Радиоэлектронные системы Основы построения и теория. Справочник . Под ред. Я.Д. Ширмана (2007) (1151789), страница 165
Текст из файла (страница 165)
22.30, слева вверху). Аддитивная помеха измерению в [1.137а] считалась гауссовской. Из (22.101) на основе решения уравнения (22.103а) или (22.104) для функции 71(а „, )с), а вначале за счет априорных данных, в правых блоках (рис. 22.30, справа вверху и внизу) вычисляются плотность вероятности р(а)с,уе„) и ее значение р(а„„)се„,уе„), а также матричные коэффициенты А и В, обеспечивающие работу блока прогноза чс(с ) у; ) = чс(с) . Эффективность фильтров Двумя. График (рис. 22.31), приводившийся в [1.166] для ранней версии фильтров Даума„показывает, что зти фильтры повышают вероятность сопровождения Р связывая ее с угловой скоростью й быстро маневрирующей космической цели. Судя но сведениям об авторе [1.1бб], алгоритмы Даума широко используются в РЛС США, предназначенных для сопровождения космических целей.
Однако достаточно полно использование моделей движения на основе процессов с экспоненциальной структурой и фильтры Даума в доступных источниках еще не исследованы. Цель нашего эскизного изложения направлена на привлечение внимания к таким исследованиям. 22.0. Особенности прогнозирования, совокупного сглаживания и интерполяции Примеры, поясняющие эти особенности, условимся приводить только для квазилинейной фильтрации. Экстраиоляция. Это (см.
разд. 22.1) — прогнозирование вектора состояния а по результатам предыдущих измерений. Прогнозирование рассматривалось как составная часть фильтрации, здесь ему придается самостоятельное значение. В то же время прогнозирование можно свести к фильтрации, полагая в (22.11) матрицу точности прогназнрования, а в (22.33) удельную матрицу точности измерений, — нулевой. Иначе, в дискретном случае а» ! =Ь»(а»), С»1! =»ѻ~В»+О», а в непрерывном !/а / г/! = а(а, !), »/С /д! = О -» АС + С ~А'. С увеличением времени прогнозирования ошибки нарастают тем быстрее, чем интенсивнее старение данных, определяемое матрицами ()» и ()(!) = О.
Совокупное сглаживание (сглаживание). Так называют (см. разд. 22.1) оценивание вектора состояния а с использованием текущих, предыдущих и последующих (по отношению к моменту оценивания). Это повышает точность измерения. По аналогии с (20.21), (20.22) Сс~л~к Сфнл~~р» Ср~ч (22. 105) Ссглюкасглак = Сфилыра фнльтр ' Срстра р ч (22 1Об) Здесь а,„„., С,„„.
— оценка и матрица точности сглаживания; а ф„Сф — оценка и матрица точности фильтрации (на основе нредшествующих данных и текущего оценивания); а ф— оценка и матрица точности ретроспективного оценивания. Если то 1 а„„, = -( аф,,р+ «р, ) (22.10ба) 2 При стабильных траекториях сглаживание часто проводят по небайесовскому критерию наименьших квадратов (см. разд. 15.2.2), исключая накопление ошибок округления из-за рекуррентности измерения.
Интерполяция. Это (см. разд. 22.1) — определение оценок по предшествующим и последующим данным без текущих измерений. Интерлоляция — частный случай совокупного сглаживания (22.105), (22.106). Для нее, как и для лрогнозирования, характерно отсутствие поступления текущей оценки в момент оценивания. Характеристики фильтрации Сф, аф заменяются при этом характеристиками прогнозирования, полученными в отсутствие текущей оценки. Разновидности интерполяции — линейную, реже квадратичную используют при работе с таблицами функций.
368 22.10. Стационарные режимы оценивания случайных процессов Ниже анализируются как результаты: ° перехода от нестационарного оценивания (разд. 22.5.3 — 22.5.4) к стационарному; ° фильтрации Винера-Колмогорова; ° решения других уравнений линейной и нелинейной фильтрации. 22.10.1. Переход от нестационарного оцениеания к стационарнояву Стационарные модели следуют из нестацнонарных (22.5), (22.24) при условиях: ° постоянства параметров модели и стационарности воздействующего на нее процесса р» или р(!); ° устойчивости модели — затухания переходного процесса после окончания входного воздействия. Переход к стационарной модели.
