Диссертация (1150751), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Различные модели коэффициентов скорости колебательных переходов и химических реакций рассматриваются в разделе 2.2.1.3.5. Первое приближение. Интегральные уравненияПоправка первого порядка к функции распределения представля(1)(0)ется в виде fcij = fcij ϕcij , где функция ϕcij — решение интегральногоуравнения∑(0)sl(0)−nc nd Icijd (ϕ) = Dfcij − Jcij .(1.113)dЗдесь Icijd — линеаризованный оператор быстрых процессов, в многотемпературном приближении определяемый [38]:∑ ∫ (0) (0)1fcij fdkl (φcij + φdkl − φci′ j ′ − φdk′ l′ ) ×Icijd (φ) =nc nd ′ ′ ′ ′kli j k l′ ′ ′ ′ijkl 2× gσcd,ijkld Ωdud , (1.114)(0)Dfcij — дифференциальный оператор, вычисляемый следующим образом:)((0)()dlnfdvcij(0)(0)(0)(0)(0)+ cc · ∇fcij −∇cc ln fcij − ∇cc ln fcij cc : ∇v .Dfcij = fcijdtdt(1.115)34Вычисляя дифференциальный оператор с учетом уравнений переноса в невязком случае, получаем, что поправка первого порядка к функциираспределения может быть представлена в виде функции, зависящей отградиентов макропараметров:(1)fcij=(0)fcijn(−Acij · ∇ ln T −Lm∑d(1)Acij·∇ ln T1d−d=1L∑Ddcij · dd − Bcij : ∇v−)d=1− Fcij ∇ · v −∑ ∑γ∈VRγ,rGγ,r.
(1.116)cij ΓrЗдесь dc — диффузионные термодинамические силы:)(n ) (nρcccdc = ∇+−∇ ln p,nnρ(1.117)d(1)а функции Acij , Acij , Bcij , Ddcij , Fcij , Gγ,rcij , γ ∈ VR — неизвестныефункции, зависящие от собственной скорости и макропараметров. Стоитотметить, что подобное представление поправки первого порядка отличается от обычного, приведенного в [38], так как вместо одной функции Gcijздесь имеем четыре суммы, которые в явном виде включают величиныΓV V2 ,r , ΓV T,r , Γ2⇄2,r , Γ2⇄3,r .Интегральные уравнения для функций A , Ad(1) , B , Dd , F , Gγ,rполучаем, подставляя выражение для поправки первого порядка (1.116)в уравнение (1.113) и приравнивая коэффициенты при градиентах соответствующих макропараметров в левых и правых частях.
Уравнения дляфункций A , Ad(1) , B , Dd и алгоритмы их решения подробно обсуждаются в [38]. Для вычисления поправок к скорости неравновесных процессов нам необходимы функции F , Gγ,r , для которых имеем следующиеуравнения [27, 38, 128]:d1 (0)I(F)=fcijdn2n cij∑ nc ndd(()−1 [ c ]′p ∂Wc ∂Wciε1mc c2c−1+ c−3kTT1 Φ0 ∂T∂T1ckT1c([ c ]′ [ c]′ ))εjmc c2c 3εi − iεc1p− ++, (1.118)−T Φ0 2kT2kTkT∑ nc ndn2Icijd (Gγ,r ) =1 (0) γ,rf Φ , r = 1, .
. . , Nγ , γ ∈ VR.n cij cij(1.119)35′Здесь [ζij ] = ζij −⟨ζij ⟩ , ⟨ζij ⟩ означает операцию осреднения по внутреннейэнергии:( c)εij1 ∑ cs ζij exp −⟨ζij ⟩ = int− λc i .(1.120)Zc ij ijkTФункции Φγ,rcij для различных типов медленных процессов определяютсяследующими выражениями:()−1Lm ∑k ∂U ∂WdHcij ∑γ,rVTΦcij = −NaKdk,r+ddΦ0ρd ∂T1 ∂T1d=1 k[ c ]′()−1 ∑iε11 ∂Wck VT+ NaK − JeV T,rc , γ ∈ V (1.121)kT1c T1c ∂T1cρc ck,rk()−1Lm ∑Hcij ∑k − Wd md ∂U ∂Wdγ= −NaKdk,r−ddΦ0ρd∂T∂T11d=1 k[ c ]′()−1 ∑Liε1k − Wc mc γHcij ∑ ∑ ∂U γ1 ∂WcKdk,r + NaKck,r +− NacccΦ0∂ndkT1 T1 ∂T1ρckd=1 k∑Naγ+Kck,r− Jeγ,rc , γ ∈ R. (1.122)ncΦγ,rcijk∑ ∫ (0) γσr dud (в случае γ = 2 ⇄ 3 суммирование поЗдесь Jeγ,rc = νr,ci lj ′ l′ fdkl geγj ′ , l′ опускается), а функции Φ0 , Kci,r, Hcij задаются формулами:m∂U ∂Wc∂U ∑Φ0 =−∂T∂T1c ∂Tc=1L(∂Wc∂T1c)−1,(1.123))νLd (L ∏∏ndk r,dk(r)(0)γKci,r= νr,ci kf,γ rHcij, γ ∈ VR,(1.124)Nad=1 k=1[() ]′ []′()−1cccεij − iε1iε1∂W∂W1 3 mc c2ccc1−+.=− +T2 2kTkTkT1c T1c ∂T∂T1c(1.125)Из условий нормировки (1.66), (1.68), (1.69) получаем дополнительные соотношения для функций F , Gγ,r , обеспечивающие единственностьрешения [38, 128]:∑ ∫ (0)fcij Fcij duc = 0, c = 1, ..., L,(1.126)ij36∑∫((0)fcijcij)mc c2cc+ εij Fcij duc = 0,2∑ ∫ (0)i fcij Fcij duc = 0,r = 1, ..., Nγ , γ ∈ VR,(1.127)c = 1, ..., Lm , r = 1, ..., Nγ , γ ∈ VR.(1.128)c = 1, ..., L, r = 1, ..., Nγ , γ ∈ VR,(1.129)ij∑∫(0)rfcij Gγ,cij duc = 0,ij∑∫cij((0)fcij)mc c2crc+ εij Gγ,cij duc = 0,2∑ ∫ (0) γ, ri fcij Gcij duc = 0,r = 1, ..., Nγ , γ ∈ VR,(1.130)c = 1, ..., Lm , r = 1, ..., Nγ , γ ∈ VR.(1.131)ijПолученные в данной работе интегральные уравнения (1.119) являются новыми и отличаются от приведенных в [38] тем, что позволяютотдельно рассчитывать вклад каждого медленного процесса в функциюраспределения.
