Диссертация (1150844), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Пусть Π() — ортогональный проектор на (), Z = Π() Z0 ,(︁)︁−1G = ZZℐ( ), : .Тогда отображение S из теоремы 2.2.1 имеет явный видS(( ) , ( ) ) = G( ) .(2.1)322. Отображение, обратное к S, задано следующей формулой: ( ) (S) = (S)ℐ( )и̂︀ )( ) ,( ) (S) = (−/^(2.2)̂︀ = (S)̂︀где = (^1 , . . . , ^+1 )T = (I+1 −Πℒ(S) )0 , ℒ(S) = colspace(+1 (S)),Πℒ(S) — ортогональный проектор на ℒ(S).Доказательство. Предложение 2.2.1 даёт параметризующее отображение, еслимы докажем корректность (2.1), (2.2), докажем, что отображение S удовлетво­ряет указанным в теореме 2.2.1 условиям, единственно, является инъекцией ичто (2.2) задаёт обратное отображение к S.Докажем корректность (2.1). Для начала покажем, что Zℐ( ), : невырож­дена и, следовательно, обратима.

Это будет следовать из невырожденности(Z0 )ℐ( ), : для любого базиса (0 ).Представим 0 как 0 = (0, . . . , 0, +1 , . . . , 1 , 0, . . . , 0)T , с нулями вначале и нулями в конце, + + = . Выберем матрицу Z*0 ⎛таким обра­⎞I⎠,зом, что Z*0 = [Zbegin , Zmiddle , Zend ] состоит из трёх блоков: Zbegin = ⎝0 − ,⎞⎛⎛⎞0⎜ , ⎟0⎟⎜ ̂︀̂︀ middle ∈ R( − − ), со­⎝ − , ⎠, где столбцы ZZmiddle = ⎜Zmiddle ⎟, Zend =⎠⎝I0 ,ставляют базис рядов длины − − , управляемых обычной ЛРФ с коэффи­циентами −2 /1 , .

. . , − +1 /1 . Так как {1, . . . , }∪{ − +1, . . . , } ⊂ ℐ( )̂︀ middle порядка × невырождена [32, Prop.и любая подматрица матрицы Z2.3], мы получаем обратимость (Z*0 )ℐ( ), : . Любую другую матрицу, содержа­щую базис (0 ) в качестве столбцов, можно представить в виде Z*0 P, гдеP ∈ R× — некоторая невырожденная матрица.

Следовательно, будет обрати­ма и (Z*0 P)ℐ( ), : .Теперь докажем обратимость Zℐ( ), : . () — подпространство, ортогональ­33ное (), поэтому, Π() можно представить в виде непрерывной по ̸= 0функции Π() = I − ΠQ() , Q() определено в (1.2). Рассмотрим матри­цу Zℐ( ), : . Её определитель — непрерывная функция от Z. В свою очередь, Zнепрерывно зависит от ( ) . Так как Z(0 ) = Z0 , и у (Z0 )ℐ( ), : ненулевой опре­делитель, можно выбрать такую окрестность (0 )( ) , что определитель Zℐ( ), :не обращается в ноль, следовательно, матрица Zℐ( ), : обратима.Покажем, что (2.1) не зависит от выбора базиса Z0 : для любой невырожден­ной матрицы P ∈ R× выполнено (Π() Z0 P)((Π() Z0 P)ℐ( ), : )−1 = ZZ−1ℐ( ), : .Теперь покажем что выполнены свойства S, заданные в теореме 2.2.1, тоесть покажем, что S ∈ , S управляется ОЛРФ() и (S)ℐ( ) = ( ) .

