Диссертация (1150860), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Îïèñàííûå â ïðåäûäóùåé ãëàâå ìåòîäû íàõîæäåíèÿ ñîîòíîøåíèé ìåæäó ïîëÿìè ÿâëÿþòñÿ äîñòàòî÷íî îáùèìè, îäíàêîíàñ èíòåðåñóåò êîíêðåòíàÿ ÷àñòíàÿ ìîäåëü, â ðàìêàõ êîòîðîé ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ êëàññè÷åñêèì ïîäõîäîì.3.1. Êëàññè÷åñêèå ðåøåíèÿ äëÿïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíîãî âåêòîðà ×åðíà-ÑàéìîíñàÐàññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî ñëó÷àé ïðîñòðàíñòâåííîãî âåêòîðà ×åðíà-Ñàéìîíñà ζµ = (0, − ζx , 0, 0), ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå åãî âèä, ïëîòíîñòü ëàãðàíæèàíà (2.1) ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå,L = − 14 F αβ (x)Fαβ (x) + 12 εµνσρ ζx ∂µ Aν (x)∂σ Aρ (x) θ(−x1 ) x1+12m2 Aν (x)Aν (x) + Aµ (x) ∂µ B(x) + 21 κ B 2 (x).(3.1)Ïîñëå óñòðàíåíèÿ ïîëÿ Øòþêåëüáåðãà, óðàâíåíèÿ ïîëÿ ïðèíèìàþò ñëåäóþùèéâèä,Aν + m2 Aν + ζx ε1νσρ θ(−x1 )∂σ Aρ = 0(3.2)59èëè, åñëè ðàñïèñàòü ïîêîìïîíåíòíî,( + m2 )A0 = −ζx θ(−x1 )(∂2 A3 − ∂3 A2 )( + m2 )A1 = 0( + m2 )A2 = −ζx θ(−x1 )(∂3 A0 − ∂0 A3 ) ( + m2 )A3 = −ζx θ(−x1 )(∂0 A2 − ∂2 A0 )(3.3)Íàïîìíèì, ÷òî íàìè áûëè ââåäåíû îáúåêòû k̂ = (ω, k2 , k3 ), x̂ = (x0 , x2 , x3 )è èõ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå k̂ · x̂ = −ωx0 + k2 x2 + k3 x3 .
Ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïî êîîðäèíàòàì, âõîäÿùèì â äàííûå îáúåêòû, ìîæíî ëåãêîðåøèòü óðàâíåíèå íà A1 âî âñåì ïðîñòðàíñòâå,∫A1 =×[dk̂2θ(ω 2 − k⊥− m2 ) ×3(2π)]ũ1→ (ω, k2 , k3 )eik10 x1 + ũ1← (ω, k2 , k3 )e−ik10 x1 eik̂x̂ ,(3.4)222ãäå k10= ω 2 − m2 − k⊥, k⊥= k22 + k32 .Ðàññìîòðèì îñòàâøèåñÿ êîìïîíåíòû Aµ . Äëÿ êàæäîé èç íèõ â ïðàâîì èëåâîì ïîëóïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóåò ñîîòâåòñòâóþùåå ðåøåíèå, ò.å. ïåðâîå ðåøåíèå áóäåò îïèñûâàòü âåêòîðíûé ìåçîí ïðè x1 > 0, âòîðîå ïðè x1 < 0. ñëó÷àå x1 > 0 ïîëó÷àåòñÿ ðåøåíèå óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà,∫ dk̂222ik10 x1A0 = (2π)+ ũ0← (ω, k2 , k3 )e−ik10 x1 )eik̂x̂3 θ(ω − k⊥ − m ) (ũ0→ (ω, k2 , k3 )e∫ dk̂222ik10 x1+ ũ2← (ω, k2 , k3 )e−ik10 x1 )eik̂x̂A2 = (2π)3 θ(ω − k⊥ − m ) (ũ2→ (ω, k2 , k3 )e∫ dk̂2 A3 =θ(ω 2 − k⊥− m2 ) (ũ3→ (ω, k2 , k3 )eik10 x1 + ũ3← (ω, k2 , k3 )e−ik10 x1 )eik̂x̂(2π)3(3.5)×òîáû ðåøèòü óðàâíåíèå (3.3) âî âòîðîì ñëó÷àå, ñäåëàåì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå è ïî x1 ,(−ω 2 + k2 + m2 )Ã0 = −iζx (k3 Ã2 − k2 Ã3 )(−ω 2 + k2 + m2 )Ã2 = −iζx (k3 Ã0 + ω Ã3 ) (−ω 2 + k2 + m2 )Ã3 = iζx (ω Ã2 + k2 Ã0 )(3.6)Ýòà ñèñòåìà äàåò íàì,Ãν =∑A[ṽνA→ (k2 , k3 , ω)δ(k1 − k1A ) + ṽνA← (k2 , k3 , ω)δ(k1 + k1A )](3.7)60Çäåñü ïåðâûé èíäåêñ ṽ îáîçíà÷àåò ñîîòâåòñòâóþùóþ êîìïîíåíòó Aν , ν =0, 2, 3, âòîðîé èíäåêñ A îòâå÷àåò çà ðàçëè÷íûå çàêîíû äèñïåðñèè k1 äëÿ ïîëÿðèçàöèé L, +, −, è ñòðåëêè →, ← ïîêàçûâàþò íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ ÷àñòèöû.Íèæå ïðèâåäåíû çàêîíû äèñïåðñèè äëÿ ðàçëè÷íûõ ïîëÿðèçàöèé,k1+k1−√2k1L = k10 = ω 2 − m2 − k⊥√√2 +ζ22= ω 2 − m2 − k ⊥x ω − k⊥√√2 −ζ22= ω 2 − m2 − k⊥x ω − k⊥(3.8)Èç (3.6) ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó v ,√2k2 k3 −iω ω 2 −k⊥ṽ3+ṽ=22+ω 2 −k2√2k2 k3 +iω ω 2 −k⊥ṽ3−ṽ=22−2ω −k22+ −k2 ṽ3+ ) ṽ0+ = − i(k3 ṽ√22ṽ0− =ω −k⊥i(k3 ṽ2− −k2 ṽ3− )√(3.9)2ω 2 −k⊥k2k3 ṽ3L− kω3 ṽ3Lṽ2L =ṽ0L =Èòàê, ìû èìååì êëàññè÷åñêèå ðåøåíèÿ â îáîèõ ïîëóïðîñòðàíñòâàõ, è òåïåðüíàì íàäî ñêëåèòü èõ íà ãðàíèöå.
Äëÿ ýòîé öåëè âîçüìåì ñèñòåìó (3.3) è ñäåëàåìïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî x0 , x2 , x3 .2(−ω 2 + m2 + k⊥)Ã0 − ∂12 Ã0 = iζx θ(−x1 )(k2 Ã3 − k3 Ã2 )2(−ω 2 + m2 + k⊥)Ã2 − ∂12 Ã2 = −iζx θ(−x1 )(k3 Ã0 + ω Ã3 ) (−ω 2 + m2 + k 2 )Ã3 − ∂ 2 Ã3 = iζx θ(−x1 )(ω Ã2 + k2 Ã0 )⊥(3.10)1Ýòà ñèñòåìà âåðíà âî âñåì ïðîñòðàíñòâå. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñâÿçè íàéäåííûõ ðåøåíèé â ðàçëè÷íûõ ïîëóïðîñòðàíñòâàõ ïðîèíòåãðèðóåì ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ ïîx1 îò −ε äî ε è ñðàâíèì êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ýêñïîíåíòàõ â ïðàâûõè ëåâûõ ÷àñòÿõ óðàâíåíèé.
Ïîäðîáíîå îïèñàíèå äàííîãî ïðîöåññà ìîæíî íàéòè61â [33].  êîíå÷íîì èòîãå, ìû ïîëó÷àåì óñëîâèÿ ñøèâêè,(L)(L)(+)(+)(−)(−)ũν→ − ũν← = ṽνL→ − ṽνL←ũν→ − ũν← =ũν→ − ũν← =(ṽν+→ −ṽν+← )k1+k10(ṽν−→ −ṽν−← )k1−k10(3.11)Ê òîìó æå âñå âêëàäû â A íåïðåðûâíû,(L)(L)(+)(+)(−)(−)ũν→ + ũν← = ṽνL→ + ṽνL←ũν→ + ũν← = ṽν+→ + ṽν+←(3.12)ũν→ + ũν← = ṽν−→ + ṽν−←Èç ïîñëåäíèõ äâóõ ñèñòåì óðàâíåíèé ìîæíî ïîëó÷èòü ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó u èv .
