Диссертация (1150860), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Èç ñîîòíîøåíèé (3.13),(3.14) ïîëó÷àåì,k10 − k1A (A)ũk10 + k1A ν←2k10=ũ(A)k10 + k1A ν←(3.35)ũ(A)ν→ =ṽνA←(3.36)Ðåøåíèÿ, â äàííîì ñëó÷àå, áóäóò âûãëÿäåòü ñëåäóþùèì îáðàçîì, ïðè x1 > 0,∫Aν =×[dk̂2θ(ω 2 − k⊥− m2 ) ×3(2π)]ũν← (ω, k2 , k3 )e−ik10 x1 + ũν→ (ω, k2 , k3 )eik10 x1 eik̂x̂ ;(3.37)ïðè x1 < 0,∫∑dk̂222θ(ω−k−m)ṽνA← (ω, k2 , k3 )e−ik1A x1 eik̂x̂⊥3(2π)Aν =ν = 0, 2, 3.(3.38)AÅäèíñòâåííîå, ÷òî ìû íå çíàåì â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å, ýòî ñîîòíîøåíèå(+)(−)(L)ìåæäó ũν← , ũν← , ũν← . Ìû ìîæåì íàéòè èõ, èñïîëüçóÿ (3.9), (3.35), (3.36) è âñåàìïëèòóäû ïàäàþùåé âîëíû (ũν← ).
Íèæå ïðåäñòàâëåíû âûðàæåíèÿ äëÿ âñåõêîìïîíåíò,(L)ũ0← =(+)ω22ω 2 −k⊥k2⊥ũ0← = − 2(ω2 −k2 ) ũ0← −⊥2(−)k ũ = −⊥ũ −0←2(ω 2 −k 2 ) 0←⊥(+)ωk2k2 k32ũ2← = − ω2k−k2 ũ2← − ω 2 −k 2 ũ0← − ω 2 −k 2 ũ3←⊥⊥⊥ √√22ωk2 −ik3 ω 2 −k⊥k2 k3 −iω ω 2 −k⊥ω 2 −k32= 2(ω2 −k2 ) ũ2← +ũ+ũ3←2)2)0←2(ω 2√−k⊥2(ω 2√−k⊥⊥22ωk2 +ik3 ω 2 −k⊥k2 k3 +iω ω 2 −k⊥ω 2 −k32ũ+ũ+ũ3←= 2(ω0←2 −k 2 ) 2←2(ω 2 −k 2 )2(ω 2 −k 2 )⊥(+) ũ(−)3←⊥(3.40)⊥2(L)ũ3←(3.39)2(L)ũ2← ũ(−)2←ωk3ωk22 −k 2 ũ3← + ω 2 −k 2 ũ2←ω⊥⊥√√22ωk3 −ik2 ω 2 −k⊥ωk2 +ik3 ω 2 −k⊥ũ−ũ2←2)2)3←2(ω 2√−k⊥2(ω 2√−k⊥22ωk3 +ik2 ω 2 −k⊥ωk2 −ik3 ω 2 −k⊥ũ−ũ2←2)2)3←2(ω 2 −k⊥2(ω 2 −k⊥ũ0← +ωk3k2 k33ũ3← = − ω2k−k2 ũ3← − ω 2 −k 2 ũ0← − ω 2 −k 2 ũ2←⊥⊥⊥ √√22ωk3 +ik2 ω 2 −k⊥k2 k3 +iω ω 2 −k⊥ω 2 −k22= 2(ω2 −k2 ) ũ3← +ũ+ũ2←220←222(ω √−k⊥ )2(ω √−k⊥ )⊥22ωk3 −ik2 ω 2 −k⊥k2 k3 −iω ω 2 −k⊥ω 2 −k22= 2(ωũ+ũ2←20←2 −k 2 ) ũ3← +22(ω −k )2(ω 2 −k 2 )⊥⊥⊥(3.41)67Òåïåðü èñïîëüçóÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ, ìû ìîæåì íàéòè êàêàÿ ÷àñòü ôîòîíîâïðîéäåò ÷åðåç ãðàíèöó, à êàêàÿ îòðàçèòñÿ.