S управ­ляется ОЛРФ(), так как каждый столбец матрицы Z управляется ОЛРФ().Покажем принадлежность S ∈ . Рассмотрим матрицу +1 (S0 ), и выберем унеё подматрицу размера × с ненулевым определителем. Теперь рассмотримопределитель подматрицы B матрицы +1 (S(( ) , ( ) )) с тем же расположени­ем. Этот определитель — непрерывная функция от (( ) , ( ) ), так как (2.1) —непрерывная функция. Следовательно, мы можем выбрать такую окрестность(( ) , ( ) ), в которой определитель B не обращается в ноль, из чего получаемS ∈ . Условие (S)ℐ( ) = ( ) выполнено, так как(S)ℐ( ) =(︁Zℐ( ), : Z−1ℐ( ), :)︁( ) = ( ) .Объясним единственность отображения (2.1), удовлетворяющего упомяну­тым в теореме 2.2.1 свойствам. Пусть S2 — другое отображение, удовлетворя­ющее условиям теоремы 2.2.1, ̂︀S2 = S2 (( ) , ( ) ) ∈ .

Знаем, что ̂︀S2 ∈ ().Следовательно, столбцы Z задают базис (). Пусть ̂︀S2 = Z , ∈ R — раз­ложение ̂︀S2 по этому базису. Тогда должно быть выполнено (Z )ℐ( ) = ( ) . НоZℐ( ) = ( ) , а мы знаем, что Zℐ( ) обратима, следовательно, = Z−1ℐ( ) ( ) ,(︁)︁откуда следует, что ̂︀S2 = ZZ−1ℐ( ) ( ) = S. Единственность показана.Покажем инъективность отображения S. Выберем два таких неравных на­34(1)(1)(2)(2)бора параметров (( ) , ( ) )T , (( ) , ( ) )T в окрестности ((S0 )ℐ( ) , (0 )( ) )T , и(1)(1)(2)(2)(1)(2)рассмотрим X1 = S(( ) , ( ) ), X2 = S(( ) , ( ) ). Если ( ) ̸= ( ) , то очевидно(1)(2)(1)(2)X1 ̸= X2 , так как (X1 )ℐ( ) ̸= (X2 )ℐ( ) .

Пусть ( ) = ( ) , но ( ) ̸= ( ) . Тогдавектор 1 ортогонален colspace +1 (X1 ) тогда и только тогда, когда 1 = 1 (1) ,вектор 2 ортогонален colspace +1 (X2 ) тогда и только тогда, когда 2 = 2 (2) ,(1)(1)(1)(2)(2)(2)где (1) ∈ R+1 , ( ) = ( ) , = −1, (2) ∈ R+1 , ( ) = ( ) , = −1,1 ̸= 0, 2 ̸= 0 — произвольные. Но не существует таких 1 , 2 , что 1 (1) = 2 (2) ,следовательно X1 ̸= X2 . Инъективность доказана.Докажем корректность (2.2).

Согласно утверждению предложения, ( ) (S)̂︀ такая, чтобы -й элемент был равен −1. Дока­— перенормировка вектора жем корректность определения ( ) (S), то есть возможность перенормировки̂︀ Рассмотрим матрицу S = +1 (S), S ∈ R(+1)×( −) . Пусть будет таким.подмножеством индексов, что подматрица (S0 ) :, ∈ R(+1)× имеет ранг , гдеS0 = +1 (S0 ). Тогда Πℒ(S) можно записать в виде непрерывной в окрестности S0функции Πℒ(S) = ΠS :, (S) , следовательно, можно выбрать такую окрестность,в которой ^ не обратится в нуль.Объясним, что (2.2) является обратным отображением к отображениюS. Пусть S = S(( ) , ( ) ). Значения ( ) = Sℐ( ) берутся непосредственно из̂︀ так как вектор ̂︀ ортогона­временного ряда. Ряд S управляется ОЛРФ(),лен colspace(+1 (S)) по своему определению. При этом ряд S управляется̂︀ с точностью до умножения на кон­ОЛРФ(); следовательно, совпадает c ̂︀ даёт требуемый вектор ( ) .станту.

Следовательно, перенормировка Это соображение заканчивает доказательство теоремы 2.2.1 и предложе­ния 2.2.1.352.2.2. Гладкость параметризации и производные(0)Теорема 2.2.2. Пусть S0 ∈ — ряд, управляемый ОЛРФ(0 ), где = −1.Тогда параметризация S(( ) , ( ) ), введённая в теореме 2.2.1 — гладкий диф­феоморфизм между окрестностью вектора ((S0 )ℐ( ) , (0 )( ) )T ∈ R2 и пере­сечением окрестности S0 с .Доказательство. Достаточно показать, что Πℒ(S) и Π() из предложения 2.2.1— гладкие (то есть бесконечно дифференцируемые) проекторы в окрестностяхS0 и Z0 соответственно.Так как (S0 ) :, невырождена, Πℒ() = S :, ((S :, )T S :, )−1 ST:, — гладкаяфункция в окрестности S0 .

