Диссертация (1150860), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Îíè ñîîòâåòñòâóþò îòíîøåíèþ ðàçëè÷íûõ âûðîæäåííûõ âàêóóìíûõ ñîñòîÿíèé, ñâÿçàííûõ òîïîëîãè÷åñêèìè íåòðèâèàëüíûìè êàëèáðîâî÷íûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè. Âû÷èñëåíèå àìïëèòóäû ïåðåõîäà èç îäíîãîñîñòîÿíèÿ â äðóãîå ïîçâîëÿåò ïîíÿòü, ÷òî òóííåëèðîâàíèå ìåæäó ñîñòîÿíèÿìèïîäàâëåíî ôàêòîðîì e−2π/α , ãäå α îòâå÷àåò çà âçàèìîäåéñòâèå â êàëèáðîâî÷íîéòåîðèè.Ïðè âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ ïîäàâëÿþùèé ôàêòîð èñ÷åçàåò [72], ïîñêîëüêó ýíåðãèè äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïðîéòè íàä ïîòåíöèàëüíûì áàðüåðîì, ðàçäåëÿþùèì òîïîëîãè÷åñêè ðàçëè÷íûå âàêóóìíûå ñîñòîÿíèÿ.
Ýòî ÿâëåíèå íàçûâàþòñôàëåðîííûì ïåðåõîäîì [73], è èìåííî çà ñ÷åò íåãî âîçìîæíî îáðàçîâàíèå ìåòàñòàáèëüíûõ îáëàñòåé, ãäå âàêóóì ÊÕÄ íàðóøàåò P- è CP-÷åòíîñòü [74] âîêðåñòíîñòè äåêîíôàéíìåíòà.  ðàáîòàõ [75] áûëî ðàññìîòðåíî íåñêîëüêî äèíàìè÷åñêèõ ñöåíàðèåâ ðàñïàäà P-íå÷åòíûõ äîìåíîâ, êðîìå òîãî, â ðÿäå ñòàòåé [76]áûëè ïðîâåäåíû ÷èñëåííûå âû÷èñëåíèÿ íà ðåøåòêå, êàñàþùèåñÿ ôëóêòóàöèéòîïîëîãè÷åñêîãî çàðÿäà â êëàññè÷åñêèõ ßíã-Ìèëëñîâñêèõ ïîëÿõ.Ýêñïåðèìåíòû, ïîñâÿùåííûå èçó÷åíèþ P- è CP-íå÷åòíûõ îáëàñòåé, ïðåäñòàâëÿþò î÷åíü áîëüøîé èíòåðåñ, ïîñêîëüêó ìîãóò äàòü ïðåäñòàâëåíèå î ôèçèêåôàçîâîãî ïåðåõîäà â ÊÕÄ íà ðàííèõ ýòàïàõ ðàçâèòèÿ Âñåëåííîé.
ÍàðóøåíèåCP-÷åòíîñòè ïðè òàêîì ôàçîâîì ïåðåõîäå ìîãëî áû ïðèâåñòè ê îòäåëåíèþ âåùåñòâà îò àíòèâåùåñòâà. Îáñóäèì âîçìîæíîñòü îáðàçîâàíèÿ àêñèàëüíîãî áàðèîí22íîãî çàðÿäà è àêñèàëüíîãî õèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ïðè ñòîëêíîâåíèè òÿæåëûõÿäåð, ïîäðîáíîå îïèñàíèå êîòîðîãî ìîæíî íàéòè â [77].Íàì ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà ñâÿçü òîïîëîãè÷åñêîãî çàðÿäà, áàðèîííîãî àêñèàëüíîãî çàðÿäà è àêñèàëüíîãî õèìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà.
Ïðåäïîëîæèì,÷òî ñêà÷îê òîïîëîãè÷åñêîãî çàðÿäà T5 ëîêàëèçîâàí â íåáîëüøîì îáúåìå è ñóùåñòâóåò îïðåäåëåííîå êîëè÷åñòâî âðåìåíè. Åñëè ìû èìååì äåëî ñî ñòîëêíîâåíèåì òÿæåëûõ ÿäåð, ïîðÿäîê âåëè÷èíû îïèñàííûõ ïàðàìåòðîâ, õàðàêòåðèçóþùèõôàéåðáîë: ∆t ≃ τf ireball ≃ 5 − 10 ôåðìè. Äëÿ çàäàííîãî êàëèáðîâî÷íîãî ïîëÿGµ (x) òîïîëîãè÷åñêèé çàðÿä îïðåäåëÿåòñÿ êàê,∫121T5 (t) = 2 d3 xK0 ,Kµ = εµνσρ T r(Gν ∂ ρ Gσ − i Gν Gρ Gσ ),4π23(1.37)Víå ÿâëÿÿñü ïðè ýòîì èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî ãëîáàëüíûõ êàëèáðîâî÷íûõïðåîáðàçîâàíèé.
