Надольский А.Н. Теоретические основы радиотехники (2005) (1151788), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Этот2 2m1 0эккоэффициент уменьшается с ростом частоты модуляции.3. Огибающая выходного сигнала отстает по фазе от огибающей входногосигнала на угол 0 arctg 0 эк .Физически последние два вывода объясняются инерционностью усилителя,снижающей скорость изменения огибающей сигнала.Полученный результат поясняется рис. 6.7,а. На этом рисунке показанспектр входного АМ-колебания и АЧХ усилителя.
С увеличением частоты модулирующего сигнала 0 боковые составляющие спектра АМ-колебания удаляются от несущей частоты. Это приводит к относительному уменьшению ихусиления, а следовательно, и к уменьшению глубины модуляции. Таким образом, чем выше частота модулирующего сигнала, тем сильнее выражена демодуляция.При отсутствии равенства несущей частоты входного АМ-колебания и резонансной частоты контура усилителя боковые составляющие его спектра усиливаются неодинаково (рис.6.7,б). Возникающая при этом асимметрия боковыхсоставляющих приводит к нелинейным искажениям огибающей и паразитнойфазовой модуляций, что поясняется векторной диаграммой (рис. 6.8).На диаграмме вектор OA соответствует несущему колебанию, векторы AD иAC – боковым составляющим. Амплитуды боковых составляющих не одинако-вы: амплитуда составляющей с частотой 0 меньше амплитуды составляющей с частотой 0 .
Поэтому длина суммарного вектора OB изменяетсяпо закону, не совпадающему с законом модулирующего гармонического колебания. Кроме того, непрерывно изменяется фаза этого вектора.Рис. 6.8. Векторная диаграмма, поясняющая возникновение паразитной фазовой модуляции при p 0Таким образом, неточная настройка резонансных цепей приемного трактана несущую частоту может привести к нелинейным искажениям передаваемыхсообщений при использовании амплитудной модуляции.7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИИ МЕТОДЫ ИХ АНАЛИЗА7.1.
Свойства и характеристики нелинейных цепейПри проектировании большинства радиотехнических устройств возникаетнеобходимость преобразования спектра полезного сигнала. К их числу относятся устройства, которые реализуют основные процессы обработки сигналов всистемах связи и управления: генерирования и усиления сигналов, детектирования, модуляции, преобразования частоты и др. Изменение спектрального состава сигнала осуществляется с помощью нелинейных цепей, основным свойствомкоторых является способность обогащать спектр сигнала. При этом под обогащением понимается не увеличение количества спектральных составляющих,а появление составляющих с новыми частотами.В нелинейных радиотехнических цепях параметры некоторых элементовзависят от входных воздействий.
Поэтому процессы в таких цепях описываютсянелинейными дифференциальными уравнениями. Принцип суперпозиции длянелинейных цепей не применим, так как значения ее параметров при поступлении сигнала s(t ) si (t ) отличаются от значений параметров при воздействииiкаждой составляющей s i (t ) в отдельности. В силу этого анализ нелинейных цепей в общем случае является достаточно сложной задачей. В то же время длябезынерционных нелинейных цепей процедуру анализа удается довести до конца сравнительно простым способом.Существуют резистивные и реактивные нелинейные элементы, параметрыкоторых (крутизна, сопротивление, емкость, индуктивность) зависят от напряжения и тока. Основной характеристикой резистивного элемента (диод, транзистор) является вольт-амперная характеристика i (u ) S (u )u ; нелинейной емкости (варикап, конденсатор с сегнетодиэлектриком) – вольт-кулонная характеристика q (u ) C (u )u ; нелинейной индуктивности (катушка с ферромагнитнымсердечником) – ампер-веберная характеристика Ф(i ) L(i )i .
Нелинейностьвольт-кулонной и ампер-веберной характеристик приводит в конечном счете кнелинейности вольт-амперных характеристик реактивных нелинейных элементов, имеющих вид [1,2,3]:1dC (u ) du (t )ic (u ) u c (t ) C (u ) c ;i L (u ) u L (t )dt .duL (i ) dtВ радиотехнических цепях наиболее часто встречаются резистивные нелинейные элементы. Для них наибольший интерес имеют такие параметры вольтамперной характеристики (ВАХ), как дифференциальная и средняя крутизна.Дифференциальная крутизна – это крутизна ВАХ в рабочей точке U 0 , определяемая выражениемdi (u ).S (U 0 ) du u U0Характеризует линейный режим работы нелинейного устройства (в режимеслабых сигналов). При работе на нелинейном участке зависит от рассматриваемого момента времени.
Физический смысл – тангенс угла наклона касательнойк ВАХ в данной точке.Иногда пользуются понятием дифференциального сопротивления, равногообратной величине дифференциальной крутизны, т.е. Rдиф (U 0 ) 1 S (U 0 ) .Средняя крутизна – это крутизна ВАХ при сильном гармоническом сигнале.
Определяется выражениемIS ср 1 ,Eгде I1 – амплитуда первой гармонической составляющей тока в резистивномэлементе;E – амплитуда гармонического колебания на входе резистивного элемента.Характеризует нелинейный режим работы устройства в режиме сильныхсигналов и учитывает форму ВАХ в широких пределах.7.2. Способы аппроксимации характеристик нелинейных элементовХарактеристики реальных нелинейных элементов, которые определяютобычно с помощью экспериментальных исследований, имеют сложный вид ипредставляются в виде таблиц или графиков. В то же время для анализа и расчета цепей необходимо аналитическое представление характеристик, т.е.