Âñå îíè ìîãóò áûòü çàïèñàíû â ñëåäóþùåì âèäå,1k1A + k10k1A − k10ũ(A)) − ṽνA← ())ν→ = (ṽνA→ (2k10k10k1A + k101k1A − k10) + ṽνA← ())ũ(A)ν← = (−ṽνA→ (2k10k10(3.13)(3.14)3.1.1. Ñðàâíåíèå ðåçóëüòàòîâ ðàçëè÷íûõ ïîäõîäîâÑðàâíèì ïîëó÷èâøèåñÿ êëàññè÷åñêèå ðåøåíèÿ äëÿ ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíîãî âåêòîðà ×åðíà-Ñàéìîíñà ñ ðåøåíèÿìè, ïîëó÷åííûìè êâàíòîâàíèåì è èñïîëüçîâàâøèå ïðåîáðàçîâàíèå Áîãîëþáîâà â ïðåäûäóùåé ãëàâå. Îíè äîëæíûáûòü ýêâèâàëåíòíûìè, ïîýòîìó ìîæíî ñêàçàòü,∑ũν→=[ (2π)3 2k10 ]−1/2 ak̂,r e νr (k̂)3(2π)r=13Ìû çíàåì, ÷òî ũν→ṽνA→= [ (2π)3 2k1A ]−1/2 ck̂,A ε νA (k̂)3(2π)ṽνA←= [ (2π)3 2k1A ]−1/2 c†k̂,A ε ν∗A (k̂)3(2π)∑ (A)= A ũν→ , ñëåäîâàòåëüíî(3.15)(3.16)(3.17)3∑[2k10 ]−1/2 ak̂,r e νr (k̂) =r=1=∑1A2−1/2[2k1A ]][k1A − k10k1A + k10†ν∗ν) − ck̂,A ε A (k̂) () (3.18)ck̂,A ε A (k̂) (k10k1062Èñïîëüçóÿ òîò ôàêò, ÷òî − g µν e µr (k̂) e νs (k̂) = δ rs , ïîëó÷àåìak̂,r =∑1[A2−ck̂,A g µν e µr (k̂) ε νA (k̂)]k1A + k10k1A − k10†µν∗√+ ck̂,A g µν e r (k̂) ε A (k̂) √.k10 k1Ak10 k1A(3.19)Íåòðóäíî óâèäåòü, ÷òî òàêèå æå ñîîòíîøåíèÿ ìû ïîëó÷àëè ïðåäûäóùåé ãëàâå(2.67).
Òàêèì îáðàçîì, íàøè ðåøåíèÿ ñîãëàñóþòñÿ.3.1.2. Âûõîä ÷àñòèöû â âàêóóìÐàññìîòðèì îòäåëüíî ñëó÷àé, êîãäà ÷àñòèöà ïðîõîäèò èç ëåâîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà â ïðàâîå. Ïðè òàêîì ðàññìîòðåíèè ìû äîëæíû ïîëîæèòü ũµ← = 0.ũ(L)ν→ = ṽνL→ − ṽνL← ,(ṽν+→ − ṽν+← )k1+ũ(+)=,ν→k10(ṽν−→ − ṽν−← )k1−ũ(−)=,ν→k10(3.20)ũ(A)ν→ = ṽνA→ + ṽνA← .(3.23)(3.21)(3.22)ãäå ν = 0, 2, 3, à òàêæå,Òåïåðü ìû ìîæåì íàéòè, êàêàÿ ÷àñòü îòðàçèëàñü,ṽνL← = 0,k1+ − k10ṽν+← =ṽν+→ ,k1+ + k10k1− − k10ṽν−← =ṽν−→ ,k1− + k10(3.24)(3.25)(3.26)à êàêàÿ ïðîøëà ÷åðåç ãðàíèöó,ũ(L)ν→ = ṽνL→ ,2k1+ũ(+)=ṽν+→ ,ν→k10 + k1+2k1−ũ(−)=ṽν−→ .ν→k10 + k1−(3.27)(3.28)(3.29) êîíå÷íîì èòîãå, ìû èìååì ñëåäóþùåå ñîñòàâíîå ðåøåíèå,ïðè x1 > 0∫Aµ =dk̂2θ(ω 2 − k⊥− m2 ) ũµ→ (ω, k2 , k3 )eik10 x1 eik̂x̂3(2π)(3.30)63è ïðè x1 < 0∫2θ(ω 2 − k⊥− m2 ) ũ1→ (ω, k2 , k3 )eik10 x1 eik̂x̂∫ dk̂222(3.31)Aν = (2π)3 θ(ω − k⊥ − m )×] ik̂x̂∑ [ik1A x1−ik1A x1+ṽ(ω,k,k)ee , ν = 0, 2, 3ṽ(ω,k,k)eνA→23νA←23AA1 =dk̂(2π)3Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî âñåãî ÷åòûðå íåçàâèñèìûõ êîýôôèöèåíòà îòâå÷àþò çà àìïëèòóäó ïàäàþùåé ÷àñòèöû.Òàêæå ìîæíî çàïèñàòü íàøå ðåøåíèå â ñëåäóþùåì âèäå, ïðè x1 < 0∫dk̂2θ(ω 2 − k⊥− m2 ) ×3(2π)∑[]×ṽνA→ (ω, k2 , k3 )e−ikx + ṽνA← (−ω, −k2 , −k3 )eikxAν =(3.32)Aν = 0, 2, 3Ìû ìîæåì âûïèñàòü äèñïåðñèîííûå ñîîòíîøåíèÿ â òåðìèíàõ èíâàðèàíòíîé ìàññû M 2 = kµ k µ = m2 − ζx√2 ).
