Диссертация (1150860), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Êàê áûëî ñêàçàíî â ãëàâå 1, äî ñèõ ïîð íå ïîëó÷åíî íèêàêèõ äîñòîâåðíûõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äîêàçàòåëüñòâ ñóùåñòâîâàíèÿ àêñèîíîâ,îäíàêî òåîðåòè÷åñêè áûëî ïîêàçàíî [18][21], ÷òî íàðóøåíèå ïðîñòðàíñòâåííîé÷åòíîñòè ìîæåò âîçíèêàòü ïðè Áîçå-Ýéíøòåéíîâñêîé êîíäåíñàöèè àêñèîíîâèëè àêñèîíîïîäîáíûõ ïîëåé íà ðàçëè÷íûõ àñòðîôèçè÷åñêèõ ìàñøòàáàõ.  ÷àñòíîñòè, ýòî ìîæåò ïðîèñõîäèòü âíóòðè çâåçä[97]. Ïîäîáíûå àêñèîííûå êîíäåíñàòû ìîãóò áûòü äîñòàòî÷íî êîìïàêòíûìè[98].
 ïëîòíîé ÿäåðíîé ñðåäå ñëåäóåòòàêæå ó÷åñòü ÿâëåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ ïèîííûì[99] è êèðàëüíûì êîíäåíñàòîì[100]. äàííîé ãëàâå íå ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðèðîäà îáðàçîâàíèÿ ïñåâäîñêàëÿðíîãî êîíäåíñàòà, à âàæåí ëèøü åãî ãðàäèåíò ïëîòíîñòè â ñðåäå. Äåëî â òîì, ÷òî äëÿîáëàñòè ñ ïîñòîÿííîé ïëîòíîñòüþ ïñåâäîñêàëÿðíîãî êîíäåíñàòà âåêòîð ×Ñ îáðàùàåòñÿ â íîëü, è ýëåêòðîìàãíèòíûå ñâîéñòâà ìîãóò áûòü îïèñàíû îáû÷íîéÌàêñâåëëîâñêîé ýëåêòðîäèíàìèêîé. Òî æå ïîâåäåíèå âåðíî è äëÿ ïîñòîÿííîãîàêñèàëüíî-âåêòîðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ôåðìèîíàìè [30, 101].Äëÿ íà÷àëà, îáñóäèì, êàê ìåíÿåòñÿ êèíåìàòèêà ôîòîíîâ è ôåðìèîíîâ âèíòåðåñóþùåé íàñ îáëàñòè, è óáåäèìñÿ, ÷òî èçìåíåíèÿ îòëè÷àþòñÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ ïîëÿðèçàöèé ôîòîíîâ, à â ñëó÷àå ôåðìèîíîâ 'ìîðå' Ôåðìè ðàñùåïëÿåòñÿ75íà äâà ñ ðàçëè÷àþùèìèñÿ óðîâíÿìè Ôåðìè.
Çàòåì ìû âûïèøåì êîýôôèöèåíòû îòðàæåíèÿ è ïðîõîæäåíèÿ äëÿ ôîòîíîâ, ïåðåñåêàþùèõ ãðàíèöó îáëàñòåéñ ðàçíûìè óðàâíåíèÿìè ñîñòîÿíèÿ è ïîêàæåì, ÷òî ýôôåêòû îòðàæåíèÿ ìîãóòçíà÷èòåëüíî âëèÿòü íà ïðîöåññ ðàäèàöèîííîãî îõëàæäåíèÿ, åñëè ãðàäèåíò ïëîòíîñòè áîëüøå õàðàêòåðíîé òåìïåðàòóðû ñðåäû. Ïîäîáíûé ïðîöåññ ïðîèñõîäèòè äëÿ ôåðìèîíîâ, îäíàêî ýôôåêòû, ñâÿçàííûå ñ ôåðìèîíàìè, çíà÷èòåëüíî ïîäàâëåíû ýôôåêòèâíîé ôåðìèîííîé ìàññîé.