Так как Q() — матрица полного ранга согласноопределению (1.2), Π() = I − Q()(QT ()Q())−1 QT () — гладкая функ­ция, за исключением точки = 0+1 .Ясно, что остальные операции, указанные в параметризации, гладкие всвоих соответствующих окрестностях.Замечание 2.2.1. Отображение, сопоставляющее временному ряду S парусоответствующих ему параметров (( ) , ( ) )T , тривиальным образом (т.е.с использованием той же аналитической формулы) гладко продолжается спересечения окрестности с на всю окрестность S0 .Замечание 2.2.2. Теорема 2.2.2 предъявляет гладкую параметризацию вокрестности S0 , что означает, что является гладким многообразием.Рассмотрим производные, соответствующие этой параметризации.

Под JS =JS (( ) , ( ) ) ∈ R ×2 будем обозначать матрицу Якоби отображения S(( ) , ( ) ).По определению, касательное подпространство к в точке S равноcolspace JS (( ) , ( ) ), где S = S(( ) , ( ) ). Касательное пространство инвари­антно относительно выбора конкретной параметризации в окрестности S.36Под 2 определим ациклическую свёртку самим с собой:min(,+1)2 =(2)( )∈ R2+1 ,(2)∑︁= −+1 .(2.3)=max(1,−)Теорема 2.2.3. Касательное подпространство к в точке S, управляемойОЛРФ(), имеет размерность 2 и равно (2 ).Перед этим докажем несколько вспомогательных лемм.Удобно разделить параметры на две части, ( ) и ( ) . Тогда JS = [F :F ], где F = (JS ) :,{1,...,} , F = (JS ) :,{+1,...,2} .Лемма 2.2.1.

Q()T F = 0 −, ; colspace F = ().Доказательство. Обозначим F = [,1 , . . . , , ]. Рассмотрим равенствоQT ()S = 0 − , и продифференцируем его по (( ) )() , = 1, . . . , . Мы полу­чаем QT (), = 0 − , что означает, что colspace F ⊂ (). Тот факт, что(F )ℐ( ), : = I , завершает доказательство.2Лемма 2.2.2.

QT ()F = −ST( ), : , где S = +1 (S); colspace F ⊂ ( ).Доказательство. Обозначим F = [,1 , . . . , , ]. Рассмотрим QT ()S = 0 −и продифференцируем это равенство по (( ) ) , то есть -му элементу ( ) , =1, . . . , . Таким образом, мы получаем QT ( )S + Q(), = 0 − , = (( ))— -й элемент множества ( ). Заметим, что QT ( )S — это столбец транспони­рованной траекторной матрицы ST с номером, равным -му элементу множества( ). Следовательно, равенство QT ()F = −ST( ), : доказано.Чтобы доказать вторую часть леммы, рассмотрим матрицу Q −, () ∈R ×( −) .

Согласно первому утверждению, верно следующее:(Q −, ())T (Q, ())T F = 0 −2, .Тогда −,(QT()) =+1∑︁=1 −, (QT( )) ,,(QT()) =+1∑︁=1 (Q, ( ))T .37Заметим, что (Q −, ( ))T (Q, ( ))T = (Q,2 (+−1 ))T . Таким образом,+1 ∑︁+1+1 ∑︁+1∑︁∑︁,2T,2( (Q(+−1 )) )F = (Q( +−1 ))T F = 0 −2, ,=1 =1=1 =1что эквивалентно QT (2 )F = 0 −2, .Теперь перейдём к доказательству теоремы.Доказательство теоремы 2.2.3. Из Леммы 2.2.1 следует, чтоQT (2 )F = (Q −, ())T QT ()F = 0 −2, .Следовательно, colspace JS = () ⊂ (2 ).

Характеристики

Список файлов диссертации