Надольский А.Н. Теоретические основы радиотехники (2005) (1151788), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Определяется соотношение между входным сигналом ипервой гармоникой тока. Основной характеристикой при этом является S ср –средняя крутизна. Анализ цепи осуществляется линейными методами, нелинейность учитывается зависимостью S ср от амплитуды входного сигнала;г) медленно-меняющихся амплитуд. Предполагается, что амплитуда высокочастотного модулированного колебания изменяется в течение его периодамедленно.2.
Графический. По имеющимся графикам sвх (t ) и вольт-амперной характеристике определяется график sвых (t ) . Метод обладает определенной наглядностью, но низкой точностью.3. Численные методы, предполагающие применение цифровых ЭВМ.Наиболее часто используется спектральный метод.7.4. Общее решение задачи анализа нелинейной цепиРассмотрим процессы, происходящие в безынерционном нелинейном устройстве, характеристика которого представлена на рис. 7.2.
На вход устройствапоступает гармонический сигналu (t ) E cos 0 t .Вследствие нелинейности характеристики i f (u ) форма тока в цепи отличается от формы входного сигнала. В то же время функция, описывающаяток, является периодической и четной. Это значит, что спектр тока можно определить с помощью ряда Фурье видаi (t ) I 0 гдеI0 I k cos k 0 t ,k 11 T21 T2i(t)dt f ( E cos 0 t )dt ;T T 2T T 22 T22 T2Ik i (t ) cos k 0 tdt T f ( E cos 0 t ) cos k 0 tdt .T T 2T 2Рис. 7.2. Нелинейное преобразование гармонического сигналаПолучено общее решение задачи о спектре тока в безынерционной нелинейной цепи при гармоническом входном воздействии. Спектр тока содержиткроме постоянной составляющей бесконечное число гармоник с амплитудамиI k и частотами k 0 . Амплитуды гармоник зависят от параметров сигнала и вида характеристики i f (u ) .7.5.
Определение спектра тока в нелинейной цепи при степеннойаппроксимации характеристики7.5.1. Гармонический сигнал на входеПредположим, что рабочий участок характеристики нелинейного элементаописывается полиномомi (u ) a 0 a1 (u U 0 ) a 2 (u U 0 ) 2 ... a n (u U 0 ) n .На вход поступает гармонический сигнал s(t ) E cos( 0 t ) . Тогда с учетом напряжения рабочей точки входное воздействие на элемент равноu (t ) U 0 E cos( 0 t ) .Подставив данное выражение в формулу степенного полинома, получаемi (u ) a 0 a1 E cos( 0 t ) a 2 E 2 cos 2 ( 0 t ) ... a n E n cos n ( 0 t ) .Воспользуемся известными формулами для степеней тригонометрическихфункций11cos 2 (1 cos 2 ) ;cos 3 (3 cos cos 3 ) ;2411cos 4 (3 4 cos 2 cos 4 ) ; cos 5 (10 cos 5 cos 3 cos 5 ) .816В результате получается общее выражение для тока в нелинейной цепи1335i(t ) (a0 a2 E 2 a4 E 4 ) (a1E a3 E 3 a5 E 5 ) cos( 0t ) 28481115 ( a2 E 2 a4 E 4 ) cos2(0t ) ( a3 E 3 a5 E 5 ) cos3(0t ) =28416 I 0 I1 cos( 0 t ) I 2 cos 2( 0 t ) I 3 cos 3( 0 t ) .Анализ данного выражения позволяет сделать следующие выводы:1.
Спектр тока содержит гармонические составляющие с частотами 0, 0 , 2 0 , 3 0 , , n 0 и начальными фазами , 2 , 3 , , n , т.е с частотами и начальными фазами, кратными частоте и начальной фазе воздействия.2. Номер гармоники в спектре тока не может быть выше степени аппроксимируемого полинома.3. Амплитуды гармонических составляющих спектра зависят от амплитудывходного сигнала и коэффициентов степенного полинома. Постоянная составляющая (нулевая гармоника) и амплитуды четных гармоник определяются коэффициентами полинома с четными номерами, а амплитуды нечетных гармоник – коэффициентами полинома с нечетными номерами.Полученное выражение сохранит свою структуру при поступлении на входнелинейного элемента амплитудно-модулированного сигнала или сигнала с угловой модуляцией.
В формуле будут фигурировать не постоянные значения E и , а функции E (t ) и (t ) . Общая структура спектра изменится. В то же времяначальная фаза первой гармоники сохраняет закон модуляции фазы входногосигнал, а если характеристика нелинейного элемента может быть с достаточнойточностью аппроксимирована полиномом второй степени, то первая гармоникаспектра сохранит также и форму входного амплитудно-модулированного сигнала.Пользуясь полученными результатами и структурной схемой нелинейногоустройства, можно предложить общую идею построения некоторых радиотехнических устройств. Так, если фильтр нелинейного устройства с квадратичнойхарактеристикой настроить на частоту первой гармоники тока (на частоту входного сигнала), то получится схема усилителя мощности.
