Диссертация (1150860), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Ïîýòîìó, ìûïîëó÷èëè, ÷òî âàêóóìíîå ñîñòîÿíèå â ïðèñóòñòâèè ïîëÿ ×Ñ ìîæåò áûòü îïèñàíî êàê ñæàòîå ñîñòîÿíèå âàêóóìà Ïðîêà-Øòþêåëüáåðãà è íàîáîðîò. Âïåðâûåäàííûé ðåçóëüòàò áûë îïóáëèêîâàí â ðàáîòå [40].2.3. Àëãåáðà ôóíêöèîíàëüíûõ ñæàòûõ îïåðàòîðîâÐàññìîòðèì ïàðó áåçðàçìåðíûõ ñæàòûõ îïåðàòîðîâ ðîæäåíèÿ-óíè÷òîæåíèÿ äëÿ ×åðí-Ñàéìîíîâñêîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ, âîçíèêøåãî â ïðèñóòñòâèè ôî52íîâîãî ïîëÿ, íàðóøàþùåãî ÷åòíîñòü, à èìåííî,∑Π(z) ≡12z ȷ c 2ȷ∑=ȷ ∈QΠ † (z̄) ≡∑1212zȷ Πȷ(2.93)12z̄ ı Π †ı(2.94)ȷ ∈Q∑z̄ ı c †ı 2 =ı ∈Qı ∈Qãäå ìû èñïîëüçóåì äëÿ êðàòêîñòè îáîçíà÷åíèÿ∑ı ∈Q=∫dk̂(2π)3∑A= ±,L( k̂ ∈ R3 ) çäåñü z ı ≡ z( k̂, A) - êîìïëåêñíîçíà÷íûå áåçðàçìåðíûå ôóíêöèè, òàêèå÷òîV∑z ı z̄ ı = νoı ∈Qÿâëÿåòñÿ ÷èñëîì, êîòîðîå ìû íàçîâåì õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ÷èñëîì ôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ äàííîé ñæàòîé ïàðû z( k̂, A ) , ãäå V ýòî îáúåì î÷åíü áîëüøîãî ñèììåòðè÷íîãî êóáà â òðåõìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå.

Îïåðàòîðûðîæäåíèÿ-óíè÷òîæåíèÿ äëÿ ×åðí-Ñàéìîíîâñêèõ âåêòîðíûõ ÷àñòèö ( c ı , c †ȷ ) èâåêòîðíûõ ÷àñòèö Ïðîêà-Øòþêåëüáåðãà ( a ı , a †ȷ ) óäîâëåòâîðÿþò îáû÷íûì êàíîíè÷åñêèì êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì. îáùåì âèäå,åñëè ìû îáîçíà÷èì Qa ( a = 1, 2, . . . , n ) êàæäûé èç n ñîõðàíÿþùèõñÿ çàðÿäîâ ñèñòåìû, êîòîðûå ïîçâîëåíû êîíôèãóðàöèåé ôîíîâîãî ïîëÿ, íàðóøàþùåãî ÷åòíîñòü, òî åñòü, Qa =∑†ȷ ∈Q qaȷ c ȷ c ȷãäå, íàïðèìåð, qaȷ ( a =1, 2, . . .