Ôåðìèîíû ìîãóò 'ðàñïàäàòüñÿ' âñðåäå (ò.å. ïåðåõîäèòü â áîëåå 'íèçêîå ìîðå' Ôåðìè), èñïóñêàÿ ôîòîí. Áîëåå òîãî, ôîòîíû ñ îïðåäåëåííîé ïîëÿðèçàöèåé, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ â îïèñûâàåìîéñðåäå, ìîãóò ðàñïàäàòüñÿ íà ôåðìèîí-àíòèôåðìèîííóþ ïàðó.  êîíöå ãëàâû ìûîáñóäèì ïðåäïîëîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïðèìåíèìîñòè îïèñûâàåìûõ íàìè ÿâëåíèé â âûðîæäåííûõ ôåðìèîííûõ ñèñòåìàõ, íàïðèìåð, â ïëîòíûõ çâåçäàõ, ãäåâîçìîæíî îáðàçîâàíèå ïñåâäîñêàëÿðíîãî êîíäåíñàòà.4.1. Ïñåâäîñêàëÿðíûé êîíäåíñàò â êîìïàêòíûõ çâåçäàõÏðåäïîëîæèì, ÷òî â îïèñûâàåìîé íàìè ïëîòíîé ñèñòåìå ïðèñóòñòâóþòäîìåíû ñ ðàçëè÷íûìè çíà÷åíèÿìè ïñåâäîñêàëÿðíîãî êîíäåíñàòà. Êàæäîìó äîìåíó ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ âåëè÷èíà êîíäåíñàòà ai . a = 0 òàêæå ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìûì çíà÷åíèåì.
Ñëåäóåò îæèäàòü, ÷òî ìåæäó ðàçëè÷íûìè äîìåíàìè ñóùåñòâóåò ïåðåõîäíàÿ îáëàñòü. Ðèñóíîê äåìîíñòðèðóåò îáùóþ ñèòóàöèþ: îáëàñòü 2 ïåðåõîäíàÿ îáëàñòü ñ íåíóëåâûì ãðàäèåíòîì êîíäåíñàòà, ðàçäåëÿþùàÿ îáëàñòè1 è 3.  ïåðåõîäíîé îáëàñòè ïîâåäåíèå ôîòîíîâ ìîæåò áûòü îïèñàíî ìîäåëüþÊýððîëëà-Ôèëäà-Äæåêèâà (èëè ýëåêòðîäèíàìèêîé Ì×Ñ) ñ ïëîòíîñòüþ ëàãðàíæèàíà,L = − 14 F αβ (x)Fαβ (x) −14F µν (x)Feµν (x) a(x),(4.1)Ïñåâäîñêàëÿðíîå ïîëå ðàçëè÷íî äëÿ ðàçëè÷íûõ îáëàñòåé. Òàê, â îáëàñòÿõ76Ðèñ.
4.1. Ãðàíèöû äîìåíîâ.1 è 3 a(x) ïî÷òè ïîñòîÿííî, è âòîðîé ÷ëåí â ëàãðàíæèàíå íå äàåò âêëàäà âóðàâíåíèÿ ïîëÿ, òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåòñÿ îáû÷íàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà.  îáëàñòè 2 ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî a ìåíÿåòñÿ ëèíåéíî îò a− äî a+ .  ýòîì ñëó÷àåïñåâäîñêàëÿðíîå ïîëå ìîæåò áûòü ëîêàëüíî âûðàæåíî êàê,a(x) = ζ · x[θ(ζ · (x − x− )) − θ(ζ · (x − x+ ))];ζ · x ≡ ζλ xλ ;(4.2)Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî äëèíà âîëíû ôîòîíà çíà÷èòåëüíî ìåíüøå òîëùèíû îïèñûâàåìîãî ñëîÿ è ñ÷èòàåì ïîñëåäíþþ áåñêîíå÷íîé äëÿ óïðîùåíèÿ íàøèõ âû÷èñëåíèé.