представление в виде достаточно простых функций. Процесс составления аналитического выражения для характеристик, представленных графически или таблично, называется аппроксимацией.При аппроксимации решаются следующие проблемы:1. Определение области аппроксимации, которая зависит от диапазона изменения входных сигналов.2. Определение точности аппроксимации. Понятно, что аппроксимация дает приблизительное представление характеристики в виде какого-либо аналитического выражения. Поэтому необходимо количественно оценить степень приближения аппроксимирующей функции к экспериментально определенной характеристике.
Чаще всего используются:показатель равномерного приближения – аппроксимирующая функция~f (t ) не должна отличаться от заданной функции f (t ) более чем на некотороечисло , т.е.~f (t ) f (t ) ;показатель среднего квадратического приближения – аппроксимирующая~функция f (t ) не должна отличаться от заданной функции f (t ) в среднем квадратическом приближении более чем на некоторое число , т.е.21 t ~f (t ) f (t ) dt ;t 0узловое приближение (интерполяционное) – аппроксимирующая функция~f (t ) должна совпадать с заданной функцией f (t ) в некоторых выбранных точках.Существуют различные способы аппроксимации. Наиболее часто для аппроксимации ВАХ применяют аппроксимацию степенным полиномом и кусочно-линейную аппроксимацию, реже – аппроксимацию с использованием показательных, тригонометрических или специальных функций (Бесселя, Эрмита идр.).7.2.1.
Аппроксимация степенным полиномомНелинейную вольт-амперную характеристику в окрестности рабочей точкиU 0 представляют конечным числом слагаемых ряда Тейлора:i (u ) a0 a1 (u U 0 ) a 2 (u U 0 ) 2 ... a n (u U 0 ) n .Количество членов ряда определяется требуемой точностью аппроксимации. Чем больше членов ряда, тем точнее аппроксимация. На практике необходимой точности добиваются, используя аппроксимацию полиномами второй итретьей степени. Коэффициенты a0 , a1 , a 2 ,..., an – это числа, которые достаточно просто определяются из графика ВАХ, что иллюстрируется примером.Пример.Аппроксимировать представленную на рис.
7.1,а ВАХ i f (u ) в окрестности рабочей точки U 0 0,4 В степенным полиномом второй степени, т.е. полиномом видаi a 0 a1 (u 0,4) a 2 (u 0,4) 2 .Выберем область аппроксимации u от 0,2 В до 0,6 В. Для решения задачи необходимо определить три коэффициента a 0 , a1 , a 2 . Поэтому ограничимсятремя узловыми точками (в середине и на границах выбранного диапазона), длякоторых составляем систему трех уравнений:0,07 a0 a1 (0,2 0,4) a 2 (0,2 0,4) 2 ;0,25 a0 a1 (0,4 0,4) a2 (0,4 0,4) 2 ;0,53 a0 a1 (0,6 0,4) a 2 (0,6 0,4) 2 .абРис.
7.1. Аппроксимация ВАХ транзистора:а – степенным полиномом; б – тремя отрезками прямыхРешая систему уравнений, определяем a 0 0,25 мА , a1 1,1 5 мА В ,a 2 1,25 мА В 2 . Следовательно, аналитическое выражение, описывающееграфик ВАХ, имеет видi 0,25 1,15 (u 0,4) 1,25 (u 0,4) 2 .Заметим, что аппроксимация степенным полиномом используется в основном для описания отдельных фрагментов характеристик. При значительных отклонениях входного сигнала от рабочей точки точность аппроксимации можетзначительно ухудшиться.Если ВАХ задана не графически, а какой-либо аналитической функцией ивозникла необходимость представить ее степенным полиномом, то коэффициенты a n вычисляются по известной формуле [1,10]:1 d n i (u ) an n! du n .u U 0 di (u ) Нетрудно заметить, что a1 представляет собой крутизну du u U 0ВАХ в рабочей точке.
Значение крутизны существенно зависит от положениярабочей точки.В некоторых случаях удобнее характеристику представлять рядом Маклоренаi(u ) a0 a1u a 2 u 2 ... a n u n .7.2.2. Кусочно-линейная аппроксимацияЕсли входной сигнал изменяется по величине в больших пределах, то ВАХможно аппроксимировать ломаной линией, состоящей из нескольких отрезковпрямых.
На рис. 7.1,б показана ВАХ транзистора, аппроксимированная тремяотрезками прямых.Математическая формула аппроксимированной ВАХ0 при u u1 ,i S (u u1 ) при u1 u u2 ,i1 при u u2 .Данный вид аппроксимации связан с двумя важными параметрами нелинейного элемента: напряжением начала характеристики u1 и ее крутизной S .Для увеличения точности аппроксимации увеличивают количество отрезков линий.
Однако это усложняет математическую формулу ВАХ.7.3. Методы анализа нелинейных цепейИспользуются следующие методы анализа нелинейных цепей:1. Аналитические. Позволяют в каждом конкретном случае получить частные решения. К числу аналитических методов относятся:а) спектральный. Используется для анализа нелинейных цепей при гармонических или полигармонических воздействиях;б) линеаризации. Применяется в режиме малых сигналов;в) квазилинейный.