Автореферат (1150842)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

На правах рукописиЗвонарев Никита КонстантиновичСтруктурные аппроксимации временных рядовСпециальноть 01.01.07 –вычислительная математикаАвторефератдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург – 2018Работа выполнена в федеральном государственном бюджетномобразовательном учреждении высшего образования«Санкт-Петербургский государственный университет».Научный руководитель:Голяндина Нина Эдуардовна,кандидат физико-математических наук, доцентОфициальные оппоненты: Шевляков Георгий Леонидович,доктор физико-математических наук, профессор,Санкт-Петербургский политехнический универ­ситет Петра Великого, профессор кафедры при­кладной математикиАнтонов Антон Александрович,кандидат физико-математических наук, финан­совый математик в ООО «Эксперт-Система»Ведущая организация:Федеральное государственное бюджетное образо­вательное учреждение высшего образования«Вологодский государственный университет»Защита состоится «14» июня 2018 г.

в 11 часов 00 минут на заседании диссер­тационного совета Д 212.232.49 на базе Санкт-Петербургского государствен­ного университета по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф,Университетский пр., д. 28, ауд. 405.С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горько­го Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034,Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9 и на сайте:https://disser.spbu.ru/files/disser2/disser/bprpwWD9w4.pdf.Автореферат разослан «»Ученый секретарь диссертационного совета,доктор физико-математических наук2018 г.Чурин Ю.В.3Общая характеристика работыАктуальность темы.

Временные ряды встречаются во многих обла­стях науки. Чаще всего, временной ряд — последовательно измеренный черезравноотстоящие промежутки времени вещественный показатель некоторогопроцесса. Кроме того, название временной ряд сохраняется и в том случае,когда измерения сделаны не во временных точках, а равномерно вдоль про­странственной координаты. Будем представлять временной ряд длины ≥ 2как вектор-столбец X = (1 , .

. . , )T ∈ R .Для того чтобы дальнейшее исследование временных рядов стало воз­можным, строится модель их представления. Предположим, что временнойряд имеет следующий вид: = + , = 1, 2, . . . , ,где X — ряд наблюдений , S = (1 , . . . , )T — сигнальная составляющая(или просто сигнал) и = (1 , . . .

, )T — шумовая составляющая (или про­сто шум). Предполагается, что сигнальная составляющая имеет некоторуюструктуру, а шумовая составляющая является реализацией некоего случай­ного процесса с нулевым математическим ожиданием.Рассмотрим следующий параметрический вид сигнала S в виде конечнойсуммы:∑︁ = () exp( ) sin(2 + ),(1)где () — многочлены от степени . Такой вид сигнала используетсяво многих приложениях, например, в теории обработки сигнала [5], в задачахидентификации линейных систем [6], задачах распознавания речи [7] и мно­гих других. В приложениях к теории обработки сигнала часто считается, чтосигнал S в представлении (1) является суммой синусоид [5] или экспоненци­ально-модулированных синусоид [6].Важной задачей анализа временных рядов является оценка сигнала Sпо ряду наблюдений X.

Полученную оценку сигнала можно использовать дляоценивания параметров сигнала, построения оценки прогноза сигнала и раз­ложения сигнала на аддитивные составляющие [8].Часто явный вид сигнала (1) неизвестен, то есть неизвестно количествоненулевых слагаемых , количество ненулевых частот и так далее. Вместоэтого фиксируют так называемый ранг ряда S, определённый следующимспособом. Для заданного натурального числа , 1 < < , называемого4длиной окна, определим оператор вложения : R → R×( −+1) как⎞⎛1 2 .

. . −+1.. ⎟⎜. ⎟⎜ 2 3 . . . (S) = ⎜ ..(2)... . . . −1 ⎟⎝ ..⎠ +1 . . .Скажем, что временной ряд S имеет ранг если rank (S) = < /2 для лю­бого такого, что min(, −+1) > [8]. Например, сумма двух экспонент,как и синусоидальный сигнал или линейная функция, имеет ранг 2.Матрица (S) является ганкелевой, то есть элементы на её побочныхдиагоналях равны. Перестановкой строк или столбцов матрицы (S) в об­ратном порядке можно добиться равенства элементов на её диагоналях, тоесть привести её к эквивалентному тёплицевому виду. Модель данных, гдесоответствующая сигналу S ганкелева матрица (S) имеет конечный ранг,встречается в теории обработки сигналов [5, 9], задачах распознавания голоса[7], теории управления и теории стохастических систем [6, 10].

Выбор значе­ния ранга сигнала — отдельная задача и в данной работе не рассматривается.В дальнейшем считаем ранг временного ряда известным.Множество всевозможных временных рядов ранга обозначим как .Тогда для решения задачи оценивания сигнала можно использовать решениеследующей нелинейной задачи взвешенных наименьших квадратов:Y⋆ = arg min ‖X − Y‖2W ,(3)Y∈где ‖Z‖2W = ZT WZ — квадрат косоугольной евклидовой нормы, W ∈ R ×— положительно определённая матрица весов, — замыкание множества .