Îäíàêî, ñêà÷îê T5 ìîæåò áûòü ñâÿçàí ñ èíòåãðàëîì ïî âñåìóïðîñòðàíñòâó-âðåìåíè îò êàëèáðîâî÷íî-èíâàðèàíòíîé ïëîòíîñòè ×åðíà-Ïîíòðÿãèíà,1∆T5 = T5 (tf ) − T5 (0) =16π 2∫∫tfdt d3 xT r(Gµν G˜µν ) =0V1= 24π∫tf∫dt d3 x∂ µ Kµ .0(1.38)VÏðåíåáðåæåì ïîòîêîì òîïîëîãè÷åñêîãî çàðÿäà ÷åðåç ãðàíèöó ôàéåðáîëà âî âðåìÿ ðàññìàòðèâàåìîé íàìè òåðìîäèíàìè÷åñêîé ôàçû.Êàê óæå áûëî ñêàçàíî ðàíåå, ÊÕÄ â ïðèáëèæåíèè áåçìàññîâûõ êâàðêîâîáëàäàåò êèðàëüíîé SU (2)L ×SU (2)R ñèììåòðèåé. Îäíàêî, U (1)A ñèììåòðèÿ íàðóøàåòñÿ íà êâàíòîâîì óðîâíå, ÷òî ïðèâîäèò ê îáðàçîâàíèþ àêñèàëüíîé àíîìàëèè.  ðåçóëüòàòå àêñèàëüíûé òîê J5,µ = q̄γµ γ5 q íå ñîõðàíÿåòñÿ.
 âûðàæåíèå,îïèñûâàþùåå ëîêàëüíîå ÷àñòè÷íîå ñîõðàíåíèå àêñèàëüíîãî òîêà, ïðèõîäèòñÿâêëþ÷èòü ãëþîííóþ àíîìàëèþ,∂ µ J5,µ − 2iq̄ m̂q γ5 q =Nf µ∂ Kµ ,2π 2(1.39)23ãäå m̂q ìàññîâàÿ ìàòðèöà êâàðêîâ. Ýòî âûðàæåíèå ïîçâîëÿåò ñâÿçàòü íåíóëåqâîé òîïîëîãè÷åñêèé çàðÿä ñ àêñèàëüíûì çàðÿäîì Q5 . Äåéñòâèòåëüíî, íàïèñàííîå âûøå ðàâåíñòâî ìîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî êîíå÷íîìó îáúåìó ôàéåðáîëà,ãäå ïî ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè è íàõîäèòñÿ íåòðèâèàëüíûé òîïîëîãè÷åñêèéçàðÿä, è óâèäåòü ñâÿçü ìåæäó èõ ïðîèçâîäíûìè ïî âðåìåíè,∫d q(Q5 − 2Nf T5 ) ≃ 2i d3 xq̄ m̂q γ5 q,dtV∫Qq5d3 xq̄γ0 γ5 q.=(1.40)VÇäåñü ìû ïðåíåáðåãàåì ïîòîêàìè àêñèàëüíîãî è òîïîëîãè÷åñêîãî òîêà ÷åðåçãðàíèöó ôàéåðáîëà.
Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî íåñîõðàíåíèåì àêñèàëüíîãî çàðÿäà, âîçíèêàþùèì çà ñ÷åò êâàðêîâûõ ìàññ, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ó÷èòûâàÿ ìàëûåìàññû è êîíå÷íûé îáúåì.  ýòîì ñëó÷àå âîçíèêàþùèé àêñèàëüíûé çàðÿä áóäåòñîõðàíÿòüñÿ, åñëè òîïîëîãè÷åñêèé çàðÿä íåèçìåíåí â òå÷åíèå τf ireball .Ïðè ñòîëêíîâåíèè òÿæåëûõ èîíîâ ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùóþ êàðòèíó.