Ó ôîòîíà èìååòñÿ äâå ïîïåðå÷íûåïîëÿðèçàöèè. Ðåøåíèå â ïðàâîì ïîëóïðîñòðàíñòâå (x1 > 0) íàéäåì, èñïîëüçóÿïåðåìåííûå k̂ è x̂,2A (x) =uνk̂ , r (x)∫dk̂ θ(ω −µ3= [ (2π) 2k10 ]2k⊥)−1/22 [∑a k̂ , r u µk̂ , r (x)r=1e νr (k̂)+a∗k̂ , ru µk̂ ,∗r (x)exp{ i k10 x1 + i k̂ · x̂},],(3.42)r = 1, 2. (3.43)Äâà ëèíåéíûõ ïîïåðå÷íûõ âåêòîðà ïîëÿðèçàöèè îðòîíîðìèðîâàíû è íà ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè k 2 = 0 óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì,k µ eiµ (k̂) = 0;g µν eiµ (k̂)ejν (k̂) = δ ij .(3.44)Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, çàôèêñèðóåì ïîëÿðèçàöèè,e1µ (k̂) = (0, 0,k3k2,−);|k⊥ | |k⊥ |e2µ (k̂) =i2√(k⊥, 0, ωk2 , ωk3 ).22|k⊥ | ω − k⊥(3.45)Ðàññìîòðèì ñèòóàöèþ, êîãäà ïó÷îê ïîëÿðèçîâàííûõ ôîòîíîâ ñ ïîëÿðèçàöèåée1 (k̂) íàëåòàåò íà ãðàíèöó èç âàêóóìà,û← (k̂) = a(k̂)|k⊥ |ê1 (k̂).(3.46)Ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé (3.39)-(3.41), ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (3.36), íàõîäèì, ÷òîîòðàæåííàÿ ÷àñòü,|k⊥ |û→ (k̂) = a(k̂)(3.47)2[]k10 − k1− k10 − k1+ 1k10 − k1− k10 − k1+ 2× (+)ê (k̂) + (−)ê (k̂) .k10 + k1− k10 + k1+k10 + k1− k10 + k1+Òàêèì îáðàçîì, â äàííîì ñëó÷àå ìû ìîæåì îïðåäåëèòü äâà êîýôôèöèåíòà îòðàæåíèÿ,√√ζ 1 1 − 1 − kζ1+1−11k11 e →e√√kref+) ;= (2 1 + 1 − ζζ 1 + 1 + k1 k1√√ζζ 1−1−1−1+1k1k1 e1 →e2√√kref−) ;= (2 1 + 1 − ζζ 1 + 1 + k1 k1(3.48)(3.49)68Ðèñ.
3.3. Îòðàæåíèå ëèíåéíî ïîëÿðèçîâàííûõ ôîòîíîâ. Ïóíêòèðíàÿ ëèíèÿ ñîîòâåòñòâóåòêîýôôèöèåíòó îòðàæåíèÿ ôîòîíîâ áåç èçìåíåíèÿ ïîëÿðèçàöèè. Ïðåðûâèñòàÿ ëèíèÿ ñîîòâåòñòâóåò ñìåíå ïîëÿðèçàöèè.èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ äëÿ k1+ , k1− è ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå òîò ôàêò ÷òî ôîòîíû ïðèëåòàþùèå èç âàêóóìà íàõîäÿòñÿ íà ìàññîâîé ïîâåðõíîñòè (k1 = k10 ).Ïðè çíà÷åíèÿõ k1 < ζ ôîòîíû íå ìîãóò ïðîíèêàòü â ñðåäó ñ íàðóøåííîé÷¼òíîñòüþ (ýòî çàïðåùåíî êèíåìàòè÷åñêè). Îäíàêî, íà÷èíàÿ ñ k1 = ζ ôîòîíûóæå ìîãóò ïåðåñåêàòü ãðàíèöó, ïîýòîìó íà Ðèñ.