Желаемые корреляционные взаимосвязи скалярного процесса а(!) вводят путем подбора размерности (т + 1) и модели вектора состояния а(!) = !1 а(!)»/а/»/! ... а а/!//"' 11'. Рассмотрим линейную стационарную модель а(а, !)= = А а. Матрица А в ней включает искомые параметры и от времени ! не зависит. После фурье-преобразования !/ уравнения модели — а(!) = Аа(!)+ и(!) находят и! /2л/а(/') = Аа(/') + р(/'), (22. 107) со спектральной плотностью мощности Я«(/) = 2«(/) 2«»(/) Я (/).
Здесь Яр(/) — спектральная плотность мощности возбуждающего процесса р(!). При Щ) = 1 Я„(/) = 2„(/) 2„*(/). (22.110) 22.10.2. Простые вспомогательные задачи Рассмотрим решение вспомогательных задач с целью простого пояснения фильтрации Винера-Колмогорова. Задача /. По сумме 9 = а + и независимых скалярных случайных гауссовских величин а и п с нулевыми 2 2 математическими ожиданиями и дисперсиями а„и а„ найти их байесовские оценки а,й .
/ Байесовская оценка а максимума послеопытной нлотности определяется из условия (20.13) с/ — р(а ) 9) ж — [р(а) р(9 ! а)) = 0 »/а !/а где а(/) = !1 1/2л/'....(/2к/') !!'а(/). Перенося первое слагаемое правой части равенства (22.107) в левую, можно получить: Ь,(/)а(/) = р(/), Ь (/) =/2к/1 — А. (22.108) Использование модели для формирования небе- лого шума. Пусть модель возбуждается скалярным источником шума р(!), а вектор р(!) = Р(!) е, где е = !! 1 0 ... 0 )!' .
Умножив первое из выражений (22.108) на е' 1 (/), можно перейти к скалярному процессу а(!) в частотном представлении а(/) = 2 (/)р(/), Уд(/) = е' 1.<,'(/) (22.109) илн ()= [) («)0(ае' '«<2«, — ехр -- — 2+ 2 = — — 2+ 2 =0 где при а=а. Оценка а и оценка й (по аналогии) оказываются равными соответственно 2 2 а = а О, й = л О. (22.111) па +а 2 2 ' 2 2 аа + ал Сумма оценок а+ и равна О.
Согласно решению эта сумма делится между оценками а и й пропорционально заданным дисперсиям о и а„. 2 2 Задача 2. По сумме 0 = а + н независимых произвольно распределенных скалярных случайных величин а н п с нулевыми математическими ожиданиями н дисперсиями о и о„найти нх несмещениые оценки 2 2 а, й по минимуму среднего квадрата ошибки (МСКО).
Поскольку сумма несмещенных оценок й+ й = О, то при а= Й значение 0 составит л =(! — <2)0. Среднее квадратичное отклонение оценки а составляет М [( а - а )' ]= М(а - 2 а . <<О+ д О ) . При этом М(а ) = стаи, в силу независимости слу- 2 2 чайнь<х величин а н и, значения М(ав) = М[а[а+л)]=па 2 и М(0 ) =а +а„.
Условие минимума среднего квадра- 2 2 2 та ошибки — <и -2до +<с <а +а <]=0 позволяет « [2 2 2(2 211 ~д!та а [ а л/] найти 2< н тем самым определить искомые оценки. 22.10.3. Филыпры Винера-Колмоаороаа Классические (одноканальные) фильтры Винера- Колмогорова с двухсторонними импульсными характеристиками. Позволяют оценивать налагающнеся скалярные случайные процессы а(г), н(г) по результатам наблюдения их суммы а(<) + н(г) = О(<) . Иначе, осуще- ствляют совокупное сглаживание с использованием значеннйО(<), предшествующих и последующих мо- менту оценивания ь Импульсные характеристики этих фильтров двусторонние и(-г) = и(<), и только приближенно реализуются при большой (теоретически бесконечно большой) задержке сигнала.
