1+«2]] ]= М[(«1 — М[«1]) ] + + М[(Ч2 — М[Ч2]) ] -2 М[(Ч, ™[«1]) (Ч2 ™[«2])]. М(«1«1) М(«1«2) - М(Ч!Ч ) М(«2«1) М(«2«2) ... М(«2«и = М(««'). М(«и«1) М(«и«2) ... М(«и«,„ Характеристическая функция многомерной случайной величины. Как и для одномерных, для многомерных случайных величин Ч вводят характеристические функции. Так называют математическое ожидание (среднее значение) экспоненциальной функции ог произведения множителями' и скалярного произведения Поскольку корреляция независимых случайных величин с нулевым математическим ожиданием «1 — М[«1] и «2 — М[«2] равна нулю, дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.

Результат обобщается на сумму произвольного числа независимых случайных величин. Корреляционная (ковариацмонная) матрица случайного вещественного вектора. Для вектора « =]]«1 «2 ... « ~ с нулевым математическим ожиданием М(«) = 0 — симметрическая (разд. 26) матрица 466 (27.37) (27.38) =А«т~«272. р(х) = П «=1 « =(2к) 12Ч е 2 о г О (р)=ехр(- ), ч где «р =мЛм' р(у) = р [у(хН ~~(у4, т'Ч=Ч' т неслучайного вещественного вектора т и случайной величины Ч М[ехр(ут'Ч)] = ) рч(м)ехр(уч'п)«й! = Оч[(т). (27.33) г„ Характеристическая функция многомерной величины с независимыми случайными составляющими равна произведению характеристических функций ее скалярных составляющих Оч((т) =О» (р«!)Очз(2У2).....9» (р~м).

(27.34) Действительно, интеграл (27.33) по т составляющим многомерной величины Ч при их независимости сводится к произведению однократных интегралов, соответствующих характеристическим функциям скалярных составляющих. Это следует из (27.26), принятого обозначения «й= «й«! «(иь.. ««и и соотношения т яе и1и1+«2и2+...+гтит. (2735) Характермстическан функция суммы независимых случайных величин. Определяется выражением характеристической функции одномерной скалярной величины Ч,+Чз+...+т! =Ч, т.е.

О, (1У)=М[ рд Ч)] = М[ехр[2'(Ч«+Чз+" .Ч.)Н. Как и в случае (27.34), приходим к соотношению О„Ц ) =0«л(7 )О„Ц ),...О„Ц ), (27.36) в котором, в отличие от (27.34), аргументом всех перемножаемых характеристических функций является одна и та же скалярная переменная к Плотность вероятнвстя независимых скалярных величин для модели многомерного нормального распределения. Соответствует модели распределения т-мерного случайного вектора х, составляющие которого независимы и подчиняются нормальному закону. Учитывая соотношение (27.26), можно найти Здесь Л М(хх~) = гйа8 (2.«,)«2,...,)«„) — диагональная корреляционная матрица, !Л~ = 2.! Хз ...А — ее определитель, а х'л 'х - квадратичная форма.(разд.26).

Плотность вероятности взаимно завмснмых скалярных величин для моделм многомерного нормального распределения. Случайный вектор у этой модели можно считать результатом линейного преобразования у = нх предыдущей модели ортогональной матрицей и с определителем де! я =1 (разд. 26.5). Тогда х=н у, хЛ к=уф у, — корреляционная матрица новой модели с собственны- ми числами )««,)«2,...,)«.„. Искомая плотность вероятно- сти по аналогии с (27.27) определяется выражением где )«(уЧ =!ах/Ыу~=)и ~)=1.

Окончательно ! р(у) =(2к) !«1![ е 2 =(2к) е 2 Переход к следам матриц в показателе степени следует из материала разд. 26.5. Проведенные преобразования пояснены более подробно для шума в разд.13.7.2-13.7.3. 27.2.8. Нормализация распределений при мноаократном суммировании Процесс нормализации, существенный для техники РЭС, определяется центральной предельной теоремой теории вероятности (А.М. Ляпунов и др.).

Согласно этой теореме закон распределения суммы Ч! +Чг +"'+ Ч = Ч независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии и математические ожидания, при л-««о переходит в нормальный. Теорема поясняется ниже для случая нулевых математических ожиданий М[Ч«1 = 0 и одинаковых дисперсий суммируемых величин с использованием свойств характеристических функций. Поскольку случайные величины независимы, дисперсии слагаемых суммируются. Если дисперсия суммы составляет оЛ, то дисперсия слагаемого равна М[Ч2 1=ох/л.