Òàêèì îáðàçîì, â ðàìêàõ ìîäåëè Ëîðåíö èíâàðèàíòíîñòü áóäåò íàðóøåíà â ïîëóïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî, êàê â ïðåäûäóùåé ãëàâå. Ðàññìîòðèìíåáîëüøîé îáúåì â ïîãðàíè÷íîì ñëîå, êîòîðûé íå ÷óâñòâóåò êðèâèçíó ãðàíèöû,è äëÿ ïðîñòîòû âûáåðåì ïåðâóþ ïðîñòðàíñòâåííóþ êîîðäèíàòó âäîëü ëîêàëüíîãî ðàäèóñà êðèâèçíû äîìåíà è óñòàíîâèì x− êàê x1 = 0.  ýòîì ñëó÷àå,a(x) = ζx1 θ(x1 ),(4.3)çäåñü ìû ïðåäïîëîæèëè, ÷òî òîëùèíà ñëîÿ ìåæäó äîìåíàìè çíà÷èòåëüíî áîëüøå õàðàêòåðíîé äëèíû âîëíû ôîòîíà è âçÿëè x+ → ∞. Ýòî ïðåäïîëîæåíèå77ïîçâîëÿåò íàì çíà÷èòåëüíî óïðîñòèòü óðàâíåíèÿ Ýéëåðà-Ëàãðàíæà. Óðàâíåíèÿïîëÿ ïðèîáðåòàþò çíàêîìûé âèä,Aν + ζε1νσρ θ(x1 )∂σ Aρ = 0(4.4)Ýòî óðàâíåíèå áûëî ðåøåíî â ïðåäûäóùåé ãëàâå.
Íàïîìíèì âèä äèñïåðñèîííûõñîîòíîøåíèé äëÿ îáëàñòè, â êîòîðîé äåéñòâóåò ýëåêòðîäèíàìèêà Ì×Ñ,ω 2 = k2 ;äëÿ L ïîëÿðèçàöèè√ω 2 = k2 + 21 ζ 2 + ζ k12 + 14 ζ 2 ; äëÿ + ïîëÿðèçàöèè√ ω 2 = k2 + 1 ζ 2 − ζ k 2 + 1 ζ 2 ; äëÿ - ïîëÿðèçàöèè,124èëè â ôîðìå, áîëåå óäîáíîé äëÿ ðàñ÷åòà ïðîõîæäåíèÿ ôîòîíîâ ÷åðåç ãðàíèöó,√CS02;ω 2 − k⊥k=k= 1L√1√CS2 −ζ2;k1+= ω 2 − k⊥ω 2 − k⊥√ k CS = ω 2 − k 2 + ζ √ω 2 − k 2 ,1−⊥⊥(4.5)Çäåñü, êàê è ðàíåå, èíäåêñ '0' îáîçíà÷àåò ïðîñòðàíñòâî áåç íàðóøåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîé ÷åòíîñòè, ω ýíåðãèÿ ôîòîíà, k⊥ = (0, k2 , k3 ) - ïîïåðå÷íûéâîëíîâîé âåêòîð ôîòîíà. Ýòî âûðàæåíèå îïèñûâàåò òðè ðàçëè÷íûå ïîëÿðèçàöèè ôîòîíà â îáëàñòè ñ ýëåêòðîäèíàìèêîé Ì×Ñ, ò.å. â îáëàñòè, ãäå x1 > 0. Êàêè ñëåäîâàëî îæèäàòü, îáû÷íîå ìàêñâåëëîâñêîå ïîâåäåíèå ôîòîíîâ ìîæåò áûòüïîëó÷åíî, åñëè ζ = 0.4.2.
Ôåðìèîííûé ñïåêòð â ïðèñóòñòâèè ãðàäèåíòàïñåâäîñêàëÿðíîãî êîíäåíñàòà ýòîì ðàçäåëå èññëåäóåì êëþ÷åâûå ñâîéñòâà ñïèíîðíûõ ïîëåé â ïðèñóòñòâèè êèíåòè÷åñêîãî ÷ëåíà, íàðóøàþùåãî Ëîðåíö èíâàðèàíòíîñòü è ñâÿçàííîãîñ ïîñòîÿííûì àêñèàëüíûì âåêòîðîì bµ . Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýòî âåêòîð ïîÿâëÿåòñÿ â îáëàñòè ìåæäó äâóìÿ äîìåíàìè ñ ðàçëè÷íûìè çíà÷åíèÿìè ïñåâäîñêàëÿðíîãî êîíäåíñàòà, è åãî ïðèñóòñòâèå çíà÷èòåëüíî ñêàæåòñÿ íà ñâîéñòâàõ78ôåðìèîíîâ ñ ýíåðãèÿìè áëèçêèìè ê ïîâåðõíîñòè Ôåðìè. Ñïåêòð ñâîáîäíûõ ôåðìèîíîâ ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç èçìåíåííîãî óðàâíåíèÿ Äèðàêà â èìïóëüñíîìïðåäñòàâëåíèè [38],(γ µ pµ − m − γ µ bµ γ5 ) ψ = 0 .