Íà íà÷àëüíîì ýòàïå ÿäåðíàÿ ìàòåðèÿ ñæèìàåòñÿ è íàãðåâàåòñÿ (τheating <0.5f m [77]), âîçíèêàåò òîïîëîãè÷åñêèé çàðÿä êàê ðåçóëüòàò ñôàëåðîííîãî ïåðåõîäà [73]. Äëÿ ëåãêèõ êâàðêîâ îáðàçîâàíèå òîïîëîãè÷åñêîãî çàðÿäà ïðèâîäèò êâîçíèêíîâåíèþ àêñèàëüíîãî çàðÿäà. Äàëåå ÿäåðíàÿ ìàòåðèÿ íà÷èíàåò îñòûâàòü(τf ireball ∼ 5 − 10f m) äî ìîìåíòà ðàñïàäà ôàéåðáîëà.  ýòîò ïåðèîä òîïîëîãè÷åñêèé çàðÿä ïî íàøåìó ïðåäïîëîæåíèþ ñîõðàíÿåòñÿ. Àêñèàëüíûé çàðÿä òîæåäîëæåí ñîõðàíÿòüñÿ, åñëè êâàðêîâûé ÷ëåí, íàðóøàþùèé êèðàëüíóþ ñèììåòðèþ íå ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùèì. Õàðàêòåðíûé âðåìåííîé îòðåçîê, íà êîòîðîìýôôåêòû, ñâÿçàííûå ñ êâàðêîâûìè ìàññàìè ìîãóò èãðàòü çíà÷èìóþ ðîëü, äëÿu è d êâàðêîâ ìîæíî îöåíèòü êàê1m̂q∼15M eV∼ 40f m ≫ τf ireball .Ñëåäîâàòåëüíî äëÿ u è d êâàðêîâ ÊÕÄ ñ ⟨∆T5 ⟩ ̸= 0 ìîæåò áûòü ðàâíîñèëüíî îïèñàíà íà óðîâíå ëàãðàíæèàíà ëèáî òîïîëîãè÷åñêèì õèìè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì µθ , ëèáî àêñèàëüíûì õèìè÷åñêèì ïîòåíöèàëîì µ5 ,⟨∆T5 ⟩ ≃11⟨Qq5 ⟩ ⇔ µ5 ≃µθ ,2Nf2Nf(1.41)qïóòåì äîáàâëåíèÿ ê ëàãðàíæèàíó ÊÕÄ ëèáî ∆Lt = µθ ∆T5 , ëèáî ∆Lq = µθ Q5 .24Äëÿ çàïèñè â Ëîðåíö-èíâàðèàíòíîé ôîðìå ìîæíî ââåñòè êëàññè÷åñêîå ôîíîâîåïîëå a(x) c ãëàäêîé çàâèñèìîñòüþ îò âðåìåíè, òàê ÷òî∆LG =1NfµK∂a(x)=µθ K0 ⇔ µ5 q̄γ0 γ5 q,µ2π 24π 2µ5 ≃ ȧ(t) ≃ const.
(1.42)Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì çàâèñèìîå îò âðåìåíè, íî êâàçèîäíîðîäíîåâ ïðîñòðàíñòâå ôîíîâîå ïñåâäîñêàëÿðíîå ïîëå. Îíî âîçíèêàåò ïðè ïëîòíîñòèýíåðãèè, äîñòèãàåìîé ïðè ñòîëêíîâåíèè òÿæåëûõ ÿäåð âî âðåìÿ ýâîëþöèè ôàéåðáîëà. Ãðàäèåíò îáñóæäàåìîãî ïîëÿ îïðåäåëÿåò ÷åòûðåõ-âåêòîð ζµ = ∂µ a ≃(ζ, 0, 0, 0).Åñëè íàñ èíòåðåñóåò èçó÷åíèå ëîêàëüíîãî íàðóøåíèå ÷åòíîñòè ïðè ñòîëêíîâåíèè òÿæåëûõ èîíîâ ñ ïîìîùüþ ýôôåêòîâ ýëåêòðîìàãíåòèçìà, ñëåäóåò ðàññìîòðåòü ôîòîííûé âêëàä â àêñèàëüíóþ àíîìàëèþ,Qq5→ Q̄5 =Qq5−T5em ,T5emNc= 28π∫d3 xεijk T r(Âi ∂ j Âk ).(1.43)Vµ5 â ýòîì ñëó÷àå ñâÿçàí ñ êâàçèñîõðàíÿþùèìñÿ Q̄5 , à íå ñ Q5 [78].Ïîñëå áîçîíèçàöèè ñåêòîðà ëåãêèõ ìåçîíîâ ÊÕÄ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿqêâàðê-ìåçîííûì îïèñàíèåì Q̃5 : âåêòîðíûì ìåçîííûì è ôîòîííûì ïîëåì Vµ ,ïðîÿâëÿþùåìñÿ â êâàðêîâîé êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé.