По значениям моментов восстановим согласно (27.23а) характеристические функции слагаемых (27.37) в окрестности ! — 0 озфз 9,(р)=1- — -+.....=1- гн 2н где А =2н /о~!«~, так что Характеристическую функцию (27.36) суммы (27.34) можно представить в виде 2«2«2 О («и) 1 — — ) =~~1 — — ~ ~ . (2739) При и-+«»величина А-+«о, а выражение, заключенное в квадратные скобки, стремится к е '. Характеристическая функция Оч(«У) и определяемая через нее плотность вероятности (27.21) соответствуют нормальному закону распределения (табл.27.! ) при а=О: Р,(У)=-2 — --- Р( —,). 1 у .1«2к о 2оз (27.40) По поводу этого приводят шутливое высказывание: «Экспериментаторы часто считают, что нормальный закон ошибок — математическая теорема, математики часто думают, что это экспериментальный факт».

Обе стороны совершенно правы, если только их убежденйя не слишком безусловны. Математическое доказательство говорит нам, что при некоторых ограничительных условиях мы вправе ожидать нормального распределения, а статистический опыт показывает, что распределения являются часто (но не всегда!) приближенно нормальными. 27.3.

Случайные процессы и поля Эта случайные величины, являющиеся функциячи: ° одной переменной (обычно времени т); ° нескольких переменных (координат и времени ). В первом случае говорят о случайных процвсстп; во втором о случайных полях. Различают два класса случайных процессов: ° с дискрептным временен т = г,, т=1,2, ...

(случайные последовательности); ° с непрерывным врв.ченеч. Наряду с процессами, в которых случайные величины принимают непрерывное множество (континуум) значений, в оба класса включаются процессы, в которых случайные величины принимают дискретные значения. При использовании обобщенных функций, см. разд. 27.2.1, это не требует специальных оговорок. В качестве вырожденных форм случайных процессов рассматриваются патаки сл»чайных событий (см. разя.

27.4). 27.3.1. Случайные последоеательноспти Случайные процессы с дискретным временем (случайные последовательности) могут отличаться равномерностью или неравномерностью интервалов дискретизации и объемом выборки. В любом из перечисленных случаев случайную последовательность можно свести к многомерной случайной величине с конечным или бесконечным числом элементов. Для характеристики этих процессов могут быть использованы понятия, введенные для многомерных случайных величин. Тем не менее, специфичными для случайных последовательностей являются такие понятия как статГианарность и эргодичнасть. Последовательности, стационарные в узком смысле.

Стационарным в узком смысле случайным процессом (последовательностью) называют случайный процесс (последовательность), для которого (которой) любая вероятностная характеристика инвариантна относительно сдвига по времени. В частности, прн выборе плотности вероятности в качестве характеристики случайной скалярной последовательности с равномерной дискретизацией ее плотности вероятности, имеем рч(ут уг..- уп) = Р„(уне уттл - унчл) (2741) Согласно (27.41) сдвиг во времени на /т отсчетов случайного процесса не меняет его статистических свойств — математического ожидания и остальных моментов.

Значения же, например, т)т=ут и т11=»т,ь принимаются случайно, но при одинаковых математических ожиданиях, дисперсиях и моментах высшего порядка. Последовательности, стационарные в широком смысле. Стационарным в широком смысле называют случайный процесс (последовательность), математическое ожидание и ковариация которого не зависят от времени, т.е в дискретном случае от номера отсчета. Тогда для скалярных случайных последовательностей: М(т) т) = М(т) '- ) (27.42) тР т) =тРб--л)1 ты~в), (27.43) где сдвиг номера отсчета тт может выражаться произвольным целым числом, положительным или отрицательным.

Если положить к= — /, тогда т1тл =т1тттвть и опуская неинформативный индекс О, найдем Е т / = чч т-) (27.44) Это значит, что ковариация отсчетов в стационарных в широком (и узком) смысле случайных последовательностях зависит толька от разности но.черве отсчетов. Определение стационарности в широком смысле слова — менее жесткое, чем определение стационарности в узком смысле. Оно допускает нестационарности„ связанные с моментами высшего порядка. Для гауссовских случайных процессов стационарности в узком и широком смысле совпадают. Усреднения по реализациям и по времени.

Эргодичность. Чтобы численно оценить математическое ожидание некоторой одномерной стучайной величины гь следует набрать и усреднить ее независимые реатизации удт, 1=1, 2... При неограниченном увеличении числа этих реализаций результат усреднения соответствует выражению (27.17). Тот же смысл имеет усреднение па реатизаишин каждого конкретного отсчета т), неоднократно воспроизводимой случайной последоватшьности.

Характеристики

Список файлов книги