(4.6)Äëÿ ðåøåíèÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ óäîáíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå ïðåäñòàâëåíèÿ:γ 0 γ 1 γ 5 = −iγ 0 γ 1 γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 = −iγ 2 γ 3 = − σ1 00 σ1 ≡ −σ̂1 ;(4.7)Èñïîëüçóÿ èõ è óìíîæàÿ ïåðâîå óðàâíåíèå íà γ 0 ïîëó÷àåì,(γ 0 γ µ pµ − γ 0 m + bσ̂1 )ψ = 0.(4.8)Òåïåðü ââåäåì äâà ïðîåêòîðà,P± ≡I ± σ̂1;2ψ± = P± ψ.(4.9)Âîñïîëüçóåìñÿ èìè, ÷òîáû óïðîñòèòü (4.8) ñ ïîìîùüþ íèæåñëåäóþùèõ ñîîòíîøåíèé,[σ̂1 , γ0 ] = 0;[σ̂1 , γ1 ] = 0; {σ̂1 , γ2 } = 0;{σ̂1 , γ3 } = 0,(4.10)à èìåííî:P+ (γ 0 γ µ pµ − γ 0 m + bσ̂1 )ψ = 0⇐⇒ (p0 − α1 p1 − γ 0 m + b)ψ+ − α⊥ p⊥ ψ− = 0;(4.11)(p0 − α1 p1 − γ 0 m − b)ψ− − α⊥ p⊥ ψ+ = 0;(4.12)à òàêæå,ãäå αi = γ 0 γ i è α⊥ p⊥ = α2 p2 + α3 p3 .
×òîáû ðåøèòü óðàâíåíèÿ (4.11-4.12) óìíîæèì (4.11) íà α⊥ p⊥ ,(α⊥ p⊥ )(p0 − α1 p1 − γ 0 m + b)ψ− =ψ+ .p2⊥(4.13)79Ñ ïîìîùüþ ýòèõ óðàâíåíèé ïîëó÷àåì,[]α⊥ p⊥00(p0 − α1 p1 − γ m − b) 2 (p0 − α1 p1 − γ m + b) − α⊥ p⊥ ψ+ = 0;p⊥è äëÿ ψ− , ψ+ íàõîäèì ñëåäóþùåå óñëîâèå,(p20 − p2 − m2 − b2 ± 2b(α1 p1 + γ 0 m))ψ± = 0.(4.14)ϕ±. Èñïîëüçóÿ åãî, çàïèøåì (4.14)Äëÿ åãî ðåøåíèÿ âûðàçèì ψ± êàê ψ± = ξ±â âèäå,(p20 − p2 − m2 − b2 ± 2bm)ϕ± ± 2bp1 σ1 ξ± = 0(4.15)(p20 − p2 − m2 − b2 ∓ 2bm)ξ± ± 2bp1 σ1 ϕ± = 0(4.16)Èç ýòèõ óðàâíåíèé íåòðóäíî ïîëó÷èòü, ÷òî,[](p20 − p2 − m2 − b2 )2 − 4b2 m2 − 4b2 p21 ϕ± = 0,(4.17)îòñþäà äèñïåðñèîííûé çàêîí èìååò âèä,p20√= p + m + b ± 2b m2 + p21 .222(4.18) èòîãå ïîëå Äèðàêà ψ(x) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî ñëåäóþùèì îáðàçîì,ψ(x) =∑uA (p)e−ip̂x̂+p1A x1 ,(4.19)A=±ãäå,√p20p1∓ =−p2⊥+3b2−m2√± 2b p20 − p2⊥ + 2b2 − 2m2 .Òàêèì îáðàçîì, ñïåêòð ôåðìèîíîâ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì âûðàæåíèåì,(p + b̃ − m222)2+ 4b̃2 m2 − 4(b̃ · p)2 = 0 .(4.20)Ýòî óðàâíåíèå èìååò ðåøåíèÿ äëÿ ëþáûõ çíà÷åíèé bµ .