Áîçîíèçàöèÿ âûðàæåíèÿ äëÿ àíîìàëüíîãî òîêà 1.39 ïðè ýòîì ìîæåò áûòü îïèñàíà â ðàìêàõ ìîäåëèâåêòîðíîé äîìèíàíòíîñòè [79]. Äîïîëíèòåëüíûé ÷ëåí â ëàãðàíæèàíå ïðèíèìàåò âèä∆L ≃ εµνσρ T r[ζˆµ Vν Vσρ ],(1.44)ãäå ζˆµ = ζ̂δµ0 1 äëÿ ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíîãî è èçîòðîïíîãî ôàéåðáîëà. Ñëåäîâàòåëüíî íåíóëåâîé òîïîëîãè÷åñêèé õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë µθ ïåðåõîäèò ÷åðåç àêñèàëüíûé õèìè÷åñêèé ïîòåíöèàë â íåíóëåâîé àêñèàëüíûé çàðÿä, çà ñ÷åòêîòîðîãî âîçíèêàåò ôîòîííûé è ìåçîííûé ÷ëåí ×åðíà-Ñàéìîíñà â ëàãðàíæèàíå. Ñîîòâåòñòâåííî, ïîñëå èçìåðåíèÿ ïàðàìåòðà ζ , îòâå÷àþùåãî çà íàðóøåíèå÷åòíîñòè, ìîæíî íàéòè çíà÷åíèå òîïîëîãè÷åñêîãî çàðÿäà â ôàéåðáîëå.1 øëÿïêà îáîçíà÷àåò èçîñïèíîâóþ ñîñòàâëÿþùóþ â ìàòðè÷íîì ïðåäñòàâëåíèè25Ïîäðîáíîå îïèñàíèå ýôôåêòîâ, âîçíèêàþùèõ ïðè ëîêàëüíîì íàðóøåíèè÷åòíîñòè â ôàéåðáîëå ìîæíî íàéòè â [77], ãäå, â ÷àñòíîñòè, îáñóæäàåòñÿ âîçìîæíîå îáúÿñíåíèå àíîìàëüíîãî âûõîäà äèëåïòîííûõ ïàð [80], [81].
Äëÿ íàñæå âàæíî íàëè÷èå ÷ëåíà 1.44, êîòîðûé ìîæåò ïðèâåñòè ê âàæíûì ãðàíè÷íûìýôôåêòàì, îáñóæäàåìûì â ñëåäóþùåé ãëàâå.1.3. Âåéëåâñêèå ïîëóìåòàëëûÌû óæå ðàññìîòðåëè ìåõàíèçìû ïîÿâëåíèÿ ÷ëåíà ×åðíà-Ñàéìîíñà â ëàãðàíæèàíå ïðè îïèñàíèè àñòðîôèçè÷åñêèõ îáúåêòîâ (çà ñ÷åò àêñèîíîâ) è ñòîëêíîâåíèÿ òÿæåëûõ èîíîâ (çà ñ÷åò âîçíèêíîâåíèÿ òîïîëîãè÷åñêîãî çàðÿäà â ôàéåðáîëå).  ýòîì ðàçäåëå ìû óáåäèìñÿ, ÷òî îáñóæäàåìûé â äàííîé ðàáîòå ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò òàêæå ïðèìåíèì äëÿ îïèñàíèÿ ýôôåêòîâ, ñâÿçàííûõ ñ òàêèìèâåùåñòâàìè, êàê âåéëåâñêèå ïîëóìåòàëëû.Íå òàê äàâíî, ñ ðàçâèòèåì ýëåêòðîííûõ ñèñòåì íà ïëîñêîñòè, îïèñûâàåìûõ2+1 ìåðíûì áåçìàññîâûì óðàâíåíèåì Äèðàêà [82], âîçíèêëà âîçìîæíîñòü èññëåäîâàòü òåîðèè ïîëÿ â ìåíüøåì ÷èñëå èçìåðåíèé, ïðè ýòîì ñðàâíèâàÿ ðåçóëüòàòûñ ðåàëüíûìè ýêñïåðèìåíòàìè.