Аналогичное представление было получено в [125] в однотемпературном случае и учитывает только медленные химические реакции.1.3.6. Скорости неравновесных процессов в первом приближенииПодставляя функцию распределения первого приближения в определение скорости реакций (1.26) и упрощая, получаем следующую формулу, определяющую поправки первого порядка к скорости медленныхпроцессов [27, 128, 132]:∑[] β,s 1γ,rγ,rβ,s(0)[G , F ] ∇ · v +G ,GΓ.(1.132)ξ˙r,γ − ξ˙r,γ =Na β,sЗдесь квадратные скобки означают интегральные скобки от сечений быстрых процессов, определяемые на основании линеаризованного оператора(1.114). В многотемпературном приближении они имеют вид [38]:∑ nc nd (′′′ )[A, B] =[A,B]+[A,B](1.133)cdcd ,n2cd371[A, B]′cd =2nc nd∑∫(0) (0)fcij fdkl (Bcij − Bci′ j ′ ) ×ijkli′ j ′ k ′ l′′ ′ ′ ′ijkl 2d Ωduc dud , (1.134)× (Acij − Aci′ j ′ ) gσcd,ijkl[A, B]′′cd1=2nc nd∑∫(0) (0)fcij fdkl (Bcij − Bci′ j ′ ) ×ijkli′ j ′ k ′ l′′ ′ ′ ′ijkl 2d Ωduc dud .
(1.135)× (Adkl − Adk′ l′ ) gσcd,ijklВыражение (1.132) имеет одинаковый структурный вид с формулой для вязких поправок к скорости химических реакций в однотемпературном приближении, полученной в [125]. Отличие состоит в том,что в полученной в данной работе формуле учитывается колебательнаянеравновесность смеси, и выражение (1.132) справедливо для скоростикак медленных переходов и обменов колебательной энергии, так и дляскорости химических реакций. Видно, что скорости реакций в первомприближении метода Энскога–Чепмена зависят от дивергенции скорости, и при этом медленные процессы в вязких течениях не являютсянезависимыми; возникают перекрестные эффекты за счет суммы по всем∑ [ γ,r β,s ] β,sмедленным процессамΓ .
Следует отметить, что больβ,s G , Gшинство существующих моделей физико-химической релаксации не учитывает эти эффекты, влияние колебательного возбуждения на скоростифизико-химических процессов обычно моделируется путем введения полуэмпирических поправок.Вязкие поправки к скоростям реакций также связаны с поправкойпервого порядка к нормальным напряжениями (диагональными компонентами тензора напряжений). Подставляя функцию распределения первого приближения в выражение для тензора напряжений (1.15) и упрощая, имеем∑p + π = kT[F, Gγ,r ] Γγ,r + kT [F, F ] ∇ · v,(1.136)γ,rгде π — диагональная компонента тензора напряжений в вязком случае.Эта поправка содержит два кинетических коэффициента [38]: объемнуювязкостьζ = kT [F, F ](1.137)38и релаксационное давлениеprel = kT∑[]F, Gβ,r Γβ,r .(1.138)rβОбъемная вязкость возникает в течениях с быстрыми неупругими процессами [9,38,49], в то время как релаксационное давление вызвано наличиемкак быстрых, так и медленных неупругих столкновений в газе [9, 22].
Релаксационное давление впервые было обнаружено в [34]. В работах [31] релаксационное давление изучалось при помощи метода Энскога–Чепменав газе с медленными химическими реакциями, в [133] также рассматривалось влияние электронного возбуждения на релаксационное давлениеи объемную вязкость.В работах [130, 133, 136] показано, что в высокотемпературных высокоэнтальпийных течениях роль релаксационного давления мала.
Так, вработе [133] в однотемпературном приближении в бинарной смеси азотаN2 /N рассматривалось релаксационное давление, обусловленное медленными реакциями диссоциации-рекомбинации. Было показано, что в случае, если пренебречь электронным возбуждением, релаксационное давление не превышает 7% от величины гидростатического (определяемого как p = nkT ) давления. Учет электронного возбуждения увеличивает вклад релаксационного давления до 15-20% при низких температурах( T < 5000K ). Релаксационное давление за счет медленных VT-переходовв условиях сильной колебательной неравновесности не превышает 2-3%от гидростатического давления [136]. В условиях, когда гидростатическое давление меньше атмосферного, вклад релаксационного давления внормальные напряжения существенно меньше, чем вклад объемной вязкости [133].
Таким образом, при решении задач гиперзвуковой высотнойаэродинамики релаксационным давлением можно пренебречь.Интересно отметить, что в [62] релаксационное давление было выведено на основании уравнений расширенной термодинамики и было показано, что оно может играть существенную роль в стационарной задаче отеплопереносе. Также в указанной работе обсуждается возможность экспериментального измерения релаксационного давления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