Îäíàêî, êâàíòîâàíèå ñïèíîðíîãî ïîëÿ ìîæåò áûòü ïðîèçâåäåíî òîëüêî â ñëó÷àå íàëè÷èÿ ïàðû80êîðíåé (4.20) ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè çíàêàìè è ìàññîâîé ùåëüþ ìåæäó íèìè.Ýòè óñëîâèÿ âûïîëíÿþòñÿ [102] äëÿ íåáîëüøèõ bµ , à íàëè÷èå ìàññîâîé ùåëèäàåò íàì îòñóòñòâèå ðåøåíèé ñ p0 = 0. Ïîäîáíûå ðåøåíèÿ íå âîçíèêàþò äëÿèñïîëüçóåìîãî íàìè ïðîñòðàíñòâåííî-ïîäîáíîãî bµ . Áîëåå òîãî, âûáîð b2 < m2äîñòàòî÷íî ðàçóìåí äëÿ îïèñàíèÿ âåëè÷èíû ïîñòîÿííîãî àêñèàëüíîãî âåêòîðàñîîòâåòñòâóþùåãî ãðàäèåíòó ïñåâäîñêàëÿðíîãî êîíäåíñàòà, ïîñêîëüêó (êàê áóäåò ïîêàçàíî â ñëåäóþùåì ðàçäåëå) ýòà âåëè÷èíà íå äîëæíà ïðåâûøàòü íåñêîëüêèõ ÊýÂ.Äëÿ ïðîñòðàíñòâåííî-ïîäîáíîãî ñëó÷àÿ ìû ìîæåì ïðèâåñòè bµ ê âèäóbµ = (0, b) = (0, b, 0, 0); b > 0 ïðàâèëüíûì âûáîðîì ñèñòåìû êîîðäèíàò.
Òîãäà äèñïåðñèîííûé çàêîí îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì,2ω =p2⊥+p21()2√√2+ b + m ± 2b p21 + m2 = p⊥ + b ± p21 + m2 ;22p = (p1 , p2 , p3 );p⊥ = (0, p2 , p3 ).(4.21)Ýòè ðåøåíèÿ ðàçäåëåíû êîíóñîì óñòîé÷èâîñòè. Ãðàíèöà óñòîé÷èâîñòè p2µ = 0ìîæåò áûòü âûðàæåíà êàê,|p1 | =(m2 − b2 ).2b(4.22) íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðèáëèæåíèè (ìàëûå çíà÷åíèÿ èìïóëüñà) äèñïåðñèîííûåñîîòíîøåíèÿ äëÿ ôåðìèîíîâ îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèåì,p21p2⊥ω =m±b++.2m 2m(4.23)Äàëåå ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ñðåäà íàõîäèòñÿ â òåïëîâîì ðàâíîâåñèè ñ òåìïåðàòóðîé T .
Äâå ðàçíûå ìàññîâûå ïîâåðõíîñòè ïðèâåäóò ê äâóìðàçëè÷íûì "ìîðÿì"Ôåðìè. Îíè â íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðåäåëå ñîîòâåòñòâóþò ±âåòâÿì íàïèñàííîãî âûøå âûðàæåíèÿ. Ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ õèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî µ± äëÿðàçëè÷íûõ ÷èñåë çàïîëíåíèÿ,∫N± = Vdω√(2m)3 (ω ± b)1±4π 2exp ω−µ+1T(4.24)81−Ýòî äàåò íàì ñâÿçü µ+ = µ− +2b è, ñîîòâåòñòâåííî, ãðàíèöû Ôåðìè ϵ+F > ϵF(ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî b ïîëîæèòåëüíî).
Ñóùåñòâîâàíèå îáëàñòåé ñ íåíóëåâûìãðàäèåíòîì ïñåâäîñêàëÿðíîãî ïîëÿ ïðèâîäèò ê ðàñùåïëåíèþ ìîðÿ Ôåðìè íàäâà (ñ ðàçíèöåé â ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíÿõ, ïðîïîðöèîíàëüíîé çíà÷åíèþ ãðàäèåíòà). Äëÿ ïðîñòîòû ìû ïîëàãàåì, ÷òî ãðàäèåíò ïîñòîÿíåí.4.3. Ðàñïðîñòðàíåíèå ôîòîíîâ â ñðåäåÐàññìîòðèì ðàñïðîñòðàíåíèå ôîòîíîâ âíóòðè êàæäîé èç îáëàñòåé, óêàçàííûõ íà Ðèñ. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