В теоретической литературе нх называют кнереализуемыми», хотя обычно это не исключает их приближенной практической реализации с произвольной степенью точности. Применяются прн обработке изображений (см. разд. 23.11). Оценки фильтруемых процессовад(г)=а„, (<) и йд(г) выражаются через комплексные частотные характеристики (КЧХ) фильтров 3 йд(т) = ]Кда(«)0(«)е'2"в<(«, В (Л Л"(«) Ва(Х)+ И(«') ' '" Ва!«)+ Ч(Л (22.112) Значения О(«) делятся между оценками а(<) и й(<) пропорционально нх дисперсиям Я,(1)с(«', <т< (2)<[«в малых интервалах частот <(1, причем К,„(Р)+К (1) =!. Оцениванне справедливо для байесовских оценок гауссовских процессов и всех МСКО оценок. Многомерные фильтры Винера — Колмогорова с двусторонними импульсными характеристиками.
Позволяют оценивать налагающиеся векторные тмерные комплексные случайные процессы <а(т), и(<) на интервале -лс < г < с по результатам наблюдения их суммы а(<) + в(г) = 0(г). Оценки ад(<) и йд(г) выра- жаются соотношениями (К т ( <.) О( <-) 2 ~я««. в (<) = ~К~„(«)0(/)е< «с« Матричные тхт комплексные частотные характеристики (МКЧХ) фильтров определяются в виде к,.(«3=ба(Л[6.(Л !ч(Л[ ', (22.!! 3) к дл («) = 1ч(«) [Оа Ч) + )ч! «)3 где я„(«) и [ь!(«)- комплексные векторные величины, а сумма МКЧХ (22.!! 3) сводится к единичной матрице К„ф + Кд,ф = !.
Классические фильтры Винера — Колмогорова с одностороннимн импульсными характеристиками. Иначе, классические фильтры Винера — Хонфа [1.25, 1.101, 1.117, 5.21]. Используют прн оценивании только предыдушую информацию. <сДвусторонняя» сглаженная оценка ад(г) = а <ел,.„(г) согласно (22.10ба) сводится к полусумме сглаженных с<односторонних» оценок фильтрации и ретроспективы ад(О= — ~афлльтр(~)+ар<тр(~)] (22.114) 1 !. 2 Значит, и КЧХ классического фильтра Винера- Колмогорова сводится к полусумме Кл Ф = [2Кфлльтра («')+ Кр<тра («')] (22 5) 2 Для реализации разбиения (22.115) сводят дробно- рациональную КЧХ К, „(1) к сумме комплексно-сопряженных элементарных дробей [0.22, с.
201] с соответст- 369 вующнмн элементарнымн импульсными характернстнкамн (16.42), половина нз которых обращается в нуль прн г < О, а половина прн г > О. В окончательное решенне включаются только реалнзуемые импульсные характернстнкн. Припер. Выражение (22.! 15) сводится к 1( (22.116) 1 (2др)2 .«! 2 (! + 7'2к)т 1 (2~ус~/' Левая часть равенства (22.116) путем обратного преобразования Фурье сводится к двусторонней импульсной характеристике о,„(!) = 0„5 ечм совокупного сглажнвання, реализуемой после введения конечного запаздывання с любой заданной точностью (рнс. 22.32,а).
Правая часть равенства путем обратного преобразовання Фурье сводится к полусумме реализуемой нмпульсной характеристике фильтрации (рнс. 22.32,6) н «нереалнзуемой» вЂ” ретроспективы (рнс. 22.32,в). Ретроспектнвную характеристику отбрасывают. 0 г 0 0 а) б) в) Рнс. 22.32 Скорректированный классический фильтр Винера-Колмогорова с двусторонней импульсной характеристикой. Относится к модели 0(1) = Нф аф + +нф, где Нф — корректнруюшая КЧХ (см. разд, 23.7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