3.3 ìû âèäèì èçëîì êðèâûõòî÷êå ζ . Òàêèì îáðàçîì, íèçêîýíåðãèòè÷íûå ôîòîíû ïîëíîñòüþ îòðàæàþòñÿ îòãðàíèöû; ïðè ïîâûøåíèè ýíåðãèè íåêîòîðàÿ ÷àñòü ïðè îòðàæåíèè áóäåò ìåíÿòüïîëÿðèçàöèþ; è ëèøü ïðè äîñòèæåíèè k1 = ζ êàêàÿ-òî ÷àñòü ôîòîíîâ ìîæåòïðîõîäèòü â ñðåäó.Ñîñòàâèì ïîëÿðèçàöèè (êîìáèíàöèè e1 è e2 ) òàêèå, ÷òî îíè ïðè îòðàæåíèèîò ãðàíèöû â âàêóóì íå ñìåøèâàþòñÿ,1eL = √ (e1 + e2 );21eR = √ (e1 − e2 ).2(3.50)Äëÿ ïîëó÷èâøèõñÿ êðóãîâûõ ïîëÿðèçàöèé îïðåäåëèì êîýôôèöèåíòû îòðàæåíèÿ,Lkref√ 1 − 1 − kζ 1 √=;1 + 1 − ζ k1 Rkref√ 1 − 1 + kζ 1 √=.1 + 1 + ζ k1 (3.51)69Ñëåäóåò òàêæå îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî â ñëó÷àå îòðàæåíèÿ, êðóãîâûåïîëÿðèçàöèè ìåíÿþò ôàçó, ò.ê.eL →1−1+√√1−ζk1 L1−ζk1e ;eR →1−√1+√1+ 1+ζk1 Rζk1e .(3.52)Åñëè k1√ < ζ ïðè îòðàæåíèè îò ãðàíèöû, ëåâàÿ ïîëÿðèçàöèÿ ìåíÿåò ôàçó íàArg(1− 1− kζ1√).ζ1+ 1− kÌíîæèòåëü ïðè eR íà âñåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ k1 > 0 ÿâëÿåòñÿ1îòðèöàòåëüíûì ÷èñëîì, ò.å.
èçìåíåíèå ôàçû ñîñòàâëÿåò π .3.2. Âðåìåíèïîäîáíûé âåêòîð ×åðíà-Ñàéìîíñà ñïðîñòðàíñòâåííîé ãðàíèöåéÑëó÷àé ñ âðåìåíèïîäîáíûì âåêòîðîì ×åðíà-Ñàéìîíñà è ïðîñòðàíñòâåííîïîäîáíîé ãðàíèöåé ζµ = ( ζθ(−x1 ), 0, 0, 0) ìîæåò áûòü ïîëåçåí äëÿ îïèñàíèÿïðîöåññîâ, ïðîèñõîäÿùèõ ïðè ñòîëêíîâåíèè òÿæ¼ëûõ èîíîâ, òàê êàê ïîçâîëèòïîíÿòü, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ ÷àñòèöàìè âíóòðè ôàéåðáîëà.
Òàê æå, êàê è â ñëó÷àåïðîñòðàíñòâåííîãî âåêòîðà ×åðíà-Ñàéìîíñà, ìîæíî íàéòè ðåøåíèÿ äëÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ A, è äèñïåðñèîííûå ñîîòíîøåíèÿ â ýòîì ñëó÷àå ìåíÿþò âèä,√k1L = k10 =√k1± =2;ω 2 − m2 − k ⊥ζ2222ω − m − k⊥ + ∓ ζ2√ω2−m2ζ2+ .4(3.53)Òàêæå, êàê è äëÿ ïðîñòðàíñòâåííî-ïîäîáíîãî âåêòîðà ×åðíà-Ñàéìîíñà, ìû ìîæåì íàéòè ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó êîýôôèöèåíòàìè ṽiA ;ṽ2A22−iζk1A (k1A− k10) − ζ 2 k2 k3ṽ3A ≡ C2A ṽ3A ;=2 − k 2 )2 − ζ 2 k 2(k1A10322−iζk2 (k1A− k10) − ζ 2 k3 k1Aṽ3A .ṽ1A =2 − k 2 )2 − ζ 2 k 2(k1A103(3.54)Òåïåðü ðàññìîòðèì ñèñòåìó (2.6) è âîñïîëüçóåìñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå ïîïåðåìåííûì x0 , x2 , x3 .
Êàê è ïðåæäå, óñëîâèÿ ñøèâêè, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ èç70èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ïî áåñêîíå÷íî ìàëîìó èíòåðâàëó (−ε, ε),äèêòóþò íåïðåðûâíîñòü âñåõ ïðîñòðàíñòâåííûõ êîìïîíåíò âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà. Èñïîëüçóÿ ýòîò ôàêò, ìû ìîæåì íàïèñàòü êîýôôèöèåíòû îòðàæåíèÿäëÿ êàæäîé ïîëÿðèçàöèè â ñëó÷àå âûõîäà ÷àñòèö èç ñðåäû ñ íàðóøåííîé ÷¼òíîñòüþ.k1A − k10|.(3.55)k1A + k10Ãðàôèê äëÿ êîýôôèöèåíòà îòðàæåíèÿ ïîñòðîèì â çàâèñèìîñòè îò ïîïåðå÷íîãîkref = |èìïóëüñà (k⊥ ) è èíâàðèàíòíîé ìàññû M 2 = kµ k µ .
