Надольский А.Н. Теоретические основы радиотехники (2005) (1151788), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

В общемслучае радиотехническая цепь содержит в своей структуре линейные и нелинейные элементы. Это усложняет строгий анализ переходных процессов, т.к. вданном случае не применим принцип суперпозиции. Однако имеется широкийкруг задач, которые можно успешно решать линейными методами. К их числуотносятся прежде всего задачи, связанные с прохождением слабых сигналов через различные устройства. При этом допускается линеаризация основных характеристик нелинейных элементов, что позволяет отнести исследуемую цепь кчислу линейных. Кроме того, к результатам теоретического рассмотрения реальной технической системы не всегда предъявляются требования абсолютнойточности.

Такие результаты должны соответствовать основным эксплуатационным параметрам системы, контроль за которыми осуществляется с помощьюизмерительных приборов ограниченной точности.Постановка задачи анализа линейной цепи (рис. 6.1).Имеется линейная радиотехническая цепь, для которой известно дифференциальное уравнение или одна из характеристик: частотная K ( j ) , импульсная h( t ) или переходная g ( t ) . На вход цепи поступает сигнал s вх (t ) . Необходимо определить выходной сигнал s вых (t ) .Рис. 6.1.

Постановка задачи анализа линейной цепиСуществует несколько методов анализа линейных цепей. Выбор наиболееудобного из них зависит от сигнала, поступающего на вход, функциональной иструктурной организации цепи и некоторых других факторов. Наиболее частоиспользуются точные и приближенные методы. Последние учитывают особенности сигналов и цепей.Точные методы анализа цепей:1. Классический метод, или метод дифференциальных уравнений.2. Спектральный метод и его разновидность – операторный метод.3. Временной метод, называемый методом интеграла наложения или интеграла Дюамеля.Приближенные методы анализа цепей:1. Приближенные спектральные методы.2.

Метод комплексной огибающей.3. Метод мгновенной частоты.Ниже приводится содержание каждого из перечисленных методов.6.2. Точные методы анализа линейных цепей6.2.1. Классический методКлассический метод основан на составлении и решении линейного дифференциального уравнения, описывающего поведение цепи при заданном воздействии. Уравнение составляется с помощью законов Кирхгофа.

При этом используются известные соотношенияdu (t )u (t )1iR (t )  R ; i L (t )   u L (t )dt ; ic (t )  C c ;RLdtdi (t )1u R (t )  i R (t ) R ; u L (t )  L L ; u c (t )   ic (t )dt .dtCДифференциальное уравнение имеет видnakk 0d k sвых (t )dtkm bkk 0d k sвх (t )dtk,где a k и bk – постоянные коэффициенты, зависящие от структуры схемы и еепараметров.Порядок высшей производной определяет порядок цепи.

Если входнойсигнал задан, то правая часть – это известная функция.Решение дифференциального уравнения состоит из двух частейsвых (t )  sвых.св t   sвых.пр (t ) ,где s вых.св. (t ) – свободная составляющая, которая характеризует переходнойпроцесс и является решением однородного дифференциального уравненияnd k sвых (t ) 0; akkdtk 0sвых.пр (t ) – принужденная составляющая, которая характеризует установившийся процесс и является частным решением дифференциального уравнения при определенных начальных условиях.Недостаток метода – необходимо решать уравнение для каждого новогосигнала.

Метод применяется для цепей, описываемых дифференциальнымуравнением второго и реже третьего порядка.6.2.2. Спектральный методСпектральный метод основан на частотных свойствах сигнала и цепи с использованием принципа суперпозиции. Частотные свойства сигнала характеризуются его спектром, а частотные свойства цепи – частотной характеристикой.Так как спектр сигнала – это совокупность гармонических составляющих, то задача анализа цепи сводится по сути дела к анализу установившихся режимов вцепи при синусоидальных воздействиях.Прохождение периодического сигнала через линейную цепьСпектр периодического сигнала определяется путем разложения сигнала вряд Фурье, комплексная форма которого имеет видjk tsвх (t )   Cвх.k e 1 ,k 1где C вх.k TT 2T 2ного сигнала.sвх (t )e jk1tdt – комплексная амплитуда k -й гармоники вход-Комплексная амплитуда k -й гармоники выходного сигнала определяетсякак произведение комплексной амплитуды соответствующей гармоники входного сигнала на значение частотной характеристики, которое она имеет на частоте данной гармоники.