, n ) ýòî çàðÿäû ñæàòûõ ñîñòîÿíèé ñ îïðåäåëåííûìè êâàíòîâûìè ÷èñëàìè ȷ ∈ Q , òîãäà äëÿ ëþáîãî ñæàòîãî ñîñòîÿíèÿ Π †ı | 0 ⟩ ñ îïðåäåëåííûìèêâàíòîâûìè ÷èñëàìè ìû íàõîäèìQa Π †ı | Ω ⟩ = 2qaı Π †ı | Ω ⟩( ∀ ı ∈ Q ∨ a = 1, 2, . . . , n )(2.95)Îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ-óíè÷òîæåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì[12∑ı ∈Qzı∑ȷ ∈Q(∑ ∑ []]zız̄ ȷ c ı c ı , c †ȷ c †ȷ =Π(z) , Π † (z̄) = 41)z̄ ȷ c ı c †ȷ + c †ȷ c ı δ ıȷ (2π)3 =ı ∈Q∑ı ∈Q12ȷ ∈Q{}z ı z̄ ı c ı , c †ı ≡ 2N(z̄z) (2.96)53â êîòîðûõN(z̄z) ≡∑14()∑††z ı z̄ ı c ı c ı + c ı c ı = N † (z z̄) = 41 νo + ı ∈Q 12 z ı z̄ ı c †ı c ı (2.97)ı ∈QÍàêîíåö, äëÿ ν ı ∈ R ( ∀ ı ∈ Q ) ìû ïîëó÷àåì[N(ν), Π(z)] =18∑ȷ∈Qνȷ∑∑[]1zı c†ȷ cȷ + cȷ c†ȷ , cı cı = −2 νı zı Πı = −Π(zν) (2.98)ı∈Q[ı∈Q] ∑1††N(ν), Π† (z̄) =2 ν ı z̄ ı Π ı = Π (ν z̄) (2.99)ı ∈QÎòñþäà ñëåäóåò, ÷òî óêàçàííûå âûøå òðè îïåðàòîðà óäîâëåòâîðÿþò øèðîêîèçâåñòíûì êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì[]N(ν), Π† (z̄) = Π† (ν z̄);[Π(z), N(ν) ] = Π(νz);[]Π† (z̄), Π(z) = 2N(z̄z)(2.100)â êîòîðûõΠ(z) = J− (z) = J1 (z) − i J2 (z)(2.101)Π † (z̄) = J+ (z̄) = J1 (z̄) + i J2 (z̄)(2.102)N(ν) = J3 (z z̄)(2.103)ãäå òðîéêà îïåðàòîðîâ)J1 (z, z̄) ≡ Π(z) + Π (z̄))1 ( †J2 (z, z̄) ≡Π (z̄) − Π(z)2iJ3 (z z̄) = N(ν)12(†(2.104)ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì ýðìèòîâûõ ãåíåðàòîðîâ, ïîä÷èíÿþùèõñÿ õîðîøî èçâåñòíûìñâîéñòâàì SU(2) àëãåáðû Ëè[ Ja , Jb ] = i ε abc Jc( a, b, c = 1, 2, 3 )(2.105)Òåïåðü, ê ïðèìåðó, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî êâàíòîâîå ñîñòîÿíèå | z̄ ⟩ , êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò îáùåãî âèäà ñæàòóþ ïàðó ×åðí-Ñàéìîíîâñêèõ ÷àñòèö ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ èìïóëüñà z̄ ı ( ı ∈ Q ) , óäîâëåòâîðÿåò| z̄ ⟩ = Π † (z̄) | Ω ⟩⟨ z | = ⟨ Ω | Π(z)(2.106)54è äåìîíñòðèðóåò èíôðàêðàñíî-ðåãóëÿðèçîâàííóþ íîðìèðîâêó⟨ z | z̄ ⟩ = ⟨ Ω | [ Π(z) , Π † (z̄) ] | Ω ⟩ = − 2⟨ Ω | N(z̄z) | Ω ⟩ = νo(2.107)2.3.1.

Ïðîõîæäåíèå è îòðàæåíèå èç àëãåáðàè÷åñêîãî ïîäõîäàÎáùåé îñîáåííîñòüþ, êîòîðàÿ õàðàêòåðèçóåò ñæàòûå ïàðíûå ïðîöåññû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ ìàññèâíûõ âåêòîðíûõ ÷àñòèö â ïðîñòðàíñòâå ñ íàðóøåííîé ÷åòíîñòüþ, ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå íåñèíãóëÿðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Áîãîëþáîâà S , ãåíåðàòîð êîòîðîãî äåéñòâóåò íà ôîêîâñêîå ïðîñòðàíñòâî â ñîîòâåòñòâèè ñaı = S−1cı S ≡∑(α ıȷ c ȷ −β ıȷ∗ c †ȷ)(2.108)ȷ∈Qc †ı=S−1a †ı S≡∑(α ıȷ a †ȷ)+ β ıȷ a ȷ(2.109)ȷ∈Qâ ñîãëàñèè ñ ïðåäûäóùèìè ñîîòíîøåíèÿìè (2.67) è (2.68), ãäåα ıȷ ≡ α r, A (k̂, p̂) = α r, A (k̂) δ(k̂ − p̂) (2π)3(2.110)β ıȷ ≡ β r, A (k̂, p̂) = β r, A (k̂) δ(k̂ − p̂) (2π)3âìåñòå ñ∑  α ıȷ∗ α ıκ − β ıȷ∗ β ıκ = δ ȷκ α ıȷ β ∗ − α ∗ β ıκ = 0ı∈Qıκ(∀ı, ȷ, κ ∈ Q)ıȷòàê ÷òî êàíîíè÷åñêèå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ[ c ı , c †ȷ ] = δıȷ = [ a ı , a †ȷ ]îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè áëàãîäàðÿ ñâîéñòâó ïîäîáèÿ íåñèíãóëÿðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ S .