Ïðåäñòàâèì äèñïåðñèîííûåñîîòíîøåíèÿ â òåðìèíàõ èíâàðèàíòíîé ìàññû,2k1A(M 2 − m2 )22=− k⊥;2ζ2k10(M 2 − m2 )22=+ (M 2 − m2 ) − k⊥.2ζ(3.56)Äèñïåðñèîííûå ñîîòíîøåíèÿ â ýòèõ ïåðåìåííûõ îïÿòü îäèíàêîâû äëÿ ïîïåðå÷íûõ ïîëÿðèçàöèé, îäíàêî èõ îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ðàçëè÷íû. Ñìåíà ïîëÿðèçà2öèé ïðîèñõîäèò â òî÷êå M02 = m2 − ζ4 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè M < M0 ìû èìååìäåëî ñ (−) ïîëÿðèçàöèåé, à ïðè M > M0 ñ (+). Êðîìå òîãî, åñòü óñëîâèå,âîçíèêàþùåå èç êèíåìàòè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé: |k⊥ | ≤|M 2 −m2 |.ζÈñïîëüçóÿ âñåýòî ìû ìîæåì çàïèñàòü êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ â âèäå,kref√ 2 22√ 2 22(M −m ))22||− k⊥ − (M −m+ (M 2 − m2 ) − k⊥ζ2ζ2√ 2 22= √ 2 22.(M −m )(M −m )2222|− k⊥ ++ (M − m ) − k⊥ |ζ2ζ2(3.57)Êàê âèäíî èç íàïèñàííîãî âûøå âûðàæåíèÿ, kref çàâèñèò îò M è k⊥ . Ïîñòðîèìãðàôèê çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòà îòðàæåíèÿ îò èíâàðèàíòíîé ìàññû è îòâåëè÷èíû ïîïåðå÷íîãî èìïóëüñà, ïðèíÿâ çà ìàññó ìåçîíà m = 780M eV (Ðèñ.3.4).Äëÿ íàãëÿäíîñòè ïðèâåäåì çäåñü æå ãðàôèê äëÿ ω -ìåçîíà, êîòîðûé ëåòèòïåðïåíäèêóëÿðíî ãðàíèöå (Ðèñ.
3.5), òî åñòü äëÿ êîòîðîãî k⊥ = 0.  ýòîì ñëó÷àåâèäíî, ÷òî äëÿ m2 − ζ 2 < M 2 < m2 êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ ðàâåí åäèíèöå.Êàê ïðåêðàñíî âèäíî èç ãðàôèêîâ, ïðè íåêîòîðûõ èíâàðèàíòíûõ ìàññàõ( 720 − 780M eV ) ðîäèâøèéñÿ â ôàéåðáîëå âåêòîðíûé ìåçîí íå ìîæåò âûéòè çàåãî ïðåäåëû, òàê êàê èñïûòûâàåò ïîëíîå âíóòðåííåå îòðàæåíèå.71Ðèñ. 3.4. Êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ âåêòîðíîãî ìåçîíà. Äëÿ âåêòîðíîãî ìåçîíà ïîëàãàåì ζ =300M eV .Ðèñ. 3.5.
Êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ âåêòîðíîãî ìåçîíà, ëåòÿùåãî ïåðïåíäèêóëÿðíî ãðàíèöå.Äëÿ âåêòîðíîãî ìåçîíà ïîëàãàåì ζ = 300M eV .72Îäíàêî, ðàññìîòðåííûé âûøå âûáîð âåêòîðà ×Ñ ζµ = ( ζθ(−x1 ), 0, 0, 0) íåîáåñïå÷èâàåò êàëèáðîâî÷íóþ èíâàðèàíòíîñòü, ïîñêîëüêó ïðè êàëèáðîâî÷íûõïðåîáðàçîâàíèÿõ ñëåäóþùèé ôóíêöèîíàë íå ñîõðàíÿåòñÿ,∫d3 xζµ Aν ∂ρ Aσ εµνρσ ,(3.58)Êàëèáðîâî÷íóþ èíâàðèàíòíîñòü óäà¼òñÿ âîññòàíîâèòü ïîñëå äîáàâëåíèÿ åù¼îäíîé êîìïîíåíòû â âåêòîð ×åðíà-Ñàéìîíñà,ζµ = (ζθ(−x1 ), ζx (x1 , t), 0, 0);∂1 ζ0 = ∂0 ζ1 ,(3.59)Ïðîñòåéøåå ðåøåíèå ýòîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, ζx = −ζtδ(x1 ). Î÷åâèäíî âíóòðè îáëàñòè ñ íàðóøåííîé ïðîñòðàíñòâåííîé ÷¼òíîñòüþ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ îñòàíóòñÿ ïðåæíèìè.Ðàññìîòðèì ñèñòåìó (2.6) ñ ìîäèôèöèðîâàííûì ×Ñ âåêòîðîì (3.59) è ñäåëàåì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî ïåðåìåííûì x0 , x2 , x3 .2(−ω 2 + m2 + k⊥)Ã0 − ∂12 Ã0 = −ζ∂ω (k3 Ã2 − k2 Ã3 )δ(x1 );2(−ω 2 + m2 + k⊥)Ã1 − ∂12 Ã1 = −iζθ(−x1 )(k3 Ã2 − k2 Ã3 );(3.60)2(−ω 2 + m2 + k⊥)Ã2 − ∂12 Ã2 == ζθ(−x1 )(ik3 Ã1 + ∂1 Ã3 ) − ζ∂ω (k3 Ã0 + ω Ã3 )δ(x1 );2(−ω 2 + m2 + k⊥)Ã3 − ∂12 Ã3 == ζθ(−x1 )(−ik2 Ã1 − ∂1 Ã2 ) + ζ∂ω (k2 Ã0 + ω Ã2 )δ(x1 ).Èíòåãðèðóÿ ýòó ñèñòåìó ïî ïåðåìåííîé x1 îò −ε äî ε, íàõîäèì íîâûå óñëîâèÿñøèâêè,(A)(A)(A)(A)ik10 (ũ0← − ũ0→ + ũ0→ − ũ0← ) = −ζ∂ω ((k3 C2A − k2 )(ṽ3A→ + ṽ3A← )); ∂ à − íåïðåðûâíî;1 1(3.61)(A)(A)ω∂ω C2A∂ω (ũ0← + ũ0→ ) = − k2 −k3 C2A (ṽ3A→ + ṽ3A← ); ∂ω (ṽ3A→ + ṽ3A← ) = (− 1 + k3 ∂ω C2A )(ṽ3A→ + ṽ3A← ).ωk2 −k3 C2AÂòîðîå èç ïðåäñòàâëåííûõ óñëîâèé è (3.54) îáåñïå÷èâàþò íåïðåðûâíîñòü âñåõïðîñòðàíñòâåííûõ êîìïîíåíò âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà.
Ó÷èòûâàÿ ýòî, ìû ìîæåì73èñïîëüçîâàòü ïîëó÷åííûå ðàíåå ðåçóëüòàòû. Òàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèå äëÿêîýôôèöèåíòà îòðàæåíèÿ (3.57) ñîõðàíÿåòñÿ, è ýôôåêòû, ñâÿçàííûå ñ ïîëíûì(èëè ÷àñòè÷íûì) âíóòðåííèì îòðàæåíèåì, ïðîÿâëÿþòñÿ â òîé æå ôîðìå.74Ãëàâà 4Ïñåâäîñêàëÿðíûé êîíäåíñàò â àñòðîôèçè÷åñêèõîáúåêòàõ ïðåäûäóùåé ãëàâå áûë âûâåäåí ðÿä ñîîòíîøåíèé, ïîçâîëÿþùèé îïèñàòüãðàíè÷íûå ýôôåêòû îáëàñòè ñ íàðóøåííîé ÷åòíîñòüþ. Ìû íåìíîãî îáñóäèëèâëèÿíèå îáñóæäàåìûõ ýôôåêòîâ íà íàáëþäàåìûå ÷àñòèöû â ðåçóëüòàòå ñòîëêíîâåíèÿ òÿæåëûõ èîíîâ.  ýòîé æå ÷àñòè ðàáîòû ïðåäëàãàåòñÿ ðàññìîòðåòüìàêðîñêîïè÷åñêèå îáúåêòû, äëÿ êîòîðûõ íàëè÷èå ãðàíèöû îáëàñòè ñ ýëåêòðîäèíàìèêîé Ìàêñâåëëà-×åðíà-Ñàéìîíñà ìîæåò èãðàòü ñóùåñòâåííóþ ðîëü.Âîçìîæíûé èñòî÷íèê ìàêðîñêîïè÷åñêîãî íàðóøåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîé ÷åòíîñòè àêñèîííûé ôîí.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