Íàïðèìåð, áûëî ïðåäñêàçàíî, ÷òî íèçêîýíåðãåòè÷åñêàÿ òåîðèÿ ïîëÿ, îïèñûâàþùàÿ ýëåêòðîíû â ãðàôåíå, áóäó÷è ïåðåíîðìèðóåìîé, ñîçäàåò ïîòîê ñî ñêîðîñòüþ Ôåðìè. Ýòà ñêîðîñòü ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûìïàðàìåòðîì ñâîáîäíîé òåîðèè â èíôðàêðàñíîì äèàïàçîíå [83], è âñêîðå, ýòîáûëî äîêàçàíî ýêñïåðèìåíòàëüíî[84]. Òàêæå íåäàâíî òîïîëîãè÷åñêèì òåîðèÿìïîëÿ áûëî íàéäåíî ïðèìåíåíèå â ìàòåðèàëàõ, íàçûâàåìûõ òîïîëîãè÷åñêèìèïðîâîäíèêàìè [85], [86].
C ïîìîùüþ ýòèõ ìàòåðèàëîâ ìû ìîæåì íàáëþäàòü ðåàëèçàöèþ àêñèîííîé ýëåêòðîäèíàìèêè [87] â êîíäåíñèðîâàííûõ ñðåäàõ è äðóãèåñâÿçàííûå ñ ôèçèêîé àêñèîíîâ ÿâëåíèÿ [88]. ðàáîòå [26] áûë ðàññìîòðåí ïðèìåð ñðåäû ñ ðåàëèçàöèåé íàðóøåíèÿ Ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòè â ÊÝÄ, ïðåäñòàâëåííûé íîâûì êëàññîì âåùåñòâ Âåéëåâñêèìè ïîëóìåòàëëàìè [89], [25].
Ïðè ïðàâèëüíîì âûáîðå ïàðàìåòðîâ â ýòèõ26ñèñòåìàõ âîçìîæíî íàëè÷èå íèçêîýíåðãåòè÷åñêèõ êâàçè÷àñòèö, îïèñûâàåìûõóðàâíåíèÿìè Âåéëÿ. Ïðè ýòîì, â îáùåì ñëó÷àå, ýòè íèçêîýíåðãåòè÷åñêèå êâàçè÷àñòèöû õîðîøî îïèñûâàþòñÿ 3+1-ìåðíûì óðàâíåíèåì Äèðàêà ñ ìàññîé. Òî÷íåå, êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå, íèçêîýíåðãåòè÷åñêàÿ ýôôåêòèâíàÿ òåîðèÿ ïîõîæà íà ðåëÿòèâèñòñêóþ òåîðèþ ïîëÿ, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ìîäèôèöèðîâàíàòàêèì îáðàçîì, ÷òî ìû ïîëó÷èì ÊÝÄ ñ íàðóøåííîé Ëîðåíö-èíâàðèàíòíîñòüþ,îïèñûâàåìóþ äåéñòâèåì,∫S = d4 xψ(i/∂ − m − b/γ5 − eA)ψ,/(1.45)ãäå bµ ïîñòîÿííûé ÷åòûðåõâåêòîð.
 ôèçèêå êîíäåíñèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿýòî íå ïåðâàÿ ïîäîáíàÿ òåîðèÿ, â êà÷åñòâå ïðèìåðà ìîæíî ïðèâåñòè îïèñàíèå3He [90]. Êàê óæå áûëî ñêàçàíî, â ôèçèêå âûñîêèõ ýíåðãèé âîçìîæíîñòü íàðóøåíèÿ Ëîðåíö-ñèììåòðèè èññëåäóåòñÿ óæå áîëåå äâàäöàòè ëåò. Óæå äàâíî áûëîïîêàçàíî [91], ÷òî 1.45 ïðèâîäèò ê íàëè÷èþ ÷ëåíà ×åðíà-Ñàéìîíñà â äåéñòâèèýôôåêòèâíîé òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíûõ êàëèáðîâî÷íûõ ïîëåé.Åñëè æå èñïîëüçîâàòü äàííóþ òåîðèþ äëÿ îïèñàíèÿ Âåéëåâñêèõ ïîëóìåòàëëîâ, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî âåëè÷èíà ïîÿâëÿþùåãîñÿ ÷ëåíà ×åðíà-Ñàéìîíñàîäíîçíà÷íî îïðåäåëåíà.
Òàêèì îáðàçîì, îïèñûâàåìàÿ òåîðèÿ íàõîäèò ïðèìåíåíèå â Âåéëåâñêèõ ïîëóìåòàëëàõ.1.3.1. Ïîëó÷åíèå ëàãðàíæèàíà äëÿ îïèñàíèÿ ïîëóìåòàëëîâÑîãëàñíî òåîðåìå Íèëüñåíà Íèíîìèè [92] òîëüêî ÷åòíîå ÷èñëî ôåðìèîíîâìîæåò ïîÿâëÿòüñÿ èç ðåøåòî÷íîé ìîäåëè. ×òîáû ïîëó÷èòü Âåéëåâñêèé ïîëóìåòàëë ñ íàèìåíüøèì âîçìîæíûì êîëè÷åñòâîì ôåðìèîííûõ âèäîâ (ò.å. ñ äâóìÿ),ðàññìîòðèì (êàê ýòî èçíà÷àëüíî áûëî ïðåäëîæåíî Áóðêîâûì è Áàëåíòñîì [25])ïåðèîäè÷åñêóþ ñòðóêòóðó òîïîëîãè÷åñêèõ è îáûêíîâåííûõ ïðîâîäíèêîâ (ñõåìà èçîáðàæåíà íà Ðèñ. 1.1).
Òîïîëîãè÷åñêèå ïðîâîäíèêè (ÒÏ) ïðåäñòàâëÿþòñîáîé 3+1 áàëêîâûå ïðîâîäíèêè, îãðàíè÷åííûå 2+1 ìåðíûìè äèðàêîâñêèìè27Ðèñ. 1.1. Ïåðèîäè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà ÷åðåäóþùèõñÿ òîïîëîãè÷åñêîãî è îáû÷íîãî ïðîâîäíèêîâ.ôåðìèîííûìè ñîñòîÿíèÿìè íà êàæäîé ïîâåðõíîñòè [86]. Îíè îïèñûâàþòñÿ ýôôåêòèâíûì íèçêîýíåðãåòè÷åñêèì Ãàìèëüòîíèàíîì,H=∑[vF τ3 ⊗ ( e3 × σ ⊥ ) · k⊥ ] c †k⊥ c k⊥ ,(1.46)k⊥ ,iãäå σ⊥ = (σ2 , σ3 ) îòâå÷àåò çà ñïèíîâîå ïîäïðîñòðàíñòâî, vF ñêîðîñòü Ôåðìè,k⊥ = (k2 , k3 ) ïîïåðå÷íûé âîëíîâîé âåêòîð, e3 åäèíè÷íûé âåêòîð, âûáðàííûé âäîëü îñè Oz .
Äâóìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî, îðãàíèçîâàííîå ìàòðèöåé Ïàóëè τ ñîîòâåòñòâóåò òîìó, íà êàêîé ïîâåðõíîñòè äâà âèäà 2+1 ìåðíûõ Äèðàêîâ†ñêèõ ôåðìèîíà áóäóò ñóùåñòâîâàòü. Îïåðàòîðû c k⊥ /c k⊥ ðîæäàþò/óíè÷òîæàþòêâàçè÷àñòèöû ñ èìïóëüñîì k⊥ .Êîãäà ñëîé Ti äîñòàòî÷íî òîíêèé, äâå ïîâåðõíîñòè ìîãóò âçàèìîäåéñòâîâàòü ÷åðåç àìïëèòóäó ïåðåõîäà ∆s , êîòîðàÿ âõîäèò â Ãàìèëüòîíèàí êàê,H∆s =∑[∆s τ1 ⊗ 1σ ] c †k⊥ c k⊥ ,(1.47)k⊥ ,iãäå 1σ åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà ñïèíîâîãî ïîäïðîñòðàíñòâà.
Äëÿ îïèñàíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ðàçëè÷íûõ ïîâåðõíîñòåé íåîáõîäèìî ââåñòè èíäåêñ i, îòâå÷àþùèéçà íîìåð ñëîÿ, íà êîòîðûé áóäåò ïåðåõîäèòü ýëåêòðîí. Åñëè àìïëèòóäà ïåðå28õîäà îïðåäåëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì ∆D , òîãäà âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ðàçëè÷íûìèñëîÿìè ïðèíèìàåò ôîðìó,H∆D =∑[∆D τ+ δ i, j+1 + ∆D τ− δ i, j−1 ] ⊗ 1σ c †k⊥ , i c k⊥ , j ,(1.48)k⊥ ,iãäå τ± = 12 (τ1 ± iτ2 ).  òàêîì ñëó÷àå ïîëíûé Ãàìèëüòîíèàí ìîæåò áûòü çàïèñàíêàê,∑H=[vF τ3 ⊗ ( e3 × σ ⊥ ) · k⊥ + ∆s τ1 ⊗ 1σ +k⊥ ,i∆D (τ+ δ i, j+1 + τ− δ i, j−1 ) ⊗ 1σ ] c †k⊥ c k⊥ ,†Èñïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå c k⊥ , i =∑(1.49)c †k⊥ , k3 eik3 Ri , ãäå Rm = dm ñ öåëûìm è ðàññòîÿíèåì ìåæäó óðîâíÿìè d, ãàìèëüòîíèàí ìîæíî ïåðåïèñàòü êàê,]∑[ˆH=vF τ3 ⊗ ( e3 × σ ))·k⊥ + ∆(k3 ) c †k c kk⊥ ,k3(1.50)[()]ˆ 3 ) ≡ ∆s τ1 + ∆D τ+ e idk3 + τ− e −idk3 ⊗ 1σ∆(k(1.51)×òîáû ïðîâåñòè àíàëîãèþ ñ Âåéëåâñêèìè ôåðìèîíàìè ðàññìîòðèì íèçêîýíåðãåòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå äàííîé ñèñòåìû.
Ó Ãàìèëüòîíèàíà 1.50 åñòü äâà äâàæäûâûðîæäåííûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ìîæíî âûðàçèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì,(1.52)ε 2k = vF2 k2⊥ + ∆2s + ∆2D + 2∆s ∆D cos(dk3 ).Ðàñêëàäûâàÿ äàííîå âûðàæåíèå ó k3 = πd , ìû ïîëó÷èì,ε 2k = vF2 k2⊥ + (∆s − ∆D )2 + d2 ∆s ∆D k32 ,ãäå òðåòüÿ êîìïîíåíòà èìïóëüñà ïåðåîïðåäåëåíà êàê k3 −(1.53)πd→ k3 . Èñïîëüçóÿíàøå ðàçëîæåíèå, ìû ïîëó÷èì Ãàìèëüòîíèàí ìàññèâíîãî 3+1ìåðíîãî Äèðàêîâñêîãî ôåðìèîíà â òî÷êå k = (0, 0, πd ) çîíû Áðèëëþýíà:H=∑[k⊥ ,k3vF τ3 ( e3 × σ ))·k⊥ + (∆s − ∆D)τ1 ⊗ 1σ +29√]d ∆s∆Dk3 τ2 ⊗ 1σ c †k c k ,(1.54)äèñïåðñèîííûå ñîîòíîøåíèÿ ïðè ýòîì,√ϵ± (k) = ± vF2 k⊥ + v˜F 2 k32 + m2 ,(1.55)ãäå v˜F 2 = d2 ∆s ∆D è m2 = (∆s −∆D )2 . Ãàìèëüòîíèàí 1.54 ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíâ áîëåå ïðèâû÷íîé ôîðìå,H=∑ψk† (αi ki + βm)ψk .(1.56)kÇäåñü i = 1, 2, 3, ψk = ck è ìàòðèöû α îïðåäåëåíû êàê α1 = vF τ3 ⊗ σ2 , α2 =vF τ3 ⊗ σ1 è α3 = ṽF τ2 ⊗ 1σ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