Òàêèì îáðàçîì ìû ïîëó÷àåì äâà ôîêîâñêèõ ïðîñòðàíñòâà F PS è F CS ,êîòîðûå îáðàçîâàíû öèêëè÷åñêèìè âàêóóìíûìè ñîñòîÿíèÿìè, íîðìèðîâàííûìè íà åäèíèöó è îïðåäåëåííûìè ñëåäóþùèì îáðàçîì,a ı | 0 ⟩ = 0 = ⟨ 0 | a †ı(∀ı ∈ Q)(2.111)c ȷ | Ω ⟩ = 0 = ⟨ Ω | c †ȷ(∀ȷ ∈ Q)(2.112)55Òåïåðü, íàïðèìåð, ìû èìååìc ı a †κ|0⟩ =∑(α ıȷ∗ a ȷ a †κȷ∈Q=∗α ıκ|0⟩ +∑|0⟩ +β ıȷ∗ a †ȷ a †κ|0⟩)β ıȷ∗ a †ȷ a †κ | 0 ⟩(2.113)(∀ı, ȷ ∈ Q)(2.114)ȷ∈Qòàê ÷òî⟨ 0 | c ı a †ȷ | 0 ⟩ = α ıȷ∗∗ˆ ÿâëÿåòîòêóäà ñëåäóåò, êàê è îæèäàëîñü, ÷òî êîýôôèöèåíò Áîãîëþáîâà α r,A(k)ñÿ íå ÷åì èíûì êàê àìïëèòóäîé âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî ïàðà ÷àñòèö Ïðîêà-Øòþêåëüáåðãà íå ðîäèëàñü èç âàêóóìà | 0 ⟩, ò.å.