Таким образом,jjCвых.k  C вх.k K ( jk1 )  Cвх.k e вх.k K ( k1 )e j ( k1 )  Cвых.k e вых.k ,Cвых.k  Cвх.k K ( k1 ) и вых.k    (k1) – амплитуда и фаза k -й гармовх.kнической составляющей выходного сигнала.Отсюда на основании принципа суперпозиции находим выходной сигнал:гдеsвых (t ) k C вх.k K ( jk1)e jk1t   Cвых.k e jk1t .k Таким образом, спектр периодического сигнала на выходе линейной цепиможет быть получен перемножением спектра входного сигнала на значениячастотной характеристики цепи на соответствующих частотах.Прохождение непериодического сигнала через линейную цепьСпектр непериодического сигнала (спектральная плотность) определяетсяпутем вычисления прямого преобразования ФурьеS ( j )  s(t )e j tdt .(6.1)В свою очередь обратное преобразование Фурье позволяет определитьсигнал по его спектру, т.е.1 s (t ) S ( j )e j t d .2  (6.2)Как видно из данного выражения, сигнал s (t ) представляется в виде суммы бесконечно большого числа незатухающих и бесконечно близких по частотегармонических колебаний с бесконечно малыми комплексными амплитудами,1равнымиS ( j )d .

Это дает возможность использовать обычные методы2расчета установившихся режимов.Применительно к решаемой задаче каждая из таких гармонических составляющих входного сигнала обусловит соответствующую гармоническую составляющую выходного сигнала с комплексной амплитудой, равной11S вых ( j )d S вх ( j ) K ( j )d .22На основании этого можно записать выражение для спектральной плотности выходного сигнала, которое является фундаментальным для рассматриваемого метода анализа линейных цепей:S вых ( j )  S вх ( j ) K ( j ) .(6.3)Таким образом, спектральная плотность выходного сигнала равна произведению спектральной плотности входного сигнала на частотную характеристикуцепи.Выходной сигнал находится с помощью обратного преобразования Фурье,реализующего суммирование бесконечно большого числа его гармоническихсоставляющих:1 1 j tsвых ( t ) S вых ( j ) e dt S вх ( j ) K ( j )e j t dt .(6.4)2  2  Можно предложить следующую последовательность анализа линейных цепей спектральным методом.1.

Определение спектральной плотности S вх ( j ) входного сигнала поформуле (6.1).2. Определение частотной характеристики цепи одним из известных методов (уравнений Кирхгофа, контурных токов, узловых потенциалов, наложения,из дифференциального уравнения цепи и др.).3. Расчет спектральной плотности S вых ( j ) выходного сигнала по формуле (6.3).4. Определение выходного сигнала по формуле (6.4).В некоторых случаях целесообразно использовать операторный метод анализа цепей, основанный на преобразованиях Лапласа. При этом функции действительной переменной t преобразуются в функции комплексной частоты, т.е.переменной p    j . Для этого используются преобразования Лапласа:F ( p )   s (t ) e0 ptc  jdtи1s(t ) F ( p )e pt dp .2j c  jФункцию s (t ) называют оригиналом, а функцию F ( p ) – изображениеморигинала по Лапласу или просто изображением. Как видно из данных выражений, преобразования Фурье могут быть получены из преобразований Лапласапростой заменой p на j с соответствующим изменением пределов интегрирования.

Преобразования Лапласа являются обобщениями преобразований Фурье, поэтому они обладают всеми свойствами, которые характерны для преобразований Фурье.Частотная характеристика цепи в операторной форме получается простойзаменой переменной j на комплексную переменную p    j , т.е.K ( p )  [ K ( j )] j   j .Выражение (6.3.) для спектра выходного сигнала цепи будет иметь видFвых ( p )  Fвх ( p ) K ( p ) .Операторный метод позволяет анализировать более широкий класс сигналов. В частности, этому методу доступны сигналы, описываемые функциями,которые не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости.

В литературе[1,2] имеются таблицы изображений и оригиналов, облегчающие применениеоператорного метода.Спектральный и операторный методы анализа линейных цепей успешноприменяются для решения многих вопросов теории связи и управления. Приэтом удается обойти серьезные трудности, связанные с вычислением корней характеристического уравнения систем высокого порядка. Частотный метод имеетважное значение особенно в тех случаях, когда уравнение системы вообще неизвестно и когда можно ограничиться качественным исследованием динамических свойств систем.6.2.3. Временной методВременной метод (метод интеграла наложения, метод интеграла Дюамеля)основан на использовании импульсной h( t ) характеристики цепи, т.е. характеристики цепи во временной области.

Характеристики

Список файлов книги