Общепринятое название данной задачи — Hankel structured low-rank ap­proximation (HSLRA) [10]. Для определённости, будем называть (3) задачейHSLRA в векторном виде.Если — гауссовский шум с нулевым средним и ковариационной матри­цей Σ, то решение задачи (3) с матрицей весов W = Σ−1 является оценкоймаксимального правдоподобия (ОМП) сигнала S. Заметим, что для того что­бы оценка была ОМП, достаточно знать матрицу Σ с точностью до констан­ты, так как решение задачи (3) не зависит от умножения W на положитель­ную константу.Задача (3) сформулирована как задача поиска глобального минимума,но известно, что целевая функция является невыпуклой [11], следовательно,может содержать множество локальных минимумов.

Для решения такой за­дачи можно либо использовать методы глобального поиска, либо локальный5поиск с выбором начального приближения, достаточно близкого к глобально­му минимуму. В работе разрабатываются методы локального поиска; такжерассматривается и вопрос выбора начального приближения.Для решения задачи (3) используются численные методы. Для их по­строения используются два основных подхода. Первый — так называемыйпринцип Variable projection, рассмотренный в работах [12, 13] для более об­щего, чем в (3), случая произвольной аффинной структуры. В [13] после при­менения принципа Variable projection используются методы Гаусса-Ньютона иЛевенберга-Марквардта (регуляризованная версия метода Гаусса-Ньютона),которые являются методами локального поиска, но используют параметри­зацию, отличную от (1).

Несмотря на свои достоинства (самые главные изкоторых — сходимость к локальному минимуму и большая эффективностьпо времени работы в случае диагональной W), методы обладают рядом недо­статков. Первый — методы чувствительны к форме матрицы W, то есть, на­пример, если W является хотя бы трёхдиагональной, то быстрая реализацияметода невозможна.

Второй недостаток — методы проявляют неустойчивостьв ряде случаев, например, когда S является полиномиальным сигналом.Второй подход — непараметрический метод итераций Кэдзоу, входящийв класс алгоритмов попеременных проекций (Alternating Projections) [5]. Ме­тод решает задачу HSLRA в матричном виде:Y⋆ = arg min L,R (Y), L,R (Y) = ‖X − Y‖2L,R ,(4)Y∈ℳ ∩ℋ‖X‖L,R — порождённая скалярным произведением ⟨X, Y⟩L,R = tr(LXRYT )матричная норма, ℋ = ℋ, — пространство ганкелевых матриц размера × , ℳ ⊂ R× — множество матриц ранга, не превосходящего , а X, Y— матрицы, связаные с задачей (3) соотношениями X = (X) и Y = (Y).Теория метода Кэдзоу тесно связана с теорией так называемых subspace­based методов и метода SSA (Singular Spectrum Analysis, анализ сингулярногоспектра) [8]. Метод можно распространить на случай косоугольной нормы,отличной от евклидовой [14]. Основные проблемы метода — локальные свой­ства предельной точки, полученной методом Кэдзоу, неизвестны; к тому же,в большинстве случаев метод решает задачу (4) с матрицами весов L, R, недающими W в постановке (3) (что ведёт к тому, что метод не может обеспе­чить ОМП даже в случае белого гауссовского шума [15]).

Вопрос выбора под­ходящих матриц L, R, дающих матрицу весов W, близкую к Σ−1 , остаётсяоткрытым. Также, быстрая реализация метода Кэдзоу была создана толькодля диагональной W.Асимптотические свойства ошибок оценки сигнала с помощью решения6задачи (3) рассматривались в работах [9, 16, 17]. Однако полученные в этихработах утверждения либо не учитывают вид матрицы W [16], либо множе­ство таких матриц W сильно ограничено [17]. Для алгоритма Кэдзоу известнанеоптимальность полученных им оценок: в смысле недостижения алгоритмомлокального минимума [18] и в смысле качества оценки сигнала [9]. Однаконет результата о том, насколько критично для оценивания сигнала то, чтолокальный минимум в задаче (4) точно не находится, и можно ли улучшитькачество оценки путём выбора весов L, R.В диссертации рассматривается и развивается как параметрический, таки непараметрический подход.

Предлагаются новый метод локального поиска,базирующийся на одном из стандартных для нелинейной задачи наименьшихквадратов методе Гаусса-Ньютона, и расширение непараметрического методаКэдзоу. Ключевыми факторами при выборе методов для исследования явля­лись: возможность построить эффективную по времени реализацию каждогоиз методов, возможность использовать метод для недиагональных матриц ве­сов и находить асимптотические свойства оценок, полученных методами приоценивании сигнала в широком классе сигналов ранга . Более того, необ­ходимость изучения как непараметрического, так и параметрического подхо­да объясняется тем, что для решения задачи (3) с использованием методовлокального поиска требуется начальное приближение, близкое или лежащеев окрестности глобального минимума.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации