Диссертация (1150844), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Так как в пересечении окрестности точки S с есть диффеоморфизм S, матрица Якоби JS имеет полный ранг2. Следовательно, colspace JS = (2 ).2.3. Дополнительные свойства Следующая теорема показывает, что не является гладким многообразием размерности 2 в каждой точке. На самом деле, является алгебраическиммногообразием, где каждая точка ∖ является сингулярной (т.е. точкой, вокрестности которой нет диффеоморфизма).Теорема 2.3.1. Возьмём S0 ∈ ∖ .
Не существует диффеоморфизма между любым открытым множеством ∈ R2 и пересечением окрестности S0с .Доказательство. Предположим, что ряд S0 ∈ 0 , 0 < такой, что S0 управляется ОЛРФ(0 ), 0 ∈ R0 +1 , 0 = (1 , . . . , 0 +1 )T . Идея доказательства следующая: если ранг ряда S0 меньше , значит, добавлением ряда ранга 1 к S0 мыполучим ряд, лежащий в . Найдём набор рядов ранга 1, с помощью котороголегко получить противоречие с существованием диффеоморфизма.38Построим линейно независимых экспоненциальных рядов S() длины , S() = ( , 2 , .
. . , )T , управляемых ОЛРФ( ), = ( , −1)T , гдевсе различны. Тогда для любой мы имеем S0 + S() ∈ , так как рядS0 +S() управляется ОЛРФ( ) с = ( 1 , 2 −1 , 3 −2 , . . . , 0 +1 −0 , −0 +1 )T ∈ R0 +2 , 0 +2 ≤ +1. Более того, все прямых ℒ = {S0 +S() | ∈R} принадлежат .Предположим противное: пусть существует диффеоморфизм в окрестности S0 в . Пусть ℱ — касательное подпространство к в точке S0 (ℱ имеетразмерность 2). ℱ должно содержать каждую прямую ℒ −S0 = {S() | ∈ R}, = 1, . . . , .
Мы получаем, что ℱ — подпространство R размерности 2, которое должно содержать линейно независимых рядов S(1) , . . . , S( ) . Следовательно, получено противоречие.Теорема 2.3.1 объясняет, почему в дальнейшем используется предположение о принадлежности ряда S0 множеству , а не .2.4. Условия минимума в задаче аппроксимации рядамиконечного рангаВ этом разделе мы перейдём к свойствам задачи (3). Для начала, мы определим стандартным образом понятия локального и глобального минимума.Определение 2.4.1. Ряд S0 является точкой локального минимума задачи(3), если ‖X − S‖W ≥ ‖X − S0 ‖W для любого временного ряда S, лежащего впересечении окрестности ряда S0 с .Для того чтобы определить глобальный минимум, введём множество, зависящее от ряда X (то есть многозначное отображение):Π (X) = {S ∈ : ‖X − S‖W = inf ‖X − Y‖W }.Y∈(2.4)39Множество Π (X) всегда непусто, так как инфимум внутри выражениявсегда достижим из-за замкнутости .
Более того, множество Π (X) замкнуто, так как является пересечением замкнутого множества и замкнутого шарарадиуса inf Y∈ ‖X − Y‖W по норме ‖ · ‖W .Определение 2.4.2. Ряд S0 является точкой глобального минимума задачи(3), если S0 ∈ Π (X), где Π (X) определено в (2.4).Лемма 2.4.1. Пусть X ∈/ ∖ . Тогда любая точка глобального минимумазадачи (3) лежит в .Доказательство. Если X ∈ , то утверждение теоремы тривиально, так как/ .Π (X) = {X}.
Поэтому пусть X ∈Предположим противное. Пусть S0 — точка глобального минимума функции (3), S0 ∈ 0 , 0 < ; поэтому X ̸= S0 . Построение 0 , S() , , проводитсяв точности так же, как это делалось в доказательстве теоремы 2.3.1.Введём скалярное произведение ⟨Z, Y⟩W = ZT WY, порождающее норму‖ · ‖W . Рассмотрим скалярные произведения ⟨X − S0 , S() ⟩W для = 1, 2, . . . , .Так как линейная оболочка всех S() образует базис R , найдётся такой индекс()0 ,S, что ⟨X − S0 , S() ⟩W ̸= 0. Тогда возьмём S1 = S0 + ⟨X−S()‖S ‖2⟩W ()S , управляемыйWОЛРФ( ) (следовательно, лежащий в ), и покажем, что ‖X − S1 ‖W < ‖X −S0 ‖W :⟨X − S0 , S() ⟩W=‖S() ‖2W(︀⟨X − S0 , X − S0 ⟩W − ⟨X − S1 , X − S1 ⟩W)︀2> 0.Таким образом, получено противоречие с тем, что S0 ∈ Π (X).Замечание 2.4.1.
Смысл леммы в том, что за исключением тривиальногослучая X ∈ , при котором Π (X) = {X}, любая точка глобального минимума S0 ∈ Π (X) всегда лежит в . Это означает, что в нетривиальномслучае решение задачи (3) достаточно искать в гладком многообразии .40Замечание 2.4.2. Абсолютно аналогичным образом можно доказать, чтопри X ∈/ ∖ любой локальный минимум задачи (3) S⋆ ∈ . Доказательство аналогично доказательству леммы 2.4.1, за исключением взятия⧸︀S1 = S0 + S() , где 0 < < ⟨X − S0 , S() ⟩W ‖S() ‖2W , можно брать скольугодно малым.Сформулируем необходимые условия локального минимума.Лемма 2.4.2 (Необходимые условия локального минимума).
Если точка S0 ∈ , управляемая ОЛРФ(0 ), является точкой локального минимума в задаче(3), то Π(20 ),W (X − S0 ) = 0 .Доказательство. Рассмотрим параметризацию из раздела 2.2. Возьмём подходящий индекс и отображение S(( ) , ( ) ) из (2.1). Тогда, согласно теореме 2.2.2, целевая функция ‖X − S(( ) , ( ) )‖2W является гладкой функцией вокрестности вектора ((S0 )ℐ( ) , (0 )( ) )T ∈ R2 .Подстановка целевой функции в [35, Theorem 2.2] с учётом теоремы 2.2.3даёт утверждение леммы.Заметим, что эти условия являются необходимыми, а не достаточными, таккак согласно [35, Theorem 2.3] дополнительно требуется положительная определённость матрицы Гёссе целевой функции при использовании параметризации.В дальнейшем нам понадобится проекция на множество .
Нам нужнопонять, в каких случаях множество глобальных минимумов Π (X) содержитодну точку (т.е. проекция однозначна) и какими свойствами обладает соответствующий проектор.Лемма 2.4.3. Пусть S0 ∈ и управляется ОЛРФ(0 ). Тогда существуетоткрытая окрестность (S0 ) ряда S0 такая, что в ней определён бесконечно(S )(S )дифференцируемый по X оператор Π0 (X), при этом Π (X) = {Π0 (X)} для41любого X ∈ (S0 ), то есть Π (X) состоит из одной точки, и матрица Якоби(S )оператора Π0 (X) равна Π(20 ),W .Доказательство. В окрестности S0 множество имеет структуру сколь угодно раз дифференцируемого гладкого многообразия, так как можно выбратьстоль малый шар S0 , = {X : ‖X − S0 ‖W < }, что совпадает в нём с ,т.е. S0 , ∩ = S0 , ∩ .Тогда, согласно [38, Lemma 2.1], вокруг точки S0 существует открытое мно(S )жество , в котором оператор проекции Π0 (X) однозначен, бесконечно дифференцируем, и его производная равна Π(20 ),W , что следует из вида касательногомногообразия к в точке S0 по теореме 2.2.3.Замечание 2.4.3.
Назовём любое измеримое относительно борелевской сигма̂︀ из R в R локальным проектором на в окресталгебры отображение Π(S )̂︀ности точки S0 , если Π(X)совпадает с Π0 (X), полученным в лемме 2.4.3,для любого ∈ (S0 ). Например, такое отображение можно получить, до(S )определив Π0 (X) нулём вне (S0 ).(S )В дальнейшем мы будем использовать только обозначение Π0 (X), подразумевая измеримое отображение, определённое во всём R .2.5. Задача аппроксимации как задача оцениваниясигналаРассмотрим модель со случайным рядом X = S0 + , где сигнал S0 ∈ управляется ОЛРФ(0 ), — случайный вектор, имеющий распределение Ξ, — малое вещественное число.
Нас интересует распределение оценки сигнала(S )(S )̂︀S() = Π0 (S0 + ), где Π0 (X) — локальный проектор на в окрестноститочки S0 (см. лемму 2.4.3 и замечание 2.4.3).Кроме того, помимо оценки сигнала нас интересует распределение оценки42параметров сигнала. Пусть задан гладкий диффеоморфизм T между областью2 ⊂ R2 и пересечением множества с открытой окрестностью точкиS0 . Под T−1 обозначим обратное отображение к отображению T (S0 = T(0 ),0 ∈ 2 , (T−1 ∘ T)( ) = для любого ∈ 2 ), область определения которогорасширена так, что во всей окрестности отображение T−1 является гладким. Для корректности, доопределим T−1 во всех остальных точках Z ∈/ нулём или иным измеримым способом.
Обозначим матрицу Якоби T( ) в точке 0 как J0 , матрица Якоби T−1 (Z) в точке S0 как J−0 . По правилу вычисленияпроизводной композиции отображений выполняется равенство J−0 J0 = I2 . Например, в качестве такого диффеоморфизма T можно взять параметризациюS(( ) , ( ) ) из теоремы 2.2.1, где гладкость отображений объяснена в теореме2.2.2 и замечании 2.2.1.Представим оценки в следующем виде:(S )̂︀S() = Π0 (S0 + ) = S0 + Π(20 ),W () + (),(2.5)(S )̂︀() = T−1 (Π0 (S0 + )) = 0 + J−0 Π(20 ),W () + (),(2.6)где (), () — случайные векторы в R и R2 соответственно, зависящие от .Верно следующее:Теорема 2.5.1.
Пусть S0 ∈ и управляется ОЛРФ(0 ), — случайныйвектор, имеющий распределение Ξ. Тогда имеет место следующая слабая сходимость случайных величин:()⇒→0 0 ,где () определена в (2.5).(S )Доказательство. Лемма 2.4.3 даёт следующее соотношение для Π0 (X):(S )Π0 (S0 + Z) = S0 + Π(20 ),W (Z) + oZ→0 (‖Z‖)43для любых S0 + Z ∈ (S0 ).Далее достаточно показать, что для любой липшицевой с параметром (| () − ( )| ≤ ‖ − ‖W для любых , ) и ограниченной (| ()| ≤ для любого ) измеримой функции , заданной на R , интегралыZ1 (, ) = E(| (S (, )) − (0 )|) = | (S (, Y)) − (0 )| dΞ(Y)(2.7)Rравномерно по ограничены последовательностью, стремящейся к 0 при → 0[41, §7], где1 (S )S (, Y) = (Π0 (S0 + Y) − S0 − Π(20 ),W (Y)).Зафиксируем > 0, и выберем столь большой шар радиуса , чтоZP(‖‖W ≥ ) =1dΞ(Y) < .‖Y‖W ≥Выберем такое малое , что(S )‖Π0 (S0 + Z) − S0 − Π(20 ),W (Z)‖W ≤‖Z‖Wдля любого S0 + Z ∈ S0 , , S0 , ⊂ , S0 , = {Y : ‖Y − S0 ‖W < }.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