 ñëó÷àå äèëåïòîííîãî ðàñïàäà(ω 2 − k⊥÷àñòèöû â ñðåäå, èìåííî èíâàðèàíòíàÿ ìàññà ëåïòîííîé ïàðû ÿâëÿåòñÿ íàáëþäàåìîé âåëè÷èíîé. Âûðàçèì ω ÷åðåç M ,√k1L =(M 2−ζ2√m2 )2− m2 ;k1± =(M 2 − m2 )2− M 2.2ζ(3.33) ýòèõ òåðìèíàõ äèñïåðñèîííûå çàêîíû äëÿ (+) è (−) ïîëÿðèçàöèé ñîâïàäàþòïî ôîðìå. Íî ðàçíèöà ìåæäó ýòèìè âûðàæåíèÿìè çàêëþ÷àåòñÿ â îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ: äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà A = +, èíâàðèàíòíàÿ ìàññà óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ√M < ( m2 +2ζ24−ζ 22) ,√â òî âðåìÿ êàê, åñëè M > ( m2 +2ζ24+ ζ2 )2 , òî ìû èìååì äåëî ñ ïîëÿðèçàöèåé (−).
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â ñëó÷àå ïîëÿðèçàöèè (+),êâàäðàò èíâàðèàíòíîé ìàññû ìîæåò ïðèíèìàòü îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Òàê,íàïðèìåð, â ñëó÷àå áåçìàññîâîé ÷àñòèöû, äëÿ ïîëîæèòåëüíî ïîëÿðèçîâàííîãîôîòîíà M 2 < 0. Òåì íå ìåíåå, íà âñåì ìíîæåñòâå äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé èíâàðèàíòíîé ìàññû, êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ ìîæåò áûòü çàïèñàí â ñëåäóþùåì64âèäå,|√(M 2 −m2 )2ζ2− M2 −√(M 2 −m2 )2ζ2− m2 |√ 2 22.kref = √ 2 2 2(M −m )(M −m )22−M +−m ||ζ2ζ2(3.34)Òàêàÿ çàâèñèìîñòü îò èíâàðèàíòíîé ìàññû ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü ãðàôèê kref (M 2 ).Ïðèâåäåì çäåñü ãðàôèê äëÿ ñëó÷àÿ âûõîäà ôîòîíà èç ñðåäû ñ íàðóøåíèåì ÷åòíîñòè 3.1.Ðèñ.