îòíîñèòåëüíîé àìïëèòóäîé âåðîÿòíîñòè ñòàáèëüíîñòè âàêóóìà Ïðîêà-Øòþêåëüáåðãà. Òàêèì æå îáðàçîì, èñïîëüçóÿâàêóìíîå ñðåäíåå,V −1 ⟨ 0 | a κ c †ȷ Π ı | 0 ⟩ =∑∗β ȷℓ⟨ 0 | 12 a 2ı a †ℓ a †κ | 0 ⟩ V −1ℓ∈Q−1= Vβ ȷı∗ δ κı(∀ı, κ ∈ Q)(2.115)òàêæå ÿñíî, ÷òî ìû ìîæåì ïîíèìàòü êîýôôèöèåíò Áîãîëþáîâà β ı êàê àìïëèòóäó âåðîÿòíîñòè ñîçäàíèÿ ñæàòîé ïàðû ÏØ èç âàêóóìà èëè ïîãëîùåíèÿ ïàðûâàêóóìîì.×òîáû ïðîäîëæèòü äàëüøå, ðàññìîòðèì, ê ïðèìåðó, ×åðí-Ñàéìîíîâñêîåêâàíòîâîå âåêòîðíîå ïîëå è îïðåäåëèìb ) ≡ exp{− i θ · T(z, z̄, ν)}S( θ, n(2.116)θ · T(z, z̄, ν) ≡ Π † ( θ z̄) + Π(zθ) + 2N(θν)(2.117)ãäå θℓ ( ∀ ℓ ∈ Q ) - âåùåñòâåííûé ôóíêöèîíàëüíûé ïàðàìåòð, â òî âðåìÿ êàêb ı ñâÿçàí ñ ôóíêöèîíàëüíûìè ïàðàìåòðàôóíêöèîíàëüíûé åäèíè÷íûé âåêòîð nìè z ı , z̄ ı , ν ı ÷åðåç ñîîòíîøåíèÿb 2ı = ν ı2 − z ı z̄ ı = 1n(∀ı ∈ Q)56Ê ïðèìåðó, ïîäõîäÿùèé ôóíêöèîíàëüíûé âèä ïàðàìåòðîâ ïðåäñòàâëÿåò ïàðóãèïåðáîëè÷åñêèõ è òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ υ ı and ϕ ı , òàêèõ ÷òîν ı = cosh υ ı ;z ı = sinh υ ı e− iϕ ı ;( υ ı ∈ R , 0 ≤ ϕ ı < 2π , ∀ ı ∈ Q )Èç áàçîâûõ êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé[ T(z, z̄, ν) , c ı ] = − z̄ ı c †ı − ν ı c ı[ T(z, z̄, ν) , c †ı ] = z ı c ı + ν ı c †ı(2.118)[ T , [ T , c †ı ] ] = c †ı(2.119)ìû ïîëó÷èì[ T , [ T , cı ] ] = cıÊàê ñëåäñòâèå, ìû âûâîäèì íàèáîëåå îáùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ Áîãîëþáîâà â âèäåaı = cı + iθı [T, cı ] +12!(iθı )2 [T, [ T, cı ]] + 3!1 (iθı )3 [T, [T, [T, cı ]]] + · · ·= (cos θ ı − i ν ı sin θ ı ) c ı − i c †ı z̄ ı sin θ ı= α ı c ı − β ∗ı c †ı(2.120)a†ȷ = c†ȷ + iθȷ [T, c†ȷ ] + 2!1 (iθȷ )2 [T, [T, c†ȷ ]] + 3!1 (iθȷ )3 [T, [T, [T, c†ȷ ]]] + · · ·=(cos θȷ + i ν ȷ sin θȷ ) c †ȷ + i c ȷ z ȷ sin θȷ= α∗ȷ c †ȷ − β ȷ c ȷ(2.121)ñβ ȷ∗ ≡ i z̄ ȷ sin θȷα ȷ ≡ cos θȷ − i ν ȷ sin θȷb ȷ2 = νȷ2 − z̄ȷ zȷ = 1n(2.122)| α ȷ |2 + | β ȷ |2 = 1Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèîíàëüíûé óíèòàðíûé îïåðàòîðb ) = S( α, β )S(θ, z, ν) = S( θ, nS −1 = S †(2.123)ãåíåðèðóåò ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîäîáèÿ Áîãîëþáîâà, êîòîðûå ñâÿçûâàþò âåêòîðíûå ïîëÿ Ïðîêà-Øòþêåëüáåðãà è Ìàêñâåëëà-×åðíà-Ñàéìîíñà ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè îïðåäåëåíèÿìèAνPS (x) = S −1 AνCS (x) S| PS ⟩ = S | CS ⟩(2.124)57Áîëåå òîãî, ìû ïîëó÷àåìAνPS (x) =∑[]S −1 c ı v ı (x) + c †ı v ı∗ (x) Sı ∈Q=∑ [ȷ ∈QAνCS (x) =∑a ȷ u ȷ (x) + a †ȷ u ∗ȷ (x)(2.125)][S a ı u ı (x) + a †ı u ∗ı (x) S −1ı ∈Q=]∑ [c ȷ v ȷ (x) + c †ȷ v ȷ∗ (x)](2.126)ȷ ∈Qãäå, â ñëó÷àå ñ îáëàñòüþ ñ íàðóøåííîé ÷åòíîñòüþ è ÷åòûðåõìåðíûì ïðîñòðàíñòâîì Ìèíêîâñêîãî, ìû, íàïðèìåð, èìååìu ı (x) ≡ u νk̂,r (x, x̂)ν(x, x̂)v ȷ (x) ≡ v p̂,AÇíà÷èò, ñàìûé îáùèé âèä ïðåîáðàçîâàíèé Áîãîëþáîâà åñòü íè÷òî èíîå, êàêôóíêöèîíàëüíîå âðàùåíèå â ôîêîâñêîì ïðîñòðàíñòâå ñ ïàðàìåòðàìè (θ, z, ν) =b ) = ( α, β ) , ãåíåðàòîðàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ îïåðàòîðû èçëó÷åíèÿ ñæàòîé(θ, nïàðû Π † (θz̄) , ïîãëîùåíèÿ ñæàòîé ïàðû Π(θz) è êîëè÷åñòâà ñæàòûõ ïàð N(θν),êîòîðûå äåéñòâèòåëüíî óäîâëåòâîðÿþò ôóíêöèîíàëüíûì êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì, âîçíèêàþùèì â SU(2) àëãåáðå Ëè.Òîò ôàêò, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèÿ Áîãîëþáîâà ìîãóò áûòü ïåðåïèñàíû êàêôóíêöèîíàëüíîå âðàùåíèå â ôîêîâñêîì ïðîñòðàíñòâå, ïîëåçåí íå òîëüêî äëÿçàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ýëåêòðîäèíàìèêîé Ì×Ñ â êîíå÷íîì îáúåìå, íî è âî âñåõèññëåäîâàíèÿõ, èìåþùèõ äåëî ñ ðàçëè÷íûìè ôîêîâñêèìè ïðîñòðàíñòâàìè èâîçìîæíîñòüþ ïåðåõîäà ìåæäó íèìè.58Ãëàâà 3Ðàñ÷åò êîýôôèöèåíòîâ îòðàæåíèÿ èïðîõîæäåíèÿ äàííîé ãëàâå íàøà îñíîâíàÿ çàäà÷à ñîñòîèò â êîëè÷åñòâåííîì îïèñàíèè ýôôåêòîâ, âîçíèêàþùèõ ïðè ïðîõîæäåíèè ÷àñòèö ÷åðåç ãðàíèöó âàêóóìàè îáëàñòè ñ íàðóøåíèåì ÷åòíîñòè.

Характеристики

Список файлов диссертации