Если фильтр нелинейного устройства настроить на частоту второй гармоники тока, то получитсясхема удвоителя частоты сигнала. Если в качестве фильтра использовать фильтрнизких частот с АЧХ, обеспечивающей подавление всех гармоник, кроме нулевой, то получится схема квадратичного детектора.7.5.2. Бигармонический сигнал на входеСвойство нелинейной цепи обогащать спектр сигнала хорошо проявляется,если сигнал представляет собой сумму некоторого числа гармонических колебаний с различными частотами.Предположим, что рабочий участок характеристики нелинейного элементаописывается полиномом второй степениi(u ) a0 a1 (u U 0 ) a2 (u U 0 ) 2 .На вход поступает бигармонический сигнал, формула которого совместно снапряжением рабочей точки имеет видu (t ) U 0 E1 cos 1t E 2 cos 2 t .Подставив данное выражение в формулу степенного полинома, получаемi(u ) a0 a1 ( E1 cos 1t E 2 cos 2 t ) a 2 ( E1 cos 1t E 2 cos 2 t ) 2 .Выполним элементарные преобразования:i(u ) a 0 a1 E1 cos 1t a1 E 2 cos 2 t a 2 E12 cos 2 1t a 2 E 22 cos 2 2 t 2 a 2 E1 E 2 cos 1t cos 2 t ;111i (u ) (a0 a 2 E12 a 2 E22 ) a1 E1 cos 1t a1 E 2 cos 2 t a 2 E12 cos 21t 2221 a 2 E 22 cos 2 2 t a 2 E1 E 2 cos(1 2 )t a 2 E1 E2 cos(1 2 )t .2Из полученного выражения видно, что в спектре тока нелинейного элемента кроме постоянной составляющей (слагаемое в скобках) и гармоник с частотами, кратными частотам входного воздействия, имеются гармоники с комбинационными частотами 1 2 и 1 2 .Таким образом, с помощью нелинейного элемента с такой характеристикойможно построить схему преобразователя частоты.
Для этого достаточно использовать в составе нелинейного устройства высокодобротный полосовойфильтр, настроенный на частоту 1 2 (или на частоту 1 2 ). На вход устройства подается гармонический сигнал, частота 1 которого должна быть преобразована, и вспомогательный сигнал с частотой 2 (сигнал гетеродина).7.6. Определение спектра тока в нелинейной цепипри кусочно-линейной аппроксимации характеристикиПри воздействии на нелинейный элемент сигнала с большой амплитудой ивыборе рабочей точки на нижнем изгибе вольт-амперной характеристики целесообразно применить метод кусочно-линейной аппроксимации данной характеристики (рис.
7.3). Аналитическое выражение ВАХ при этом имеет вид0 при u U1 ,i S (u U1 ) при u U1 .Напряжение U 0 (см. рис. 7.3) – это напряжение рабочей точки, U 1 – напряжение отсечки.Пусть на вход рассматриваемого элемента поступает гармонический сигнал s(t ) E cos 0 t . Тогда с учетом напряжения рабочей точки входное воздействие на элемент равноu (t ) U 0 E cos 0 t .Рис. 7.3. Принцип формирования тока в нелинейной цепипри кусочно-линейной аппроксимации ВАХКак видно из рис. 7.3, ток i (t ) нелинейного элемента имеет вид периодической последовательности импульсов, описываемых четной функцией. Определим амплитуды гармонических составляющих спектра этого тока.
Для этого необходимо определить математическое выражение для импульсов тока i (t ) ивоспользоваться разложением тока в ряд Фурье.1. Угол , соответствующий изменению тока от максимального значениядо нуля, называется углом отсечки. Из рис. 7.3 видно, что максимальное значение тока i (t ) равно I m , а длительность импульсов тока – 2 . Очевидно, что прифазовом угле входное воздействие равно U 1 U 0 E cos .
ТогдаU U0cos 1.E2. Пользуясь аналитическим выражением для ВАХ, можно записатьi (t ) S (U 0 E cos 0 t U 1 ) при t .Преобразуем данное выражение следующим образом:U U0 i(t ) SE cos 0 t 1(7.1) SE (cos 0 t cos ) при t .E 3. Определим значение амплитуды тока i (t ) , т.е. значение I m . Для этоговоспользуемся рис. 7.3. U U0 I m S [ E (U 1 U 0 )] SE 1 1 SE (1 cos ) .E 4.
Подставив в (7.1) значение SE , получим математическое выражение дляимпульсов токаImi (t ) (cos 0 t cos ) при t .1 cos 5. Ряд Фурье для тока i (t ) имеет видi (t ) I 0 I k cos(k 0 t ) .k 1Коэффициенты ряда, т.е. амплитуды гармонических составляющих, равны1 T22 T2I0 Ik i (t )dt ; i(t ) cos( k 0 t ) dt .T T 2T T 2Перепишем данные выражения, выполнив замену переменной t 0 t :1 1 Ii ( 0 t ) cos(k 0 t )d ( 0 t ) .I0 i ( 0 t ) d ( 0 t ) ;k2 Пользуясь полученными выражениями, определим амплитуды нулевой ипервой гармонических составляющих спектра тока.Амплитуда нулевой гармоники1 1 ImI0 i( 0t )d ( 0 t ) 1 cos [cos( 0 t ) cos ]d ( 0t ) 2 0Imcos(t)d(t)cosd(t)00 0 (1 cos ) 00Im(sin cos ) . (1 cos )Окончательно получимsin cos I0 Im. (1 cos )Амплитуда первой гармоники1 2 ImI1 i(t)cos(t)d(t)[cos( 0 t ) cos ] cos( 0 t )d ( 0 t ) 000 0 1 cos 2I m2 cos ( 0 t )d ( 0 t ) cos cos( 0 t )d ( 0 t ) . (1 cos ) 00x sin 2 x, получаем24 sin 2 sin cos2; cos ( 0 t )d ( 0t ) 2 4 2 20Учитывая, что cos 2 xdx cos cos( 0 t )d ( 0 t ) sin cos .02I m sin cos sin cos . (1 cos ) 22Окончательно получаем sin cos.I1 I m (1 cos )Аналогично можно получить амплитуды остальных гармонических составляющих спектра тока нелинейного элемента.