3.1. Êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ îò ãðàíèöû äëÿ ôîòîíîâ, âûëåòàþùèõ èç ñðåäû ñ íàðóøåííîé ÷¼òíîñòüþ. Çàøòðèõîâàíà êèíåìàòè÷åñêè çàïðåù¼ííàÿ îáëàñòü çíà÷åíèé èíâàðèàíòíîéìàññû.Êàê ìîæíî óâèäåòü èç ãðàôèêà, â ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâåííîãî âåêòîðà ×åðíàÑàéìîíñà è ïðîñòðàíñòâåííîé ãðàíèöû, ïðè |M 2 | >> ζ 2 áîëüøèíñòâî ôîòîíîââûõîäèò èç ñðåäû ñ íàðóøåííîé ÷¼òíîñòüþ, â òî âðåìÿ êàê çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòüôîòîíîâ ñ M 2 ∼ ζ 2 äëÿ ïîëÿðèçàöèè (-) è ñ |M 2 | << ζ 2 äëÿ ïîëÿðèçàöèè (+)îòðàæàåòñÿ îò ãðàíèöû è íå âûõîäèò èç ñðåäû.Çäåñü æå ïðèâåäåì ãðàôèê äëÿ âûõîäà ìåçîíà èç ñðåäû. Åñëè äëÿ ôîòîíà íàì íå íóæíî áûëî íèêàêèõ ïðåäïîëîæåíèé î ïîðÿäêå âåëè÷èíû ãðàäèåíòàïñåâäîñêàëÿðíîãî ïîëÿ, ïîñêîëüêó èç-çà íóëåâîé ìàññû ôîòîíà â âûðàæåíèÿäëÿ êîýôôèöèåíòà îòðàæåíèÿ âõîäèëî òîëüêî îòíîøåíèå èíâàðèàíòíîé ìàññûè âåëè÷èíû ãðàäèåíòà, òî äëÿ âåêòîðíîãî ìåçîíà äëÿ êîëè÷åñòâåííîãî îïèñàíèÿ ïðîöåññà îòðàæåíèÿ íàì ïîòðåáóåòñÿ âûáðàòü çíà÷åíèå ζ .
Íèæå ïðèâåäåí65ãðàôèê 3.2, ïîçâîëÿþùèé îöåíèòü ãðàíè÷íûå ýôôåêòû äëÿ ìåçîíîâ, â êà÷åñòâåðàçìåðíûõ âåëè÷èíû âûáðàíû ζ = 300M eV, m = 780M eV .Ðèñ. 3.2. Êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ îò ãðàíèöû äëÿ âåêòîðíûõ ìåçîíîâ, âûëåòàþùèõ èç ñðåäû ñ íàðóøåííîé ÷¼òíîñòüþ. Çàøòðèõîâàíà êèíåìàòè÷åñêè çàïðåù¼ííàÿ îáëàñòü çíà÷åíèéèíâàðèàíòíîé ìàññû. Äëÿ âåêòîðíîãî ìåçîíà ïîëàãàåì ζ = 300M eV .Íà 3.2 äâå êèíåìàòè÷åñêè ðàçäåëåííûå îáëàñòè ñîîòâåòñòâóþò äâóì ðàçëè÷íûì ïîëÿðèçàöèÿì.
ßðêèì ýôôåêòîì, ñâÿçàííûì ñ íàëè÷èåì ãðàíèöû ÿâëÿåòñÿ îáëàñòü â ðàéîíå 600M eV , ãäå ìåçîíû íå ìîãóò ïîêèíóòü ñðåäó è èñïûòûâàþò ïîëíîå âíóòðåííåå îòðàæåíèå. Ñëåäóåò îäíàêî, íàïîìíèòü, ÷òî äàííûéýôôåêò, à âåðíåå, çíà÷åíèå èíâàðèàíòíîé ìàññû, íà êîòîðîì îí ïðîÿâëÿåòñÿ,çàâèñèò îò âûáèðàåìûõ ïàðàìåòðîâ. Òàêèì îáðàçîì, ðåçóëüòàò íàøåãî ðàññóæäåíèÿ, êàñàþùåãîñÿ âåêòîðíûõ ìåçîíîâ, çàêëþ÷àåòñÿ â âîçìîæíîì ïðèñóòñòâèèýôôåêòà îòðàæåíèÿ (âïëîòü äî ïîëíîãî âíóòðåííåãî ïðè îïðåäåëåííûõ çíà÷åíèÿõ èíâàðèàíòíîé ìàññû) ïðè íàëè÷èè ãðàíèöû ìåæäó âàêóóìîì è îáëàñòüþñ íàðóøåííîé ÷åòíîñòüþ.3.1.3. ×àñòèöà, âëåòàþùàÿ â ïðîñòðàíñòâî ñ íàðóøåíèåì ÷åòíîñòèÍå ìåíåå èíòåðåñíî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé âõîæäåíèÿ ÷àñòèöû â îáëàñòü ñíàðóøåíèåì ÷åòíîñòè. Òàêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî ÷àñòèöà66äâèæåòñÿ èç ïðàâîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà â ëåâîå, è, ñîîòâåòñòâåííî, íàäî ïîëîæèòü ṽµA→ = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
